Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli

Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A ed a valori in B, se è data una legge che consente di associare ad ogni x A un unico y = f(x) B. [ f : A B ]

Definizione di funzione Sia A* un sottoinsieme non vuoto di A. Diremo che f : A* B è una restrizione della f : A B. Così f : A B sarà detta prolungamento della f : A* B

Vari tipi di funzioni Una funzione può avere più corrispondenti associati allo stesso x. In B (codominio) possono esistere y che non sono gli associati di alcun x.

Vari tipi di funzioni Il sottoinsieme I di B è formato dagli y che sono corrispondenti di x tramite la f. L insieme I è detto immagine (di A in B mediante la f).

Funzioni suriettive Una funzione è suriettiva, o è una suriezione, se B = I. In altre parole, non vi sono in B elementi che non sono i corrispondenti di un qualche x di A.

Funzioni iniettive Una funzione è iniettiva, o è una iniezione, se ogni y è l associato di un solo x. In altre parole, non vi sono x distinte in A che associano lo stesso y di B.

Funzioni biiettive Una funzione che è suriettiva ed iniettiva è detta biiettiva o biiezione. Le biiezioni sono anche dette corrispondenze biunivoche.

Funzioni biiettive e inverse Se f : A B è una funzione biiettiva allora è invertibile. La f -1 : B A è la funzione inversa che è pure biiettiva.

Prodotto di funzioni Siano f: A B e g: B C due funzioni tali che il codominio B di f sia dominio di g. Si definisce il prodotto g f : A C, la funzione che si ottiene prima applicando la f (per andare da A in B) e poi la g (per andare da B in C) A f B g C X Y Z f -1 g -1

Prodotto di funzioni Se f: A B e g: B C sono due funzioni biiettive, allora la funzione prodotto g f : A C è biiettiva. La funzione inversa del prodotto (g f) -1 è data da: f -1 g -1 : C A. A f B g C X Y Z f -1 g -1

Funzioni monotone Sia x 1 < x la funzione è detta: Crescente se y 1 < y Non decrescente se y 1 y Decrescente se y 1 > y Non crescente se y 1 y y y y 1 y 1 y 1 y 1 y y x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x

Funzioni monotone (in senso stretto) Sono funzioni monotone in senso stretto le funzioni: Crescenti Decrescenti Queste funzioni sono invertibili. y y 1 y y y 1 y x x 1 x x x 1 x

Monotonia ed invertibilità Teorema: Una funzione strettamente monotona è invertibile. Non è vero il viceversa: Esistono funzioni invertibili non strettamente monotone. y y 3 y 1 x 1 x x 3

Monotonia ed invertibilità La stretta monotonia è quindi una condizione sufficiente per avere l invertibilità. Se la funzione è continua, ossia rappresentabile tramite un tratto non spezzato, allora la stretta monotonia è una condizione caratteristica (ossia necessaria e sufficiente) per avere l invertibilità. Se una funzione f è strettamente monotona, ossia è crescente o decrescente, allora la sua inversa f -1 è una funzione che ha la stessa monotonia della f.

Perché invertire una funzione Se y=f (x) è una funzione invertibile, ossia esiste la funzione x=f 1 (y). L equazione elementare f (x) = a ha soluzione data da x = f -1 (a)

Perché invertire una funzione Infatti, se f (x) = a allora, applicando f 1 ad ambo i membri, si ha: f -1 [f (x)] = f -1 (a) da cui, essendo f -1 [f (x)] = x (funzione identica) risulta x = f -1 (a)

Funzioni goniometriche Le funzioni seno, coseno e tangente sono periodiche e quindi non invertibili. Occorre operare su opportune restrizioni, strettamente monotone, che risultano invertibili. Dette restrizioni sono scelte arbitrariamente in modo che il codominio (insieme Immagine) della restrizione coincida con il codominio originale della funzione; ossia: definita su tutto, per il seno ed il coseno; definita in - { / + k } k Z 0, per la tangente.

Funzioni goniometriche (seno) Restrizione invertibile: sen x: [- /, / ] [-1, 1] 1-1

Funzioni goniometriche (coseno) Restrizione invertibile: cos x: [ 0, ] [-1, 1] 1 0-1

Funzioni goniometriche (tangente) Restrizione invertibile: tan x: ]- /, / [

Equazione elementare in seno sen (x) = a Poniamo: = arcsen a Soluzioni: x = + k k Z - a 0 Arco associato: x = - + k k Z

Equazione elementare in coseno cos (x) = a Poniamo: = arccos a Soluzioni: x = + k k Z a 0 Arco associato: x = - + k k Z -

Equazione elementare in tangente tan (x) = a Poniamo: = arctan a a Soluzioni: x = + k k Z 0 +

Disequazione elementare in seno sen (x) > a Poniamo: = arcsen a - a 0 Soluzioni: + k < x < - + k k Z

Disequazione elementare in seno sen (x) < a Poniamo: = arcsen a - a 0 Soluzioni: - ( - ) + k < x < + k k Z

Disequazione elementare in coseno cos (x) > a Poniamo: = arccos a a 0 Soluzioni: - + k < x < + k k Z -

Disequazione elementare in coseno cos (x) < a Poniamo: = arccos a a 0 Soluzioni: + k < x < - + k k Z 0 -

Disequazione elementare in tangente tan (x) > a Poniamo: = arctan a a 0 Soluzioni: + + k < x < / + k k Z

Disequazione elementare in tangente tan (x) < a Poniamo: = arctan a a 0 Soluzioni: + - / + k < x < + k k Z

Funzione esponenziale e logaritmo Le funzioni: a x : + ; log a x : + sono l una l inversa dell altra Se a>1 sono monotone crescenti y = a x : + y = log a x : +

Funzione esponenziale e logaritmo Le funzioni: a x : + ; log a x : + sono l una l inversa dell altra Se 0 < a < 1 sono monotone decrescenti y = a x : + y = log a x : +

Equazione esponenziale elementare Nella pratica si usano solo logaritmi naturali o decimali perché calcolabili. a x = b Passando ai logaritmi: Ln a x = Ln b Per una nota proprietà dei logaritmi x Ln a = Ln b Ossia x = Ln b / Ln a

Disequazione esponenziale elementare Sia a>1, da a x > b Essendo il logaritmo naturale una funzione crescente, si ha: Ln a x > Ln b x Ln a > Ln b Poiché Ln a > 0, si ha: x > Ln b / Ln a Sia 0 < a < 1, da a x > b Essendo il logaritmo naturale una funzione crescente, si ha: Ln a x > Ln b x Ln a > Ln b Poiché Ln a < 0, si ha: x < Ln b / Ln a Analoga è la trattazione del caso: a x < b

Equazione logaritmica elementare Nella pratica si usano solo logaritmi naturali o decimali perché calcolabili. Da Ln x = a Passando agli esponenziali: exp (Ln x) = exp a Da cui, essendo exp (Ln x) = x Si ha: x = exp a (funzione identica)

Disequazione logaritmica elementare log a x > b Sia a > 1, da Essendo l esponenziale, in questo caso, una funzione crescente, si ha: a ^ log a x > a ^ b Essendo: a ^ log a x = x si ha: x > a ^ b Sia 0 < a < 1, da log a x > b Essendo l esponenziale, in questo caso, una funzione decrescente, si ha: a ^ log a x < a ^ b Essendo: a ^ log a x = x si ha: 0 < x < a ^ b Analoga è la trattazione del caso: log a x < b

Fine