Insiemi di generatori e basi Proposizione (Corollario al Teorema di Steinitz) Siano V (K) uno spazio vettoriale, B una sua base di cardinalità n e A un sottoinsieme di V di n vettori. Allora: se A è libero, allora è una base per V (K); se A è un insieme di generatori, allora è una base per V (K). Esempi. a) Stabilire se {(1, 2, 0), (0, 2, 1), (3, 3, 3)} è una base per R 3 (R). b) Stabilire se {(1, 2, 0), (0, 2, 1), (1, 4, 1)} è una base per R 3 (R). Grazie al Teorema di Steinitz, si dimostra anche che due basi di uno stesso spazio vettoriale finitamente generato, hanno la stessa cardinalità. Essa è detta dimensione dello spazio vettoriale. Esempio. c) Stabilire per quali valori di k R l insieme {(k, k 1), (1, 0)} è base per R 2 (R).
Insiemi di generatori e basi Proposizione (Corollario al Teorema di Steinitz) Siano V (K) uno spazio vettoriale, B una sua base di cardinalità n e A un sottoinsieme di V di n vettori. Allora: se A è libero, allora è una base per V (K); se A è un insieme di generatori, allora è una base per V (K). Esempi. a) Stabilire se {(1, 2, 0), (0, 2, 1), (3, 3, 3)} è una base per R 3 (R). b) Stabilire se {(1, 2, 0), (0, 2, 1), (1, 4, 1)} è una base per R 3 (R). Grazie al Teorema di Steinitz, si dimostra anche che due basi di uno stesso spazio vettoriale finitamente generato, hanno la stessa cardinalità. Essa è detta dimensione dello spazio vettoriale. Esempio. c) Stabilire per quali valori di k R l insieme {(k, k 1), (1, 0)} è base per R 2 (R).
Esercizio 6. In R 4 (R) è data la base canonica B = ( e 1, e 2, e 3, e 4 ). Verificare se sono basi i seguenti insiemi di vettori: a) A = { e 1 e 2, e 1 e 2 + e 3, e 1 e 2 + e 3 + 3 e 4, e 1 + e 2 + 2 e 4 }; b) B = { e 1 + 2 e 3, e 2 + 2 e 4, e 1 e 2 + 2 e 4, e 1 + e 3 }.
Esercizio 6. In R 4 (R) è data la base canonica B = ( e 1, e 2, e 3, e 4 ). Verificare se sono basi i seguenti insiemi di vettori: a) A = { e 1 e 2, e 1 e 2 + e 3, e 1 e 2 + e 3 + 3 e 4, e 1 + e 2 + 2 e 4 }; b) B = { e 1 + 2 e 3, e 2 + 2 e 4, e 1 e 2 + 2 e 4, e 1 + e 3 }.
Esercizio 7. Determinare una base per la chiusura dei seguenti sottoinsiemi: a) A = {(a, b, 2a) R 3 : a, b R}; b) B = {(1, x, 0, x + 2) R 4 : x R}; c) C = {(3, 2, 2), (1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)} in R 3 (R); {[ ] } a b b + c d) D = Mat 0 a + c 2 (R) : a, b, c R. Consideriamo, per svolgere agevolmente il punto d), la biiezione da Mat 2 (R) in R 4 (R) che associa ad ogni matrice di Mat 2 (R) il vettore delle sue componenti rispetto alla base canonica. Compito. e) E = {(2b, b + a, b) R 3 : a, b R}; f) F = {(3, 0, x, x + 1) R 4 : x R}; g) G = {(0, 0, 2), (1, 0, 1), (3, 0, 1)}.
Esercizio 7. Determinare una base per la chiusura dei seguenti sottoinsiemi: a) A = {(a, b, 2a) R 3 : a, b R}; b) B = {(1, x, 0, x + 2) R 4 : x R}; c) C = {(3, 2, 2), (1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)} in R 3 (R); {[ ] } a b b + c d) D = Mat 0 a + c 2 (R) : a, b, c R. Consideriamo, per svolgere agevolmente il punto d), la biiezione da Mat 2 (R) in R 4 (R) che associa ad ogni matrice di Mat 2 (R) il vettore delle sue componenti rispetto alla base canonica. Compito. e) E = {(2b, b + a, b) R 3 : a, b R}; f) F = {(3, 0, x, x + 1) R 4 : x R}; g) G = {(0, 0, 2), (1, 0, 1), (3, 0, 1)}.
