Le leggi di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff n questa lezione impareremo... legge di Kirchhoff o legge delle correnti (KL) legge di Kirchhoff o legge delle tensioni (KVL) LZON 7 circuiti elettrici Le leggi di Ohm ci permettono di risolvere un insieme di circuiti elettrici dove è presente un solo generatore e, quindi, è sempre possibile trovare una equazione risolutiva con una sola incognita. Sapendo la forza elettromotrice del generatore è sufficiente trovare la resistenza equivalente del circuito per calcolare la corrente totale erogata dal generatore: V bipolo qualunque V R eq onoscendo la corrente totale si prosegue ripercorrendo a ritroso il circuito che, essendo composto unicamente da resistori collegati in serie ed in parallelo, una alla volta si individuano tutte le tensioni e tutte le correnti sempre applicando la legge di Ohm. Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 1

Ud 1 Dall energia al computer Se nel circuito sono presenti due generatori non è più possibile seguire questo procedimento ed è necessario scrivere un insieme di equazioni che descrivono i legami tra le variabili indipendenti (le grandezze elettriche note e le grandezze elettriche incognite). Le espressioni che legano queste grandezze mettono in relazione le cause con gli effetti e sono state descritte dallo scienziato tedesco Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) dal quale presero il nome. Kirchhoff dedusse i suoi principi da leggi fisiche generali che non riguardano solo le reti elettriche ma in generale i principi di conservazione dell energia: ricavò i due principi fondamentali per lo studio delle reti elettriche, noti come le leggi di Kirchhoff, che permettono di scrivere le equazioni risolutive dei circuiti elettrici complessi. Prima legge di Kirchhoff La prima legge di Kirchhoff ci permette di mettere in relazione le correnti tra di loro: è anche chiamata legge delle correnti o legge dei nodi. Nei disegni seguenti sono indicati con le lettere maiuscole alcuni esempi di nodi: NODO Un nodo è il punto di incontro di almeno tre conduttori. R D 3 F H R 6 R 8 R 7 G K ttenzione: nel terzo disegno H e K sono solo dei morsetti, ma NON sono dei nodi, dato che in essi entrano solo due conduttori. PRM LGG D KRHHOFF O LGG D NOD La somma algebrica delle correnti afferenti ad un nodo è nulla. n altre parole, la somma delle correnti entranti in un nodo è pari alla somma delle correnti uscenti: questa rappresenta il principio di conservazione della carica, cioè nulla viene perso nel nodo ma tutte le cariche che entrano devono uscire da esso! La prima legge di Kirchhoff è indicata con l acronimo KL, dalle iniziali di Kirchhoff urrent Law. Per scrivere la legge ai nodi è necessario dare un nome e un verso a tutte le correnti presenti nel circuito: il verso delle correnti viene indicato a piacere e solo alla fine dei calcoli 2 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 si scopre se l ipotesi fatta era corretta (si trova un valore positivo per quella corrente) oppure era sbagliata (si trova un valore negativo). Vediamo alcuni esempi. SMPO 2 Nel nodo abbiamo una corrente entrante, la 1, e due correnti uscenti, la 2 e la 3,quindi: 1 che equivale a scrivere = 1 2 3 3 = 0 1 2 3 cioè la somma delle correnti nel nodo è nulla, quindi uguale a 0. SMPO Nel nodo abbiamo una corrente entrante, la T, e tre correnti uscenti, la 1, la 2 e la 3,quindi: = T 1 2 3 1 T 2 T 3 dentica è l equazione che otteniamo scrivendola al nodo, dove abbiamo tre correnti entranti ed una uscente. SMPO Determiniamo il valore della corrente 2 entrante nel nodo di figura sapendo che: = 2,5, = 0,43, = 470 m 1 3 4 2 1 3 R pplicando la legge di Kirchhoff ai nodo si ha: 4 = 1 2 3 4 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 3

