I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC I.5.. Propretà ntegral del campo elettrostatco Le propretà gà consderate del campo elettrostatco, descrtte dal teorema d Gauss e dal fatto che l campo elettrostatco è sempre conservatvo, hanno un carattere ntegrale. Da quest teorem possamo ottenere l valore locale del campo elettrco solo quando le sue sorgent sono dstrbute con partcolare smmetra. Il teorema d Gauss, ad esempo, nella sua formulaone ntegrale non consente d valutare ne sngol punt dello spao l campo elettrco generato da dstrbuon d carca arbtrare. Infatt l equaone QIT E d lega solo l valore del flusso totale d E ε 0 attraverso la superfce chusa alla quanttà totale d carca contenuta nel volume delmtato dalla superfce stessa. Dalla conoscena del flusso totale possamo ottenere localmente l valore d E, come abbamo gà osservato, solo quando esso è generato da dstrbuon d carca che presentano partcolar smmetre, come dstrbuon unform pane, sferche o clndrche. Infatt, n cascuno d quest cas s può nture la dreone del campo e, d conseguena, sceglere una superfce d ntegraone d geometra opportuna n modo tale che l valore d E n (ove n è l versore d d) rsult su d essa costante per ragon d smmetra. naloghe consderaon possamo fare sul teorema della crcutaone. L equaone E ds 0 stablsce che l campo elettrostatco E è sempre conservatvo, coè esplcta una propretà ntegrale del campo E che s può tradurre n una propretà locale solo con sorgent d geometra semplce e smmetrca. edamo ora d rformulare quest due teorem n forma dfferenale, n modo che descrvano propretà local del campo elettrostatco E. In questo modo non otterremo drettamente l valore locale del campo E ma l suo modo d varare da punto a punto. In altre parole troveremo le condon cu debbono soddsfare le dervate paral d E. tal fne dobbamo ntrodurre alcun operator dfferenal. bbamo vsto nel I.4.5. come partendo dal campo elettrostatco conservatvo sa stato possble ntrodurre l concetto d potenale calcolando medante un ntegrale d lnea l lavoro nel trasporto dell untà d carca. appamo anche che l valore del potenale n un punto dello spao non determna drettamente l valore del campo nello stesso punto. Tale valore può nvece essere determnato calcolando l gradente del potenale (coè la rapdtà d varaone del potenale n quel punto) n modulo, dreone e verso. In coordnate cartesane cò s ottene valutando le tre dervate paral del potenale rspetto alle tre coordnate spaal. L operaone gradente rappresenta un prmo esempo d operatore dfferenale, coè d un algortmo che applcato al campo scalare del poten-
I.5.. TEOREM DI GU I FORM DIFFEREZILE 79 ale ϕ(,,) produce come rsultato un secondo campo, n questo caso l campo vettorale E ϕ ϕ ϕ E + j + k gradϕ ϕ Introdurremo n questo captolo altr operator dfferenal, utl per rsolvere l problema dell elettrostatca. D partcolare nteresse rsultano gl o- perator dvergena e rotaonale d un campo vettorale, n quanto, come vedremo, descrvono la denstà locale delle sorgent del campo stesso. Queste possono essere d due tp: sorgent d flusso (che chameremo anche sorgent coulombane) e sorgent d vortcostà, denomnaon che dervano dall anals del campo delle veloctà d un fludo. I.5.. Teorema d Gauss n forma dfferenale. Dvergena d un campo vettorale Consderamo un punto P(,,) nello spao n cu è presente un campo elettrco E ed un volume, delmtato da una superfce, nell ntorno d P. Il teorema d Gauss asscura che l flusso d E uscente da dpende solo dalla carca n essa contenuta Q Φ IT E d ε 0 Per tradurre tale relaone ntegrale n una dfferenale, che descrva l comportamento del campo elettrco punto per punto dello spao, prendamo n esame un volume suffcentemente pccolo nell ntorno del punto P n esame, al lmte nfntesmo, e valutamo medante