Esercizio 7. Determinare una base per la chiusura dei seguenti sottoinsiemi: a) A = {(a, b, 2a) R 3 : a, b R}; b) B = {(1, x, 0, x + 2) R 4 : x R}; c) C = {(3, 2, 2), (1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)} in R 3 (R); {[ ] } a b b + c d) D = Mat 0 a + c 2 (R) : a, b, c R. Consideriamo, per svolgere agevolmente il punto d), la biiezione da Mat 2 (R) in R 4 (R) che associa ad ogni matrice di Mat 2 (R) il vettore delle sue componenti rispetto alla base canonica. Compito. e) E = {(2b, b + a, b) R 3 : a, b R}; f) F = {(3, 0, x, x + 1) R 4 : x R}; g) G = {(0, 0, 2), (1, 0, 1), (3, 0, 1)}.
Esercizio 7. Determinare una base per la chiusura dei seguenti sottoinsiemi: a) A = {(a, b, 2a) R 3 : a, b R}; b) B = {(1, x, 0, x + 2) R 4 : x R}; c) C = {(3, 2, 2), (1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 3)} in R 3 (R); {[ ] } a b b + c d) D = Mat 0 a + c 2 (R) : a, b, c R. Consideriamo, per svolgere agevolmente il punto d), la biiezione da Mat 2 (R) in R 4 (R) che associa ad ogni matrice di Mat 2 (R) il vettore delle sue componenti rispetto alla base canonica. Compito. e) E = {(2b, b + a, b) R 3 : a, b R}; f) F = {(3, 0, x, x + 1) R 4 : x R}; g) G = {(0, 0, 2), (1, 0, 1), (3, 0, 1)}.
Esercizio 8. a) In Mat 2 (R) dire per quali valori del parametro reale a la matrice [ ] a 0 M = 1 2a appartiene al sottospazio generato da [ ] [ ] 1 1 1 0 E 1 =, E 0 3 2 =, E 1 2 3 = [ ] 0 1. 0 0 b) Dire per quali valori di α R il vettore (α 1, 0, 0) appartiene al sottospazio generato da x 1 = (0, 0, 1), x 2 = (1, 2, 4), x 3 = (1, α, [ 4). ] k 0 Compito. In Mat 2 (R) dire per quali valori di k R la matrice 1 2k appartiene al sottospazio generato da [ ] 1 1 0 3 e [ ] 1 0. 1 2
Esercizio 8. a) In Mat 2 (R) dire per quali valori del parametro reale a la matrice [ ] a 0 M = 1 2a appartiene al sottospazio generato da [ ] [ ] 1 1 1 0 E 1 =, E 0 3 2 =, E 1 2 3 = [ ] 0 1. 0 0 b) Dire per quali valori di α R il vettore (α 1, 0, 0) appartiene al sottospazio generato da x 1 = (0, 0, 1), x 2 = (1, 2, 4), x 3 = (1, α, [ 4). ] k 0 Compito. In Mat 2 (R) dire per quali valori di k R la matrice 1 2k appartiene al sottospazio generato da [ ] 1 1 0 3 e [ ] 1 0. 1 2
Esercizio 9. a) Verificare che A = {x 2 + 1, 2x, x 3 1, x + 2} è un insieme di generatori per R 3 [x]. b) Dire se B = {ax 3 + bx 2 + ia C 3 [x] : a R, b C} è sottospazio di C 3 [x](c); in caso affermativo, determinare la dimensione e una base. c) In R 3 verificare che B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)) è una base. Determinare inoltre le componenti di v = (4, 8, 8) rispetto alla base canonica e rispetto a B. d) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostra che se B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } è una base per V, allora anche D = { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3, v 1 + v 2 + v 3 + v 4 } è una base di V. e) Considera i polinomi p 1 (t) = t 2 + 1, p 2 (t) = t + 1, p 3 (t) = t 2 + 2t. Dimostra che costituiscono una base di R 2 [t] e calcola le componenti rispetto a tale base dei polinomi q 1 (t) = 2t 3, q 2 (t) = 2t 2 1.