Ud 1 Dall energia al computer Per cui: 2 = 3 4 1 = 0,43 0,47 2,5= 1,6 l segno negativo indica che il verso effettivo della corrente 2 è opposto a quello riportato in figura, per cui in realtà 2 è una corrente uscente. SMPO Nel seguente circuito procediamo scrivendo le equazioni ai singoli nodi: R D 3 1 3 F 5 2 4 5 8 7 R 8 R 7 G nodo D) = 1 2 3 nodo F) = 3 4 5 Scriviamo ora le equazioni ai due nodi inferiori, che ci porteranno a risultati noti per intuito: nodo G) = 4 5 7 che ci permette di verificare che = = 3 4 5 7 Se infatti ridisegniamo il circuito visivamente ci accorgiamo che sono connessi in serie: R D 3 1 3 F 2 4 5 1 3 R 8 R 7 G e quindi i resistori e R 7 sono percorsi dalla stessa corrente. 4 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 lla medesima conclusione si arriva analizzando i nodi D ed : la corrente 1 percorre sia il resistore che il resistore R 8 dato che: = = 1 2 3 8 Prova adesso! Prima legge di Kirchhoff Dato il seguente circuito, dopo aver indicato un nome per tutte le correnti, scrivere tutte le equazioni ai nodi ed indicare quali correnti hanno lo stesso valore. Quindi risolvere analiticamente il circuito sapendo che la corrente totale emessa del generatore 8 = 5, la corrente in è 5 = 1 e in R 6 e 6 = 2 e che =. R 6 R 8 R 7 Seconda legge di Kirchhoff La secon da legge di Kirchhoff prende anche il nome di legge delle tensioni o delle maglie in quanto consiste in una equazione che eguaglia il valore delle ddp all interno di un particolare percorso di circuito chiamato maglia. MGL Una maglia è una poligonale chiusa i cui vertici sono nodi e i cui lati, detti rami, sono dei conduttori che possono collegare elementi circuitali. La maglia più semplice è quella composta da un circuito ad anello del tipo riportato in figura: 1 2 D n questo caso nel circuito possiamo individuare quattro rami che costituiscono una sola maglia. Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 5

Ud 1 Dall energia al computer Nel circuito seguente, invece, esistono diverse maglie: 1 2 a) due maglie sono quelle più semplici da individuare e sono composte da un ramo esterno e dal ramo centrale che contiene il resistore, come di seguito evidenziato: 1 1 2 2 b) la maglia più difficile da individuare è quella esterna, costituita dai due rami dove sono presenti i generatori: 1 2 Prima di enunciare la seconda legge di Kirchhoff introduciamo una classificazione delle ddp presenti in un circuito, differenziandole in due gruppi: forza elettromotrice f.e.m.: è la ddp ai capi degli elementi attivi, cioè dei generatori (pile, accumulatori, batterie, rete elettrica, ecc.), con corrente di segno positivo uscente dal morsetto (a più alto potenziale); caduta di potenziale ΔV (anche indicate semplicemente con V): è la ddp ai capi di elementi passivi (resistori) con potenziale maggiore dove entra la corrente (morsetto ) f.e.m. SOND LGG D KRHHOFF O LGG DLL MGL n una maglia, la somma algebrica delle f.e.m. è pari alla somma algebrica delle cadute di potenziale. V R R 6 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 n altre parole, in una maglia la somma algebrica delle ddp è nulla: la legge di Kirchhoff delle tensioni viene anche indicata con l acronimo KVL, dalle iniziali di Kirchhoff Voltage Law. Per ogni maglia presente in una rete elettrica la seconda legge di Kirchhoff permette di determinare una equazione, denominata equazione di maglia. Per scrivere correttamente le equazioni di maglia possono essere di aiuto le seguenti regole pratiche: a) per ogni ramo del circuito si indicano le correnti con verso a piacere; b) in base alla direzione delle correnti si indicano sul disegno le cadute di potenziale ai capi di ogni resistore; c) si fissa un punto di partenza; d) si fissa un verso di percorrenza della maglia (generalmente in senso orario); e) si inizia a scrivere l equazione considerando positive le ddp che si incontrano dalla punta della freccia (ß) e negative quelle che si incontrano a partire dal retro della freccia ( ): f) si eguaglia l equazione a zero (= 0) quando si giunge nel punto di partenza. SMPO Vediamo un primo semplice esempio applicando la Seconda legge di Kirchhoff su un circuito composto da una sola maglia. valori noti sono i seguenti: 1 = 12 V; 2 = 6 V = 10 kω; = 2,2 kω; = 4 kω; = 0,8 kω; = 2 kω 1 2 n questo caso la corrente che percorre tutti i quattro rami del circuito è unica: indichiamola con, scegliamo un verso a piacere e riportiamola su tutti i rami dove è presente un resistore. 1 2 ndichiamo ora sul simbolo grafico di ogni resistore la corrispondente caduta di potenziale V Rx, tenendo presente la convenzione sugli elementi passivi che è il potenziale è maggiore () dove la corrente entra e ricordando che la punta della freccia indica sempre il potenziale positivo. P V R1 1 V R2 V R5 V R4 2 V R3 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 7

