Tensore degli sforzi di Maxwell Il campo elettromagnetico nel vuoto è descritto dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) B 0 (1) E B (2) E ϱ (3) ɛ 0 B µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E La forza di Lorentz che agisce su di una carica (puntiforme) che si muove con velocità v è data dalla 1 F q(e + v B). (5) (4) che può essere scritta (nel caso di una distribuzione di carica nota ϱ come un integrale su di una forza per unità di volume F d f. Se si potesse esprimere la forza f tramite le derivate di un tensore, basterebbe la conoscenza di tale tensore sulla superficie che racchiude un certo volume per conoscere le forze che agiscono sullo stesso volume (teorema della divergenza o di Gauss), più precisamente se valesse f div T β x β T β (6) si avrebbe F d f d div T T da T β da β, (7) S( ) S( ) β dove S( ) è la superficie chiusa che racchiude il volume in cui il tensore T β è noto. T β è rappresentato da una matrice 3 3 simmetrica (come si dimostrerà) ed è detto tensore degli sforzi. 1 si suppone che la presenza della carica q di prova non alteri apprezzabilmente i campi esterni E e B 1
Tensore degli sforzi nela caso elettrostatico Come primo esercizio lo ricaviamo nel caso elettrostatico e nel vuoto. In questo caso la forza di Lorentz agente sulle cariche è dovuta solamente al campo elettrico presente F d f d ϱ E ɛ 0 d ( E) E (8) da cui f ɛ 0 ( E) E che può essere rimaneggiata per ottenere il tensore T, infatti (la somma su indici ripetuti verrà sottintesa ora in avanti) f ɛ 0 E ( E) ɛ 0 E x β E β ɛ 0 x β (E E β ) E β x β E dove si è fatto uso delle proprietà delle derivate di un prodotto di funzioni. L equazione (9) può essere ulteriormente rimaneggiata (in particolare il secondo termine in parentesi) se si tiene conto della relazione E x β (9) E β x (10) valida in maniera banale per β e soddisfatta anche nel caso β in virtù delle proprietà irrotazionali del campo elettrico statico, ovvero E 0. Si ottiene: f ɛ 0 x β ɛ 0 (E E β ) E β E β x β x E E β 1 2 δ βe E x β T β, (11) giungendo così alla forma desiderata che definisce il tensore degli sforzi come la matrice simmetrica Ex 2 1 2 E2 E x E y E x E z T ɛ 0 E y E x Ey 2 1 2 E2 E y E z. (12) E z E y E z E y Ez 2 1 2 E2 T ammette quindi una forma diagonale da raggiungere attraverso una rotazione degli assi del sistema di riferimento, assi principali) e gli elementi 2
sono gli autovalori dell equazione T x λ x, λ 1 ɛ 0 2 E 2, λ 2,3 ɛ 0 2 E 2 (verificare come esercizio). Evidentemente questo sistema è quello in cui il campo elettrico E risulta orientato lungo l asse ˆx e quindi le componenti E y E z 0 e vale E 2 Ex, 2 da cui T ɛ 0 + 1 2 E2 0 0 0 1 2 E2 0 0 0 1 2 E2. (13) Studiamo ad esempio le forze (di tensione o di pressione) esercitate da un campo elettrico statico su di una superficie localmente piana da ˆn da (da x, da y, da z ) (ˆx ˆn, ŷ ˆn, ẑ ˆn) da. Il sistema di riferimento è scelto in modo da avere assi principali ela forma diagonale della matrice, in pratica l asse ˆx va orientato lungo E. Risulta che (dalla (7) df x T xx da x + T xy da y + T xz da z T xx da x df y T yx da x + T yy da y + T yz da z T yy da y df z T zx da x + T zy da y + T zz da z T zz da z. (14) Esempio 1): il campo elettrico risulti ortogonale all elemento di superficie e quindi parallelo a da ˆn da (da x, 0, 0), si ottiene df x T xx da x 1 2 ɛ 0E 2 da df y T yy da y 0 df z T zz da z 0. (15) Ovvero una tensione sulla superficie, cioè una forza nella stessa direzione di ˆn, df ˆx df x ˆn df x. Esempio 2): il campo elettrico risulti paralleo all elemento di superficie e quindi ortogonale a da ˆn da (0, da y, 0) (per esempio). Si ottiene df x T xx da x 0 df y T yy da y 1 2 ɛ 0E 2 da df z T zz da z 0. (16) Ovvero una compressione sulla superficie, cioè una forza nella direzione opposta a ˆn, df ŷ df y ˆn df y. 3
Esempio 3): il campo elettrico (che va posto lungo l asse principale ˆx per semplicità) formi un angolo generico θ con la normale alla superficie da ˆn da (cos θ, sin θ, 0) da. Si ottiene df x T xx da x + 1 2 ɛ 0E 2 cos θ da df y T yy da y 1 2 ɛ 0E 2 sin θ da df z T zz da z 0. (17) Ovvero la forza df ˆx df x + ŷ df y 1ɛ 2 0E 2 da (cos θ, sin θ), è posta in modo tale che il campo elettrico risulta lungo la bisettrice tra ˆn e df. In particolare per θ 45 0 la forza risulta parallela alla superficie. (si noti che il risultato (17) si riduce ai risultati precendeti se θ 0 risultato(15), se θ π/2, risultato (16). Tensore degli sforzi: caso generale Nel caso generale la forza di Lorentz (5) potrà essere scritta (per distribuzioni continue di cariche e correnti libere introdotte in un mezzo) F d f T β da β S( ) β d ϱ E + (j B) ( d d ( D) E + H D ) B E ( D) B H D B che può ultyeriormente essere rimaneggiata utilizzando le, (18) ottenendo: D (D B) B + D B, B E, (19) 4
