3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 1 VALORI E DISTRIBUZIONI DI VALORI DI UNA GRANDEZZA GENERICA Forma unificata dei risultati già ottenuti I risultati ottenuti nei fascicoli 3/3, 3/5 e 3/6 sulle grandezze posizione, momento lineare ed energia di una particella possono essere posti in una forma unificata che in seguito assumeremo valida per qualsiasi grandezza fisica di qualsiasi sistema. Alla grandezza fisica G corrisponde un operatore autoaggiunto Ĝ (dove G e Ĝ e quindi i corrispondenti autovalori possono anche avere carattere vettoriale). Le equazioni agli autovalori di Ĝ per le parti discreta e continua dello spettro siano rispettivamente (1) Ĝ x w nm = g n x w nm, Ĝ x w ga = g x w ga. Allora le autofunzioni x w nm e x w ga, che assumiamo normalizzate iodo che sia (2) w n m w nm = δ nn δ mm, w g a w ga = δ(g g ) δ(a a ), rappresentano gli stati, rispettivamente propri e impropri, in cui la grandezza G ha un valore definito, tale valore essendo il corrispondente autovalore. Considerata la funzione d onda normalizzata in senso proprio ψ(x) = x ψ, il suo sviluppo sulle autofunzioni x w nm e x w ga di Ĝ sia (3) x ψ = c nm x w nm + nm dg da c(g, a) x w ga = w nm ψ x w nm + dg da w ga ψ x w ga. nm Allora la distribuzione dei valori di G quando il sistema è nello stato x ψ è (4) ϱ G (g) = δ(g g n) c nm 2 + da c(g, a) 2 = δ(g g n) wnm ψ 2 + da wga ψ. 2 I risultati possibili di una misurazione della grandezza G sono gli autovalori di Ĝ e se la grandezza viene misurata il sistema essendo nello stato x ψ la distribuzione di probabilità di ottenere i diversi valori possibili è la distribuzione ϱ G (g) dei valori di G. Nota L indice di degenerazione delle autofunzioni dello spettro continuo può anche essere discreto, nel qual caso l equazione (4) si modifica iodo ovvio.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 2 Sinteticamente, usando il termine vettore di stato al posto di funzione d onda e sottintendendo le condizioni di normalizzazione, possiamo enunciare la seguente regola interpretativa: 1 a ogni grandezza fisica corrisponde un operatore autoaggiunto i cui autovettori rappresentano gli stati in cui la grandezza ha un valore definito e i cui autovalori sono i corrispondenti valori della grandezza; 2 per uno stato generale Nota i moduli quadrati dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato sugli autovettori, sommati o integrati sugli eventuali indici di degenerazione, danno la distribuzione dei valori della grandezza in quello stato ovvero, se la grandezza viene misurata, la distribuzione di probabilità dei risultati. Nel caso di una grandezza vettoriale come la posizione o il momento lineare, se interessa la distribuzione dei valori di una sola componente, diciamo la componente x, essa è evidentemente data da ϱ Gx (g x ) = dg y dg wgx z,g y,g z ψ 2. Osserviamo che, se le autofunzioni x w g = x w gx g y g z sono interpretate come autofunzioni del solo Ĝx, g y e g z svolgono la funzione di indici di degenerazione.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 3 Valori medi e scarti medi La distribuzione ϱ G (g) dei valori g di una grandezza G è individuata in generale da infiniti parametri. Due parametri descrivono le caratteristiche più grosse della distribuzione. Essi sono, in ordine di importanza, il valore medio (o valore di aspettazione) della quantità G = dg ϱ G (g) g e il suo scarto quadratico medio G 2 = (g g) 2 = dg ϱ G (g) (g g ) 2. Ieccanica quantistica, riscrivendo l espressione (4) della distribuzione ϱ G (g) come ϱ G (g) = δ(g g n) ψ w nm w nm ψ + da ψ w ga w ga ψ, si ottiene G = dg δ(g g n) ψ w nm w nm ψ g + dg da ψ w ga w ga ψ g = ψ w nm w nm ψ g n + dg da ψ w ga w ga ψ g nm e, poiché infine Ĝ = g n w nm w nm + dg g da w ga w ga, (5) G = ψ Ĝ ψ. Analogamente si ottiene (6) G 2 = ψ (Ĝ g )2 ψ. Nota La notazione più usata per lo scarto quadratico medio è ( G) 2.