l teorema d Gauss l flusso uscente d Φ ρ ( P) ε 0 d P Fg. da cu dφ d ρ ε 0 (I.5.) Il prmo membro della (I.5.) defnsce la dvergena del campo E nel punto P e s ndca col smbolo dv E : questa rappresenta l flusso specfco, coè l rapporto tra l flusso del campo E uscente da un volume Δ, preso nell ntorno del punto P, e l volume stesso, valutato al lmte quando questo tende a ero. Come lmte del rapporto d due quanttà scalar (flusso e volume), la dv E è una quanttà scalare e, come mostra la (I.5.), essa dpende solo dalla denstà delle sorgent d flusso (che defnamo sorgent coulombane) present nell ntorno del punto P e non dalla partcolare geometra del volume consderato né dalle sorgent localate fuor dalla regone nfntesma consderata. el seguto daremo una dmostraone qualtatva del fatto che per un qualsas campo vettorale che abba component contnue asseme alle loro dervate prme (cosa scuramente vera per l campo elettr-
80 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC Fg. n d ΔΦ co) esste ed è fnto l lm. La dvergena va consderata come un o- Δ 0 Δ peratore dfferenale che applcato ad un campo vettorale dà orgne al campo scalare che rappresenta la denstà del flusso uscente da un elemento d volume preso nell ntorno d un qualsas punto del campo: per camp che soddsfano l teorema d Gauss, n partcolare per l campo elettrostatco, la dvergena del campo rsulta proporonale n ogn punto alla denstà delle sorgent coulombane del campo nello stesso punto. La relaone ρ(,,) dv E ε 0 rappresenta la forma dfferenale del teorema d Gauss. n n n Fg. 3 Fg. 4 n n d I.5.3. Trasformaone d un ntegrale d superfce (flusso) n un ntegrale d volume: teorema della dvergena el seguto faremo rfermento al campo elettrostatco ma le consderaon ed rsultat che troveremo s possono applcare ad un qualsas campo vettorale che abba component scalar contnue asseme alle dervate paral del prmo ordne. Consderamo l flusso d E uscente da una regone delmtata da una superfce chusa Φ E d e ora seonamo la regone n due part, possamo consderare le due superfc chuse e che racchudono le poron e, e che sono costtute dalle due part d e dalla superfce che determna la seone consderata una volta come delmtante la regone, ed una seconda volta come delmtante la regone. può vedere che l flusso d E attraverso sommato al flusso d E attraverso rsulta par al flusso attraverso la superfce nale, dato che contrbut a quest fluss dovut alla superfce d seone che abbamo aggunto sono numercamente u- gual ma d segno opposto (fg. 3). Possamo procedere n modo analogo, seonando ulterormente (fg. 4) le regon e. La somma de fluss paral uscent attraverso le superfc chuse che lmtano le regon così ottenute rsulta sempre uguale al flusso totale attraverso Φ E d E d Consderamo per cascuna delle regon l rapporto tra flusso e volume. può anche scrvere Φ Φ Φ (I.5.) Φ
I.5.. TEOREM DI GU I FORM DIFFEREZILE 8 Osservamo che nella procedura d suddvsone n volum paral, la somma d quest concde con l volume totale ( ), ma contemporaneamente, come abbamo dmostrato, anche la somma de fluss u- scent da volum paral concde con l flusso uscente dal volume totale ( Φ Φ). Per tale ragone è ragonevole attenders che, quando portamo al lmte la suddvsone, l volume d ntorno ad un punto P e l flusso dφ da esso uscente rsultno nfntesm dello stesso ordne. In altre parole è plausble che essta e sa fnto l Φ lm 0 lm 0 E d Con la sola potes che nella regone fssata le component d E sano contnue e fnte nseme alle loro dervate prme, s può dmostrare che tale lmte esste ed è ndpendente dalla partcolare procedura d suddvsone, dpendendo solo dal campo vettorale E e dal punto P scelto. Come abbamo gà vsto per l campo elettrco, questo lmte è la dvergena del campo nel punto n esame. Quando nella (I.5.) s