Esercizio 9. a) Verificare che A = {x 2 + 1, 2x, x 3 1, x + 2} è un insieme di generatori per R 3 [x]. b) Dire se B = {ax 3 + bx 2 + ia C 3 [x] : a R, b C} è sottospazio di C 3 [x](c); in caso affermativo, determinare la dimensione e una base. c) In R 3 verificare che B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)) è una base. Determinare inoltre le componenti di v = (4, 8, 8) rispetto alla base canonica e rispetto a B. d) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostra che se B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } è una base per V, allora anche D = { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3, v 1 + v 2 + v 3 + v 4 } è una base di V. e) Considera i polinomi p 1 (t) = t 2 + 1, p 2 (t) = t + 1, p 3 (t) = t 2 + 2t. Dimostra che costituiscono una base di R 2 [t] e calcola le componenti rispetto a tale base dei polinomi q 1 (t) = 2t 3, q 2 (t) = 2t 2 1.
Esercizio 9. a) Verificare che A = {x 2 + 1, 2x, x 3 1, x + 2} è un insieme di generatori per R 3 [x]. b) Dire se B = {ax 3 + bx 2 + ia C 3 [x] : a R, b C} è sottospazio di C 3 [x](c); in caso affermativo, determinare la dimensione e una base. c) In R 3 verificare che B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)) è una base. Determinare inoltre le componenti di v = (4, 8, 8) rispetto alla base canonica e rispetto a B. d) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostra che se B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } è una base per V, allora anche D = { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3, v 1 + v 2 + v 3 + v 4 } è una base di V. e) Considera i polinomi p 1 (t) = t 2 + 1, p 2 (t) = t + 1, p 3 (t) = t 2 + 2t. Dimostra che costituiscono una base di R 2 [t] e calcola le componenti rispetto a tale base dei polinomi q 1 (t) = 2t 3, q 2 (t) = 2t 2 1.
Esercizio 9. a) Verificare che A = {x 2 + 1, 2x, x 3 1, x + 2} è un insieme di generatori per R 3 [x]. b) Dire se B = {ax 3 + bx 2 + ia C 3 [x] : a R, b C} è sottospazio di C 3 [x](c); in caso affermativo, determinare la dimensione e una base. c) In R 3 verificare che B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)) è una base. Determinare inoltre le componenti di v = (4, 8, 8) rispetto alla base canonica e rispetto a B. d) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostra che se B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } è una base per V, allora anche D = { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3, v 1 + v 2 + v 3 + v 4 } è una base di V. e) Considera i polinomi p 1 (t) = t 2 + 1, p 2 (t) = t + 1, p 3 (t) = t 2 + 2t. Dimostra che costituiscono una base di R 2 [t] e calcola le componenti rispetto a tale base dei polinomi q 1 (t) = 2t 3, q 2 (t) = 2t 2 1.
Esercizio 9. a) Verificare che A = {x 2 + 1, 2x, x 3 1, x + 2} è un insieme di generatori per R 3 [x]. b) Dire se B = {ax 3 + bx 2 + ia C 3 [x] : a R, b C} è sottospazio di C 3 [x](c); in caso affermativo, determinare la dimensione e una base. c) In R 3 verificare che B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (1, 0, 1)) è una base. Determinare inoltre le componenti di v = (4, 8, 8) rispetto alla base canonica e rispetto a B. d) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostra che se B = { v 1, v 2, v 3, v 4 } è una base per V, allora anche D = { v 1, v 1 + v 2, v 1 + v 2 + v 3, v 1 + v 2 + v 3 + v 4 } è una base di V. e) Considera i polinomi p 1 (t) = t 2 + 1, p 2 (t) = t + 1, p 3 (t) = t 2 + 2t. Dimostra che costituiscono una base di R 2 [t] e calcola le componenti rispetto a tale base dei polinomi q 1 (t) = 2t 3, q 2 (t) = 2t 2 1.