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 4 DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E GRANDEZZE COMPATIBILI Abbiamo constatato che le funzioni d onda u x (x) = x x = δ (3) (x x) sono autofunzioni simultanee delle tre componenti ˆx, ŷ, ẑ dell operatore posizione ˆx; esse costituiscono un sistema ortonormale completo. Analogamente le funzioni d onda v p (x) = x p = 1/(2πħ) 3/2 exp ( (i/ħ) p x ) sono autofunzioni simultanee delle tre componenti ˆp x, ˆp y, ˆp z dell operatore momento lineare ˆp; esse pure costituiscono un sistema ortonormale completo. Tali proprietà del sistema delle autofunzioni degli operatori associati alle due grandezze sono essenziali sia per svolgere le argomentazioni contenute nei fascicoli 3/3 e 3/5, sia per porre le due distribuzioni ϱ(x) e ϱ p (p) nella forma unificata (4). D altra parte, come è ovvio, le due distribuzioni ϱ(x) e ϱ p (p) non sono altro che le distribuzioni congiunte, rispettivamente, dei valori x, y, z delle tre componenti della posizione e dei valori p x, p y, p z delle tre componenti del momento lineare. In realtà già sappiamo quale è la condizione (necessaria e sufficiente) affinché due o più operatori autoaggiunti possiedano un sistema completo di autofunzioni simultanee: la condizione è che gli operatori commutino a coppie; il sistema completo di autofunzioni simultanee può poi essere sempre scelto ortonormale. E infatti sia i tre operatori ˆx, ŷ, ẑ, sia i tre operatori ˆp x, ˆp y, ˆp z, separatamente, commutano a coppie. Le considerazioni che precedono inducono alla seguente generalizzazione della regola interpretativa già enunciata.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 5 Siano A e B due grandezze fisiche tali che i corrispondenti operatori autoaggiunti  e ˆB commutino (il discorso che segue può immediatamente essere generalizzato a un sistema di tre o più grandezze tale che i corrispondenti operatori commutino a due a due). Scritte le equazioni agli autovalori di  e ˆB nella forma  w ijd = a i w ijd, ˆB w ijd = b j w ijd, (dove gli indici i, j, d o taluni di essi possono essere in tutto o in parte continui, nel quale caso i corrispondenti autovettori sono impropri) gli autovettori comuni w ijd costituiscono un set completo che può sempre essere scelto ortonormale. Allora le proposizioni 1 e 2 della regola interpretativa precedentemente enunciata possono essere generalizzate nel modo seguente: 1 gli autovettori comuni di  e ˆB rappresentano gli stati in cui A e B hanno entrambe valori definiti e le corrispondenti coppie di autovalori sono i valori delle due grandezze in tali stati; 2 per uno stato generale i moduli quadrati dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato sugli autovettori comuni, sommati sugli eventuali indici di degenerazione, costituiscono la distribuzione congiunta dei valori delle due grandezze in quello stato. Formalmente il sistema delle due (o n) grandezze può essere assimilato a un unica grandezza i cui valori siano costituiti da coppie (o n uple) di valori. Questa considerazione, unita a quanto già assunto circa la misurazione delle componenti della posizione e del momento lineare, spinge ad assumere che le due grandezze possano essere misurate simultaneamente, e quindi a completare la nuova proposizione 2 nel modo seguente: 2 per uno stato generale i moduli quadrati dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato sugli autovettori comuni, sommati sugli eventuali indici di degenerazione, costituiscono la distribuzione dei valori congiunti delle due grandezze in quello stato ovvero, se le due grandezze vengono misurate, la distribuzione di probabilità delle coppie di valori. Un sistema di grandezze del tipo descritto si dice sistema di grandezze compatibili. Il sistema degli operatori mutuamente commutanti che rappresentano le grandezze compatibili può essere esauriente (cioè il problema agli autovalori simultaneo non presenta degenerazione) oppure no.