porta al lmte la suddvsone, la somma su s trasforma n un ntegrale d volume ed l rapporto Φ nella dvergena del campo E; s ottene pertanto Φ La relaone E d lm d E d 0 dve d Φ dve d esprme l teorema della dvergena: l uso dell operatore dvergena consente d trasformare un ntegrale d flusso d un qualsas campo vettorale E, esteso ad una superfce chusa, n un ntegrale d volume d dv E, esteso al volume da essa delmtato. I.5.4. alutaone della dvergena n coordnate cartesane (solo rsultato fnale) Y d d L espressone esplcta della dvergena d un campo vettorale E dpende dal sstema d coordnate scelto per la rappresentaone del campo stesso. Calcolamo esplctamente l espressone della dv E nel caso s facca uso d un rfermento cartesano ed, n ogn punto d coordnate (,, ) l cam- E E,, sa noto n funone delle sue component cartesane po ( ) E E(,, ) E (,, ) + E (,, ) j E (,, )k + Calcolamo l rapporto tra flusso e volume gà al lmte, consderando un volume nfntesmo nell ntorno d P ed l flusso, pure nfntesmo, da questo uscente. Come elemento nfntesmo d volume sceglamo un paralleleppedo, a- vente gl spgol parallel agl ass cartesan, n modo che l suo volume sa espresso da d d d d. Z O d P Fg. 5 X
8 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC Z Y n O +d/ d/ Fg. 6 P n X Il flusso uscente da tale volume s può calcolare faclmente, osservando che l flusso attraverso cascuna facca del paralleleppedo dpende solo dalla componente d E secondo l asse cartesano normale a tale facca. Pertanto, se ndchamo con dφ l flusso complessvo attraverso le due facce avent la normale orentata da part opposte secondo l asse X, questo n generale dpende da come vara la componente E passando da una d facca all altra (fg. 6), coè dal punto d coordnate,, a quello d coordnate +,,. Qund d dφ d d E +,, E,, d d ( dd) d nalogamente per l flusso uscente attraverso le facce con normale orentata secondo l asse Y e, rspettvamente, secondo l asse Z dφ d d d ( dd) d dφ d d d ( dd) d Osservamo che dφ, dφ, dφ sono tre contrbut scalar al flusso totale uscente dall elemento d e non le component d un vettore come s potrebbe essere erroneamente ndott a pensare per la presena de tre pedc. Il flusso totale vale dφ dφ + dφ + dφ + d + e la dv E s ottene drettamente dal rapporto tra flusso e volume nfntesm come dφ dve d + + Le dervate paral delle component scalar vanno valutate nel punto P(,,) n cu s vuole conoscere la dvergena. E bene rcordare nuovamente che questa espressone vale solo n coordnate cartesane. e da un punto d vsta formale trattamo l operatore, ntrodotto per esprmere l gradente, come un vettore + j + k, possamo esprmere la dv E n coordnate cartesane come dve + + E e s vuole ottenere l espressone della dvergena n un altro sstema d
I.5.5. ROTZIOLE DI U CMPO ETTORILE 83 coordnate, come l sstema d coordnate polar r, θ, ϕ, con un procedmento analogo al precedente occorre sceglere l volume elementare medante arch nfntesm defnt da varaon d una sola delle coordnate per volta. Quest sono (fg.7) dl dr dl r dθ dr θ dθ r dθ dl 3 r snθ dϕ r snθ dϕ e l elemento d volume rsulta percò defnto come d r snθ dθ dϕ dr d dr ϕ dϕ In questo caso la dvergena (dve(r,θ,ϕ)), valutata come ΔΦ lm, r- 0 Δ sulta par a dve r r ( r E ) + ( E sn θ) r r sn θ θ θ + r sn θ Δ E ϕ ϕ Fg. 7 I.5.5. Propretà della crcutaone del campo elettrostatco n termn dfferenal. Rotaonale d un campo vettorale Per tradurre n termn dfferenal la legge della crcutaone del campo elettrostatco P n Γ E ds 0 γ che, come sappamo, esprme la propretà del campo E d essere conservatvo, possamo procedere n modo analogo a quanto fatto per tradurre n termn dfferenal l teorema d Gauss. Fssato un punto P nello spao sede del campo E, consderamo una lnea chusa γ nell ntorno d P su cu fssamo un verso