1) LTTROSTATICA NL VUOTO se le cariche non sono puntiformi d() = 1 ρ r. dτ 4πϵ, ( r ) r 7 3 454 6 la lezione precedente distribuzione di carica carica puntiforme (volumetto infinitesimo) ρ(r )= d(r )/dt densità di carica di volume à d =ρ r. dt σ(r )= d(r )/ds densità di carica di superficie à d = σ(r ) ds λ(r )= d(r )/dl densità di carica lineare à d = λ(r ) dl 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esercizio: filo corto non omogeneo (al centro) λ(x) = K x con L < x < L Y () =??? d d = 1 λ(x) dx 4π x 3 + d 3 -L O X L X = 0 d L = d sinθ = d y r = d d x 3 + d = 1 K x dx d 3 4π x 3 + d 3 x 3 + d 3, L = T Kd U x dx Kd +x dx 5U 4π (x 3 + d 3 + T ) V/3, 4π (x 3 + d 3 ) V/3 = U = 2 T Kd x dx Kd 1 = 4π (x 3 + d 3 ) V/3 2π L 3 + d + 1 3 0 3 + d 3, 1
1) LTTROSTATICA NL VUOTO matematica si definisce flusso del vettore v attraverso la superficie S: ny ϕ(v) = v ny S = v S cos v S se v o ny variano, la superficie S va suddivisa in elementi infinitesimi: v ds ny S ϕ(v) = v ny ds 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esercizio matematica calcolare il flusso del vettore v = c kb z V attraverso la superficie chiusa di un cubo (vertici 0, 0, 0 e L, L, L) X v Z O Y ϕ(v) = v ny ds 3 41 2 le normali sono orientate verso l esterno delle superfici chiuse ϕ(v) = ϕ(v) ] + ϕ(v) 3 +ϕ(v) V +ϕ(v)^+ϕ(v) _ +ϕ(v)` v ng ϕ(v) = ϕ(v)` = cl V L 3 = cl l v (x, y, 0) = 0 2
1) LTTROSTATICA NL VUOTO matematica ds cosθ dω ds ry θ ny S l ANGOLO SOLIDO sotteso dalla superficie ds è pari al rapporto fra l area proiettata e il uadrato della distanza da O dω = nyds ry = dscosθ ΔΩ = T dscosθ l angolo solido massimo corrisponde alla superficie di una sfera (4pr 2 ) divisa per il uadrato del raggio: 4p srad (steradianti) 1) LTTROSTATICA NL VUOTO teorema di Gauss (I) ds cosθ dω ds ny S = 1 4π T ry ny il flusso del campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA che racchiude una carica puntiforme è: ϕ() = >>> dω = ϕ() = T ds = nyds ry ΔΩ = T dscosθ 4π T dω = dscosθ ny ds = T 1 4π = 4π = 4π ry r3 ny ds = 3
1) LTTROSTATICA NL VUOTO teorema di Gauss (II) = 4π ds dω n b ds ny S il flusso del campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA dovuto a una carica puntiforme esterna è nullo: >>> dω = ϕ() = T b nyds ry ΔΩ = T dscosθ T ry ny ds + T r r.3 n b ds = 6 4π cos > 0 cos < 0 = dscosθ ny ds = T 1 4π T dω ry r3 ny ds = + T dω = 0 1) LTTROSTATICA NL VUOTO teorema di Gauss (III) il flusso del campo elettrico attraverso una superficie CHIUSA dovuto a un insieme di cariche puntiformi è pari alla somma dei contributi (nulli) delle cariche esterne e di uelli ( p r s ) dovuti alle cariche interne: ϕ() = T ny ds = T t ny ds u],v = t + 0 = wx wx ϕ() ] = ϕ() 3 = ϕ() V = V w{ r s = t T ny ds wx +1nC = 340 v}~ { S1 + t T ny ds S2 yzx +2nC -3nC +4nC -1nC +3nC S3-2nC 4
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esercizio teorema di Gauss calcolare il flusso del campo elettrico attraverso un uadrato di lato L generato da una carica puntiforme posta sull asse del uadrato a distanza L/2 Z Il flusso è indipendente dall orientamento del uadrato nello spazio. Con 6 uadrati uguali è possibile costruire un cubo con la O carica al centro. X Il flusso attraverso la superficie del cubo è data da 6 contributi uguali: ϕ() = 1 6 ϕ() = 1 6 Y 1) LTTROSTATICA NL VUOTO teorema di Gauss il teorema di Gauss consente di calcolare rapidamente il flusso del campo elettrostatico ma da uesto è possibile ricavare l espressione di solo in uei pochi casi in cui, per ragioni di simmetria, è nota a priori la direzione del campo: - radiale, sferica - assiale, cilindrica - planare Si tratta, allora, di costruire una superficie CHIUSA costituita solo da elementi paralleli o perpendicolari alle linee di campo 5