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 6 GRANDEZZE NON COMPATIBILI Abbiamo assunto che due (o più) grandezze compatibili possiedano, per un qualsiasi stato, una distribuzione di valori congiunta e inoltre che esse possano essere misurate simultaneamente. Se gli operatori corrispondenti alle grandezze considerate non commutano esse non sono compatibili e non si può definire una distribuzione congiunta dei loro valori. In particolare, non esiste una distribuzione congiunta di x e p. Le grandezze non compatibili, inoltre, non possono essere misurate simultaneamente. Quest ultima proposizione va intesa nel senso che esse non possono essere misurate simultaneamente con precisione arbitraria, senza escludere che esse possano essere misurate simultaneamente iodo approssimato. Ad esempio può avvenire che per due grandezze rappresentate da operatori non commutanti si possano introdurre due operatori che le rappresentano iodo approssimato e che, al contrario degli operatori che le rappresentano esattamente, commutano. Se le due grandezze in questione sono due componenti omonime della posizione e del momento lineare, le relazioni di incertezza suggeriscono che il prodotto xi pi delle corrispondenti approssimazioni debba essere almeno dell ordine di ħ.
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 7 COSTANTI DEL MOTO Ieccanica classica una variabile dinamica è una costante del moto se il suo valore rimane costante nel tempo per qualunque condizione iniziale del sistema. Ieccanica quantistica una grandezza G è una costante del moto se la sua distribuzione di valori ϱ G (g) rimane costante nel tempo per qualunque soluzione ψ t dell equazione di Schrödinger. Se l operatore Ĝ che rappresenta G e l operatore hamiltoniano Ĥ non dipendono dal tempo G è una costante del moto se e solo se Ĝ e Ĥ commutano. Infatti (con riferimento per semplicità di scrittura al caso di soli spettri discreti) se Ĝ e Ĥ commutano essi hanno un sistema completo di autovettori comuni w nlm che soddisfano le equazioni Ĝ w nlm = g n w nlm, Ĥ w nlm = ħ ω l w nlm. Allora qualunque soluzione ψ t dell equazione di Schrödinger si può scrivere ψ t = nlm c nlm(0) exp( i ω l t) w nlm e per essa risulta ϱ G (g) = n δ(g g n) lm c nlm(0) exp( i ω l t) 2 = n δ(g g n) lm c nlm(0) 2. Viceversa, se ϱ G (g) non dipende dal tempo, anche il suo valore medio ψ t Ĝ ψ t non dipende dal tempo e quindi 0 = d ( ) ( ) d d dt ψ t Ĝ ψ t = ψ t Ĝ dt ψ t + dt ψ t Ĝ ψt e per l arbitrarietà di ψ t risulta [ Ĝ, Ĥ] = 0. = 1 iħ ψ t ĜĤ ψ t 1 iħ ψ t ĤĜ ψ t = 1 iħ ψ t [ Ĝ, Ĥ] ψ t Analogamente a quanto avviene ieccanica classica per la soluzione delle equazioni del moto, l individuazione, ieccanica quantistica, di una costante del moto (o di un sistema di costanti del moto mutuamente compatibili) il cui problema agli autovalori si sappia risolvere implica un progresso nella soluzione del problema agli autovalori dell operatore hamiltoniano. Infatti la soluzione del problema agli autovalori dell operatore hamiltoniano può allora essere ridotto alla soluzione del medesimo problema negli autospazi della costante del moto (o del sistema di costanti del moto compatibili).