postvo d percorrena. a Δ l area d una arbtrara superfce, avente come contorno la lnea chusa γ e passante per l punto P. Orentamo la normale n alla superfce utlando la regola del cavatapp destrogro o della mano destra: facendo ruotare l cavatapp nel verso postvo d γ, questo avana nel verso postvo d n, oppure ndcando con le dta della mano destra l verso d percorrena del contorno, l pollce ndca l verso della normale postva. Osservamo che prendendo lnee chuse sempre pù pccole, s rducono contemporaneamente sa l area d Δ, appoggata su γ, che la crcutaone ΔΓ d E su γ. Rscontramo n cò una stuaone analoga a quella ncontrata quando abbamo tradotto n termn dfferenal l teorema d Gauss, relatvamente al flusso uscente attraverso una superfce chusa ed l volume da essa racchuso. Questa analoga suggersce d prendere n esame l rapporto tra ΔΓ e Δ al lmte quando l area della superfce dventa nfntesma. può dmostrare che se l campo, nella regone n cu è defnto, ha component scalar contnue asseme Fg. 8 P Fg. 9 n
84 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC alle loro dervate paral del prmo ordne, l rapporto Δ ΔΓ tra la crcutaone e l area della superfce tende ad un lmte fnto quando la superfce dventa nfntesma. Cò vale per ogn punto P(,,), nel cu ntorno sa presa la superfce elementare stessa. Osservamo che le condon precedent sono ovvamente soddsfatte dal campo elettrostatco che è conservatvo. Data l arbtraretà con cu possamo sceglere la superfce sul cu contorno s valuta la crcutaone, dobbamo attenderc che l lmte dγ d dpenda non solo dalle coordnate del punto P n esame ma anche dalla partcolare orentaone della normale n all elemento d superfce d (su cu s trova l punto P). ello stesso punto P l valore del lmte può qund assumere nfnt valor dvers. può dmostrare però che esste un vettore chamato rotaonale d E, ndcato con l smbolo rote, che permette d dedurre n modo unvoco tutt valor che tale lmte assume nel punto n esame, n corrspondena delle dverse orentaon della normale n. Rsulta nfatt che l lmte cercato è dato dalla proeone del vettore rote sulla normale n dell elemento d ΔΓ lm Δ 0 Δ ( rote ) n Rcordamo che nella relaone precedente l verso postvo scelto per l calcolo della crcutaone e l verso della normale n all elemento d superfce, sul cu contorno valutamo la crcutaone stessa, sono legat dalla regola della mano destra. Il rotaonale è un operatore dfferenale che applcato ad un campo vettorale, dà orgne ad un nuovo campo vettorale la cu componente n una dreone generca dà la denstà d crcutaone per un contorno preso nel pano ortogonale a tale dreone. Per comprendere l sgnfcato dell operatore rotaonale utlamo ancora l campo d veloctà d un fludo ncompressble n moto staonaro. appamo che v può essere un campo d veloctà degl element flud anche n assena d sorgent e d po. Questa stuaone è presente quando s hanno de vortc con lnee d corrente che s chudono su se stesse e che corrspondono ad uno stato d rotaone del fludo. Il caso pù semplce s ha quando l fludo s muove tutto nseme come un unco corpo rgdo. Consderamo nfatt un volume d fludo clndrco d raggo R che ruota rgdamente con veloctà angolare ω attorno al suo asse. La veloctà v d ogn suo punto vale v ω r, ove r è l vettore che ne defnsce la posone rspetto ad un punto O dell asse d rotaone. erfcheremo nell Esempo I.5.. che n questo caso rot v ω, ndpendentemente dal valore d r. el caso d un fludo n moto staonaro non rgdo, l campo delle veloctà ed l suo rotaonale varano n generale da punto a punto. In ogn caso, però, la relaone rot v ω contnua a valere n cascun punto: l rotaonale della veloctà è par al doppo della veloctà angolare del moto del sngolo elemento del fludo. Quando l moto del fludo rsulta. D cò daremo nel seguto una spegaone qualtatva.