F d (D B) + (E ( D) D ( E)) + + (H ( B) B ( H)). (20) Il termine H( B) è stato aggiunto per ottenere espressioni simmetriche in E, D e H, B dato che risulta in ogni caso nullo in virtù della B 0. Si può dimostrare (vedi appendice) la seguente uguaglianza 1 2 E ( D) D ( E) E D D E + E D β 1 x x x β 2 E D δ β analogamente per la parte con H e B. In conclusione potremmo scrivere, (21) ϱe + (j B) + 1 E D D E 1 H B B H + 2 x x 2 x x D B }{{}}{{} { E D β 1 x β 2 E D δ β + H B β 1 } 2 H B δ β, e, per i mezzi omogenei ed isotropi dove le costanti dielettriche e magnetiche non dipendono dalla posizione, i termini si annullano perchè i contributi }{{} tra parentesi si cancellano tra loro. Si ottiene ϱe + (j B) + D B { E D β 1 x β 2 E D δ β + H B β 1 2 H B δ β } x β T β, 5
dove si è identificato il tensore degli sforzi con T β. La forma integrale della precendente equazione ne aiuta l interpretazione: d ϱe + (j B) + d d D B dt T β da β S( ) }{{}}{{} β }{{} forza sulla materia ovvero tensore di Maxwell variazione quantità di variazione della quantità moto del campo di moto meccanica d dt pmeccanica + d dt pcampo S T βda β. In assenza di forze sul volume S T βda β 0 e la quantità di moto si conserva, ma solo se in include appropriatamente la quantià di moto trasportata dal campo p campo d D B ɛ rµ r c 2 d E H d ɛ rµ r S c 2 d g, dove si è definità la densità di quantità di moto del campo g ɛrµr S ed c 2 S E H è il vettore di Poynting. Quindi un onda elettromagnetica piana che trasporta un flusso di energia (mediata su di un ciclo) proporzionale alla densità di energia u e alla velocità di fase v ˆk c ɛrµ r S ˆk v ˆk u, trasporta anche una densità quantità di moto g ɛ rµ r ɛr µ r S ˆk u. c 2 c La quantità di moto trasferita (in un tempo t) ad una superficie unitaria posta perpendicolarmente al vettore d onda e che assorba tutta l onda incidente (nel vuoto, ɛ r µ r 1) p ˆk S ˆk c 2 c t I c t definisce la pressione di radiazione (per mezzi completamente assorbenti) come pressione di radiazione I c. 6
appendice Dimostrazione dell identità vettoriale (21). 1 2 E ( D) D ( E) E D D E + E D β 1 x x x β 2 E D δ β. Sviluppiamo i prodotti vettoriali usando il tensore di Ricci totalmente antisimmetrico +1 se βγ è una permutazione pari ɛ βγ 1 se βγ è una permutazione dispari. 0 se due indici sono uguali Ricordiamo che una permutazione è pari se ottenuta dalla disposizione fondamentale 1, β 2, γ 3 attraverso un numero pari di scambi di due indici, dispari se il numero di scambi è dispari. Le sole permutazioni pari sono dunque 123, 312, 231, ovvero quelle ottenute attraverso una rotazione ciclica degli indici a partire dalla fondamentale. Dispari quelle ottenute dalle pari attraverso lo scambio di due indici 2 ale la proprietà ɛ βγ ɛ λµ δ βλ δ γµ δ βµ δ γλ, sempre dovuta al fatto che (fissato un indice nei due tensori (in questo caso ) i restanti debbono essere entrambi diversi da (quindi diversi tra di loro) ed il prodotto è positivo (+1) se entrambe le disposizione sono o pari o dispari. Ovviamente δ β +1 se β, δ β 0 se β 2 Con l uso di questo tensore il prodotto vettoriale C A B può essere scritto per le singole componenti C ɛ βγ A β B γ dove si sottintendente una somma sugli indici ripetuti β, γ, ovvero C β γ ɛ βγa β B γ. Quindi se si vuole trovare (ad esempio) C x C 1, questo risulta C 1 ɛ 1β A β B γ ed i soli termini diversi da zero nella somma sono quelli in cui β 2 e γ 3 o β 3 e γ 2. Quindi C 1 ɛ 123 A 2 B 3 + ɛ 132 A 3 B 2 A y B z A z B y, come noto. 7
Si ha dunque E ( D) D ( E) D β E ɛ βγ D β ( E) γ x β D β E ɛ βγ ɛ γλµ D β E µ x β x λ D β E ɛ γβ ɛ γλµ D β E µ x β x λ D β E (δ λ δ βµ δ µ δ βλ )D β E µ x β x λ D β E D β E β + D β E x β x x β (E D β ) D β E β x β x (E D β ) D E x β x ( 1 (E D β ) + x β 2 E D 1 ) ( x 2 D E + 1 x 2 D E 1 ) x 2 E D x }{{} 1 (E D) 2 x 1 (E Dδ β ) 2 x β 1 E D D E + E D β 1 2 x x x β 2 E D δ β. q.e.d. 8