Ud 1 Dall energia al computer Scegliamo un nodo di partenza (nel nostro caso il punto P) ed un verso di percorrenza della maglia (nel nostro caso orario). niziamo a scrivere l equazione indicando positive le tensioni che incontriamo dalla parte della punta della freccia e negative quelle che incontriamo dalla parte della coda. V V V V V = 0 R2 R5 R4 2 R3 1 R1 Possiamo ora separare le variabili e sostituire alle ddp dei resistori la rispettive relazioni date dalla legge di Ohm: R R R R R = 2 5 4 3 1 2 1 Raccogliendo la corrente, che è uguale per tutti i prodotti, si ottiene: ( R R R R R 2 5 4 3 1) = 2 1 Sostituiamo i valori e risolviamo questa equazione rispetto alla sola incognita : 2 1 = R R R R R 2 5 4 3 1 12 6 = 3 3 22, 10 210 0, 8 10 310 1010 18 = 18 10 3 3 3 3 = 110 3 Dato che il segno è positivo la corrente circola effettivamente nel verso che avevamo ipotizzato. Prova adesso! Seconda legge di Kirchhoff Dato il circuito seguente, calcola tutte le differenze di potenziale su tutti i resistori dapprima scrivendo la legge di Kirchhoff in senso orario e, successivamente, riscrivendola in senso antiorario. D nfine ripeti l esercizio cambiando il verso alla corrente e riscrivendo le due equazioni. F 1 = 10 V; 2 = 12 V; 3 = 20 V = 4 kω; = 12 kω; = 14 kω; = 6 kω 1 2 H G 3 La Seconda legge di Kirchhoff è fondamentale per la risoluzione di reti composte da più maglie, come descriveremo nella prossima lezione. 8 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 SMPO Vediamo un esempio completo, partendo da una maglia estratta da un circuito complesso. 1 2 ome prima cosa indichiamo per ogni ramo del circuito una corrente, dandogli un nome e un verso a piacere. 2 1 1 4 3 2 Ora per ogni resistore indichiamo sullo schema elettrico la corrispondente caduta di potenziale, sulla base della direzione della corrente che lo percorre: V R1 V R2 2 V R5 V R4 1 1 3 4 2 V R3 ndichiamo ora un punto di partenza (il punto P) ed un verso di percorrenza (nel nostro caso orario). P 2 niziamo a scrivere l equazione indicando positive le tensioni che incontriamo dalla parte della freccia e negative quelle che incontriamo dalla coda. V V V V V = 0 R2 R5 R4 2 R3 1 R1 V R1 1 1 V R2 3 V R5 V R4 4 2 Possiamo ora separare le variabili e sostituire alle ddp dei resistori la relazione data dalla legge di Ohm: V R3 R R R R R = 2 2 5 2 4 4 3 3 1 1 2 1 questo punto non si può procedere in quanto la nostra equazione ha quattro incognite: quindi abbiamo bisogno di altre tre equazioni e di risolvere un sistema, come vedremo in seguito. Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 9