I.5.5. ROTZIOLE DI U CMPO ETTORILE 85 rrotaonale ( rot v 0 ) possamo osservare spermentalmente che pccol element sold trascnat nel moto non ruotano su se stess mentre vengono trasportat. In partcolare se rsulta rot v 0 n tutto l fludo, l moto del fludo è prvo d vortc. Dremo percò che l rotaonale d un campo vettorale è proporonale n ogn punto alla denstà locale d sorgent vortcose del campo stesso. el caso del campo elettrostatco, poché la sua crcutaone è sempre nulla, segue che (rote) n 0 per qualunque orentaone della normale n. e ne deduce che l campo elettrostatco è sempre rrotaonale, coè rot E 0 (I.5.3) n ogn punto dello spao e, d conseguena, esso non ha sorgent vortcose. ello studo dell elettromagnetsmo troveremo altr camp vettoral per qual sono present solo sorgent vortcose e anche camp che hanno sa sorgent coulombane che vortcose. La (I.5.3) rappresenta la formulaone dfferenale del teorema della crcutaone del campo elettrostatco. I.5.6. Trasformaone dell ntegrale d crcutaone n un ntegrale d flusso: Teorema d tokes el seguto faremo ancora rfermento al campo elettrostatco ma le consderaon ed rsultat sono del tutto general e s potranno po applcare ad un qualsas altro campo vettorale che sa defnto n una regone dello spao ove ha component scalar contnue asseme alle dervate paral del prmo ordne. Consderamo l campo elettrostatco n una tale regone e prendamo una lnea chusa γ arbtrara su cu valutamo la crcutaone Γ d E, dopo a- ver fssato un verso postvo d percorrena Fg. 0 Γ E d s γ ppoggamo ora al contorno γ una superfce arbtrara, cu punt sano tutt ntern alla regone consderata. Tale superfce può essere suddvsa medante un sstema d lnee n tante poron, cascuna delle qual ha un contorno γ lungo l quale s può valutare la crcutaone Γ d E Γ E ds γ E facle vedere che se sommamo valor d tutte le crcutaon su contorn così defnt, tutt tratt ntern non danno contrbuto alla somma n quanto vengono percors due volte n vers oppost, e pertanto loro contrbut sono dello stesso valore ma d segno opposto. Resta qund solo l contrbuto del contorno esterno Γ E ds E ds γ γ Γ
86 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC Tale relaone vale anche se moltplchamo e dvdamo cascun contrbuto Γ per l area della superfce corrspondente e contnua a valere anche se portamo la suddvsone al lmte per ed 0 Γ Γ coè rsulta Γ E ds γ Γ lm rote nd Γ rote d Γ lm 0 d rote nd Questa relaone, che esprme l teorema d tokes, s può nterpretare dcendo che la crcutaone d un campo vettorale E lungo una lnea chusa γ è uguale al flusso del vettore rot E attraverso una superfce qualsas che s appogga sul contorno γ, orentata postvamente con la regola della mano destra, n accordo al verso postvo fssato su γ. bbamo così trasformato un ntegrale d lnea n un ntegrale d superfce. bbamo gà vsto che un campo conservatvo, come l campo elettrostatco E, poché ha crcutaone sempre nulla (Γ0), deve anche rsultare rrotaonale ( rot E 0 ) n tutt punt n cu è defnto. Invece se un campo vettorale ha rotaonale nullo soltanto n una regone lmtata dello spao, rsulta anche conservatvo n tale regone solo se questa è semplcemente connessa 3. olo n questo caso, nfatt, su ogn lnea chusa traccata entro la regone possamo appoggare una superfce che sta nteramente all nterno della regone stessa, n modo tale che