Coso d Statstca Facoltà d conoma a.a. - fancesco mola Sommao Le Vaabl Casual o Vaabl Aleatoe Lezone n Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Vaabl Casual Vaabl Casual (cont. Una Vaable Casuale è una egola (funzone eale che assoca ad (evento elementae d S uno ed un solo numeo eale S 6 la v.c. X assume l valoe eale 5 S Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola R Attenzone: la cosondenza ecedente è UNIVOCA e NON BIUNIVOCA! La ova ha dato quel atcolae sultato La v.c. X ha geneato quel atcolae valoe Saà ossble assocae una msua d obabltà allo sazo numeco della v.c. utlzzando la msua d obabltà defnta su sottonsem dello sazo camonao S. "S vefca l'evento con obabltà P(" "La v.c. X assume l valoe con obabltà P(" Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola
Vaabl Casual (cont. Una v.c. X è una vaable che assume valo nello sazo Vaabl Casual de nume eal secondo una funzone d obabltà P(X. 6 5 S R Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 5 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 6 semo:consdeamo una famgla con fgl 5 6 7 8 S{MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FMF,FFM,FFF} /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Defnamo la vaable casuale X numeo de fgl masch { 8} { 5 6 7 } { } { } X /8 /8 /8 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 7 /8 X P.5.75.75.5.5 5 6 7 8 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 8.75
Consdeamo come esemo due vaabl: Ttolo d studo e condzone occuazonale A ttolo d studo Bcondzone occuazonale elementae O occuato M meda D noccuato S sueoe Possamo defne seguent ossbl event elementa. S A*B {O, D, MO, MD, SO, SD} /6 /6 /6 /6 /6 /6 Dato l nseme S è ossble da cu devae dvese vaabl casual Consdeamo la vaable casuale X condzone occuazonale X o occuato { noccuato X P.5.5 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 9 X P.5.5 O MO SO D MD SD Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola.5 Seme atendo da S consdeamo la vaable casuale Y stud sueo S Y O D MO MD SO SD Y Py.667..66. Schematcamente semo: lanco d un dado, d una moneta, estazone d un numeo al lotto (a k event sono assocat k valo della V.C. vent k ( k V.c.X k k Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola
Schematcamente semo: #fgl, condzone occuazonale. cc. (a k event sono assocat h<k valo della V.C. T d vaabl casual V.C. vent k ( V.c.X h k h con h k (S,A, sazo d obabltà e A è l nseme d tutt gl event geneabl da S con l unone e la negazone In natua Dscete dscetzzate Contnue Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola vaabl casual dscete Una Vaable Casuale è nota se conoscamo la sua dstbuzone d obabltà Una vaable casuale dsceta uò essee aesentata gafcamente Le ossono essee abtae, mente le obabltà non ossono essee abtae eché:,, k Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 5 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 6
Vaabl Casual contnue Ammette nfnt valo, qund non è ossble attbue le sngole obabltà ad ogn. f( Attenzone, f( non è la obabltà!!!!!! S assoca ad ogn ntevallo una funzone f( detta funzone d denstà. Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 7 _ f( è oozonale (a meno d un nfntesmo alla obabltà d un ntevallo suffcentemente ccolo Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 8 X Se X è una vaable casuale che assume valo n [a,b], essa è defnta se: semo: f ( : ( a, b P( X + d f ( d o le vaabl casual contnue sono defnte n (, + con la conseguenza che la funzone d denstà è nulla e que valo comes n ntevall esten al camo d defnzone! Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 9 Condzone necessaa affnché una funzone d denstà f( ndvdu una v.c. X contnua è : ( f : < X < + + f ( d Nota bene: P ( X f ( d Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola
Funzone d atzone Funzone d atzone (oetà F La funzone d atzone fonsce la obabltà d un qualsas evento ( P( X ( ω dω Vaabl Casual Dscete Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola f Vaabl Casual Contnue ( +, è non decescente < F( F ( è seme comesa ta ed F( s ha che: ( lm F F( è contnua da desta Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola j ( lm F + j Gafco della funzone F ( X caso X dsceta semo: lanco d un dado X 5 6 P( /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 5 6 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola
< / 6 < / 6 < / 6 < / 6 < 5 5 / 6 5 < 6 6 < Analzzamo la F(X F( 5/6 /6 /6 /6 /6 Funzone a gadn o ste functon 5 6 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 5 caso X contnua P X P X P( X ( F F( ( ( f ( d Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 6 f ( gafcamente F ( F ( F ( gafcamente Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 7 Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 8
una elazone motante F( f ( ω dω d F ( f ( d Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 9 Moment cental Valoe medo; valoe atteso; ectaton ( X V.c. dscete + ( X f ( d ( X V.c contnue V.c contnue In geneale abbamo: V.c. dscete ( X f ( d Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola + Moment cental: cas atcola ( X ( X Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Moment scato dalla meda ( ( X ( + V.c. dscete V.c contnue Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola ( f ( d
Moment scato dalla meda: cas atcola ( X ( Moment scato dalla meda: cas atcola ( X ( ( + + + Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola VAR ( X VARIANZA Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola Moment standadzzat X + V.c. dscete V.c contnue Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 5 f ( d Moment standadzzat: cas atcola X ( X ( Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 6
Moment standadzzat: cas atcola X ( γ coeffcente d asmmeta X ( γ Coeffcente d Cutos Lez._a.a. 9- statstca-fancesco mola 7