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una carica puntiforme Si è in resenza di una simmetria sferica: non esiste una causa per cui le linee di campo possono essere più concentrate ad un certo angolo. Fissata una superficie sferica di raggio r (superficie di Gauss) il campo è sempre parallelo alla normale alla superficie e uguale in intensità in tutti i punti: = r ry ϕ() = T ny ds = r ry ny 4π = 4π (r) = (r) = 1 4π 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una carica uniformemente distribuita all interno di una sfera di raggio R. Data la simmetria sferica: = r ry si considera una superficie sferica di raggio r (superficie di Gauss) per cui il campo è sempre parallelo alla normale alla superficie e uguale in intensità in tutti i punti: ϕ() = T ny ds = r ry ny 4π = 4π (r) = (r) (r) = 1 se r R 4π se r R... 6
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss ρ = se r R: 4 dt 3 πrv ϕ() = T ny ds = 4π r = wx = 4, ρ 4π dr = ρ 4 3 πrv se r R (r) = ρ r = r 3 4π R V (r) se r R (r) = 1 4π r 1/r 2 R r 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss un filo indefinito uniformemente carico kˆ ny ry i contributi al campo lungo kˆ a distanza simmetrica rispetto a si annullano e non ce ne sono nella direzione ny: è orientato lungo ry e ha la stessa intensità a parità di distanza r: () = (r)ry er sfruttare la simmetria cilindrica del sistema si sceglie una superficie di Gauss cilindrica di raggio r con le basi distanti h: l unico contributo al flusso del campo è attraverso la superficie laterale del cilindro dato che la normale delle basi è perpendicolare alla direzionedel campo. 7
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss un filo indefinito uniformemente carico h ϕ() = T Š zy] ny ] ds + T ny 3 Š zy3 = 2πr h (r) = wx = λ h ds + T ry ds = Œ x er sfruttare la simmetria è (r) = λ cilindrica del sistema 1 si sceglie una superficie di Gauss cilindrica di raggio r con le basi 2πε distanti, r h: l unico contributo al flusso del campo è attraverso la superficie laterale del cilindro dato che la normale delle basi è perpendicolare alla direzionedel campo. 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una carica uniformemente distribuita all interno di un cilindro infinito di raggio R 2πr h (r) = ρ πr3 h se r R ε R, r, è (r) = ρ r 2 h (r) r se r R 1/r 2πr h (r) = ρ πr3 h è (r) = ρ R3 1 2 r dt dt () = (r)ry R r 8
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una distribuzione piana indefinita con densità di carica s kˆ z ı () = z kˆ ȷ i contributi al campo lungo ı e ȷ sono nulli: preso un elemento infinitesimo di carica ne esiste certamente un altro,, simmetrico rispetto a per cui le componenti nel piano XY si annullano mentre restano solo uellelungo Z 1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una distribuzione piana indefinita con densità di carica s er sfruttare la simmetria del sistema // ny si sceglie una superficie di Gauss cilindrica di sezione S con le basi h distanti h dal piano. ny L unico contributo al flusso del campo è attraverso le superfici di base dato h che la superficie laterale del cilindro è perpendicolare alla direzione del // ny campo. () = z kˆ 9
1) LTTROSTATICA NL VUOTO esempio teorema di Gauss una distribuzione piana indefinita con densità di carica s ϕ() = T Š zy] h h n //() ] (lat) ny n //( ) 3 ny ] ds + T ny 3 Š zy3 = h S + h S + 0 = 2 h S = wx ds + T ny ds = Œ x = σ S è (h) = σ 2 10