su tutt punt della superfce su cu s calcola l ntegrale, l rotaonale del campo rsult nullo. Per esempo, se l rotaonale del campo è nullo solo all nterno d un volume d forma torodale, l campo rsulta non conservatvo (cfr. II. 5.5). I.5.7. Calcolo delle component cartesane del rotaonale (solo rsultato fnale) Il vettore rot E può essere defnto n ogn punto valutando le sue tre component nel sstema d rfermento prescelto. el caso d un rfermento cartesano, n cu l campo vettorale E è espresso medante le sue component E E (,,) E (,,) + E (,,) j E (,,)k + s tratta d valutare per ogn punto tre lmt cu tende l rapporto ΔΓ Δ avendo scelto tre superfc d area Δ rspettvamente normal all asse X, all asse Y ed all asse Z. Come esempo, voglamo calcolare la componente lungo l asse Z del rotaonale n un punto P. potrebbe fare la scelta opposta, purché s mantenga la consstena n tutt gl svlupp successv. 3. Una regone è semplcemente connessa se una qualsas curva chusa n essa contenuta può rdurs con contnutà ad un punto sena uscre dalla regone stessa. Una regone torodale, ad esempo, non soddsfa questo requsto.
I.5.7. CLCOLO DELLE COMPOETI CRTEIE DEL ROTZIOLE (OLO RIULTTO FILE) 87 ceglamo ntorno al punto P(,, ) un areola d, con lat d e d parallel agl ass X e Y rspettvamente e con la normale orentata nel verso postvo dell asse Z (fg. ). Per la regola adottata della mano destra, la crcutaone va effettuata percorrendo l contorno n verso antoraro, se vsto da un osservatore orentato secondo k E ds Δ 0 Δ ( rote ) rote k lm Z d d E, +, + E,, d + d d d d + E +,, E,, d d d d d d + d d d d d In modo analogo s può ottenere X O n k P d Fg. d Y ( rote ) rote ( rote ) rote j Come regola mnemonca s può consderare l rote defnto dal determnante rote E j E k E nel sgnfcato confertogl dal suo svluppo formale, nterpretando l prodotto come ndcaone d dervata parale d E rspetto a, etc. Con questa notaone, smbol,, ndcano degl operator dfferenal che agscono su delle funon scalar producendo delle nuove quanttà scalar che sono appunto le rspettve dervate paral. D altro lato smbol,, possono essere nterpretat formalmente come le component cartesane dell operatore, così che l rot E n coordnate cartesane può essere espresso come rot E E EEMPIO I.5.. ROTZIOLE EL CMPO DELLE ELOCITÀ Consderamo come campo vettorale l campo delle veloctà d un corpo rgdo, ad esempo un dsco d raggo R. ssumamo dapprma che esso trasl su un pano orontale con veloctà v (fg. ). In tal caso è facle
88 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC verfcare che v ds 0 lungo un percorso chuso qualsas, ad esem- C B v D Fg. po l contorno del dsco stesso, n quanto l contrbuto relatvo all arco BC è uguale ed opposto a quello dell arco DC. Pertanto l campo delle veloctà rsulta rrotaonale. e nvece l dsco ruota rgdamente con veloctà angolare ω attorno al centro O (fg. 3), la veloctà v d un suo punto qualsas vale v ω r, ove r è l vettore che ne defnsce la posone rspetto ad O. È facle verfcare che n questo caso rot v ω, ndpendentemente dal valore d r: basta nfatt ntegrare su una crconferena d raggo r e po dvdere per la superfce da esso racchusa. Possamo anche ottenere lo stesso rsultato valutando la veloctà v degl element del dsco n rotaone e l vettore rot v n coordnate cartesane. Ponamo r + j e ω ω k j v ω r 0 0 ω