Ud 1 Dall energia al computer Verifichiamo le competenze 1 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, calcola le correnti incognite. c d 2 1 c a b a = 4 ; b = 3 ; c = 2 ; d = 5 ; e = 6 2 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, calcola le correnti incognite. a 1 b c 3 2 D 4 d a = 3 m; b =5 m; c = 1 m ; d = 5 m 3 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore. 1 2 1 = 10V; 2 = 4V; = 100 kω; = 150 kω; = 50 kω; = 300 kω 4 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore nei due casi: a) percorrendo la maglia in senso antiorario; b) percorrendo la maglia in senso orario. 10 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 2 1 1 2 3 1 = 6 V; 2 = 8 V; 3 = 5 V = 10 Ω; = 20 Ω; = 30 Ω; = 40 Ω; = 50 Ω 5 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le correnti e le ddp su ogni resistore. 1 1 2 3 1 = 60 V = = 10 Ω, = 15 Ω 6 Scrivi tutte le equazioni ai nodi e alle maglie relative alla rete elettrica di figura. 3 1 2 1 2 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 11

Ud 1 Dall energia al computer 7 on riferimento al circuito seguente, facendo uso della legge di Kirchhoff delle correnti, calcola le correnti incognite. d e 1 2 c a b f a = 8 ; b = 2, c = 5, d = 6, e = 8 ; f = 10 8 on riferimento al circuito seguente, facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore. 19 12V 10 10 47K 9 on riferimento al circuito seguente, calcola il valore di V 4 applicando le leggi di Kirchhoff. 1 1 =20 V; V R1 =12 V; V R3 =2 V 10 on riferimento al circuito seguente, calcola tutte le correnti e tutte le tensioni applicando le leggi di Kirchhoff. t D T = 2 = 13,5 Ω; = 21 Ω; = 10 Ω; = 20 Ω; = 70 Ω 12 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 11 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore nei due casi: a) percorrendo la maglia in senso antiorario; b) percorrendo la maglia in senso orario. D 1 1 2 2 1 = 10 V; 2 = 4 V = 75 Ω; = 225 Ω 12 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore. 2 1 3 1 = 10 V; 2 = 8V; 3 = 16 V = 10 kω; = 20 kω; = 30 kω; = 40 kω; = 50 kω 13 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore. 1 3 2 5 4 1 = 20 V = 15 kω; = 30 kω; = 20 kω; = 40 kω; = 50 kω Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 13

Ud 1 Dall energia al computer 14 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola la corrente 0 e la tensione V 0. i 1 R1 V1 i 0 i 3 R3 R4 V 0 = 58 V = 70 kω; = 30 kω; = 40 kω; = 10 kω 15 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola la corrente 0 e la tensione V 0. i 0 V 0 16 Dato il circuito di figura calcola le tensioni V 1, V 2 e V 3. = 20 V = 80 kω; = 20 kω; = 30 kω; = 60 kω; = 10 kω V c V b V 3 V d V e V a V 2 V 1 17 Dato il circuito di figura, calcola le tensioni V 1, V 2 e V 3. V a = 8 V, V b = 11 V, V c = 10 V, V d = 14 V; V e = 15 V V d V b V c V 2 V a V 1 V 3 V a = 20 V, V b = 25 V, V c = 10 V e V d = 15 V 14 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015

Le leggi di Kirchhoff Lezione 7 18 on riferimento al circuito seguente facendo uso della legge di Kirchhoff delle tensioni, calcola le ddp su ogni resistore. D F = 12 V = 2 kω; = 4 kω; = 2 kω; = 3 kω; = 4 kω 19 Determina tutte le equazioni di Kirchhoff relative alla rete elettrica di figura. 3 1 1 2 2 20 Determina tutte le equazioni di Kirchhoff relative alla rete elettrica di figura. 3 4 1 1 2 2 Paolo amagni, Riccardo Nikolassy, Ugo ai, da oni, n@pp, dizione Openschool, Ulrico Hoepli ditore S.p.. 2015 15