ω + ωj 0 k Z e C ω B O D j k rotv ω ω 0 ( ω + ω ) k ω Fg. 3 Qund nel caso d moto rotatoro, l rotaonale della veloctà v è proporonale alla veloctà angolare locale. Il rsultato precedente contnua a valere anche se la rotaone avvene attorno ad un punto dverso da O oppure se l moto del corpo rgdo è qualsas, n quanto ogn atto d moto può essere scomposto n una traslaone pù una rotaone nfntesme ( v vo + ω r ). el caso d un moto non rgdo, quale d solto s ha per un fludo, l campo delle veloctà ed l suo rotaonale varano da punto a punto, dpendendo dal partcolare tpo d flusso. In ogn caso, però, possamo consderare ogn elemento nfntesmo del fludo come un corpo rgdo nfntesmo e la relaone rot v ω contnua a valere n cascun punto; l rotaonale della veloctà ndca lo stato d moto rotatoro del sngolo elemento del fludo. I.5.8. Uso formale degl operator dfferenal Consderamo l operatore dfferenale gradente, ndcato con l smbolo (nabla), gà vsto nella defnone del campo elettrco a partre dal potenale E grad ϕ ϕ L applcaone dell operatore ad un campo scalare ϕ (,,), corrsponde all applcaone a tale campo degl operator d dervaone parale, cascuno de qual fornsce una delle component d un campo vettorale
I.5.8. UO FORMLE DEGLI OPERTORI DIFFEREZILI 89 ϕ ϕ ϕ ϕ + j + k Da un punto d vsta formale s può trattare l operatore come un vettore + j + k ed applcare, con le dovute cautele, le regole delle operaon tra vettor. In questo modo, come abbamo gà osservato, s ha Gradente ( ϕ ): Equvale al prodotto d un vettore per uno scalare, coè ϕ ϕ ϕ ϕ + j + k Dvergena ( ): Equvale al prodotto scalare tra vettor, coè + + Rotaonale ( ): Equvale al prodotto vettorale tra vettor, coè j k Quest operator sono lnear, nel senso che, per esempo, s ha ( ϕ + ϕ ) ϕ + ϕ. L uso formale dell operatore è utle per ottenere drettamente alcune propretà notevol degl operator, propretà che s possono d altra parte dmostrare n manera rgorosa medante lo svluppo completo. Queste propretà sono. ϕ 0 coè rot (grad ϕ) 0 Cò sgnfca che un campo conservatvo che derva da un potenale è sempre rrotaonale.. 0 coè dv (rot ) 0 Un campo vettorale che sa defnto come rotaonale d un campo vettorale arbtraro è sempre a dvergena nulla e vene detto solenodale. In altre parole tale campo non ha sorgent coulombane. 3. Consderamo ora la seguente combnaone dv ( gradϕ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + + L operatore (dv grad) che ndchamo con e con l nome d operatore d Laplace (o Laplacano) è un operatore lneare e scalare coè, applcato ad un campo scalare ϕ produce un nuovo campo scalare: ϕ. Talvolta è formalmente utle applcarlo ad un campo vettorale ma, n tal caso, lo s ntende applcato separatamente alle component cartesane d, coè ϕ
90 I.5. FORMULZIOE DIFFEREZILE DELL ELETTROTTIC ( + j + k) + j + dato che versor degl ass d rfermento sono da consderars costant nell operaone d dervaone. 4. Rcordando che ( B C) ( C) B ( B)C s può ottener la seguente denttà, che rsulterà partcolarmente utle nel seguto rot rot ( ) grad dv 5. Mentre per vettor ver vale la relaone (B C) ( B) C, s può verfcare con lo svluppo dretto che per l operatore vale nvece ( B) B ( ) ( B) coè dv ( B) B ( rot) ( rotb) 6. Infne s può verfcare con lo svluppo dretto che per l operatore rsulta ( ϕ ) ϕ( ) + ( ϕ) coè dv ( ϕ ) ϕ( dv) + gradϕ k