Corso di Complementi di gasdinamica Tommaso starita astarita@unina.it www.docenti.unina.it Complementi di Gasdinamica T starita odulo 3 del 5/0/009 In generale la soluzione delle equazioni è abbastanza complessa ed è quindi necessario risolvere differenziale alle derivate ordinarie (ODE) numericamente. Il problema non presenta particolari difficoltà e per questo motivo si utilizzerà un metodo di Runge - Kutta del quarto ordine: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 3 Definiamo una geometria standard di tipo sinusoidale: 3 3 3 cos cos Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 4 Derivando si ha: 3 3 3 sin d d sin d d

Diagrammando: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 5 La seguente equazione differenziale può essere codificata come d d dto dn To dm m Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 6

Il programma principale diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 7 Il programma principale diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 8

Il risultato è: =0.97608 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione 0.43 /*.0004783 /.5 0.976034 /*.5007750 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 9 Utilizzando ode45 il programma principale diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 0

Il risultato è: =0.97603 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione 0.43 /*.0004783 /.5 0.976034 /*.5007750 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita Trascurando il termine df D e supponendo y=0 il termine dn/d diventa: dn 4f d D Supponendo che il condotto abbia una sezione retta circolare si ha: 4 D Da cui: dn d 4f 4 f Che codificata diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita

Cambiando le condizioni iniziali il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 3 Il risultato è: =0.866 entre utilizzando le tabelle si ha: Solo f Dati Sezione 4fL*/D 0.054697 L 0.5 0.8664 f D.837967 4fL/D.7745385 0.43 4fL*/D.8750968 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 4

Supponiamo che i termini di adduzione di energia e di massa siano lineari: T o T o a T m m o a m Da cui: dt d o dto T d o a T T o at a T dm d dm md a m m o a m a m Che codificate diventano: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 5 Cambiando le condizioni iniziali il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 6

Il risultato è: =0.9449 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione To 600 L 0.5 To/To* 0.995586 To 350 0.9449 at 500 0.43 To/To* 0.58075594 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 7 Cambiando le condizioni iniziali il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 8

Il risultato è: =0.85846 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione m.3 L 0.5 m/m* 0.9906955 m 0.85846 am 0.6 0.43 m/m* 0.76073448 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 9 La determinazione delle grandezze termofluidodinamiche può essere fatta utilizzando le relazioni (30-34). In particolare per la pressione statica si ha: p m To 3 p m To Che codificata diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 0

Per la Temperatura statica si ha: 30 T T T T o o Complementi di Gasdinamica Tommaso starita Si potrebbe fare un analogo discorso per le altre variabili termofluidodinamiche però se il numero di ach, la pressione e la temperatura statiche sono noti è facile determinare sia le grandezze di ristagno (con le formule del moto isentropico) che le altre grandezze termofluidodinamiche. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita

questo punto è il caso di riordinare le varie routines in modo da poter seguire una curva di funzionamento più generale, in presenza di onda e/o sezione sonica. questo scopo come prima cosa riesaminiamo la funzione che descrive la variazione in modo che sia possibile avere un geometria leggermente più generale. Supponiamo che possano essere presenti più di tre sezioni principali e che la geometria sinusoidale possa essere prolungata con un condotto a sezione costante. 3 3 cos cos 3 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 3 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 4

In modo analogo per la derivata: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 5 Con il seguente codice chiamante si ha: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 6

Si deve ora modificare il codice del programma principale. Si utilizzerà la seguente simbologia: Le condizioni di ristagno saranno indicate con il pedice 0 (p0 =pressione di ristagno) ; Le sezioni saranno indicate con un numero progressivo in particolare la sezione relativa ad =0 sarà sempre indicata con il numero (p= pressione statica nella sezione relativa quindi ad =0); Il moto prima della sezione sarà considerato isentropico quindi, ad esempio, p0=p0; In presenza di discontinuità si utilizzerà il pedice aggiuntivo v o m per indicare rispettivamente le condizioni a valle ed a monte della dicontinuità; Q indica il numero di ach al quadrato; di pedici indica che la variabile è un vettore; Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 7 Eliminando differenziale e riscrivendo per il numero di ach con le convenzioni adottate si ha: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 8

Il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 9 Il risultato è: =0.85846 p=8.4905 T=305.643 entre utilizzando le tabelle si ha: Solo m Dati Sezione m.3 L 0.5 m/m* 0.99069548 po 50 0.8584609 To 350 p/p*.9053649 m T/T*.04797465 am 0.6 p 8.49045649 0.43 T 305.645938 m/m* 0.76073448 p/p*.9064868 T/T*.5706504 p/po 0.880650668 T/To 0.964338753 p 3.097600 T 337.585635 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 30

Il risultato è: =0.85846 p=8.4905 T=305.643 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 3 Il caso in cui è presente integrando prima e dopo : può essere facilmente affrontato Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 3

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 33 Dove NSW, NSWp e NSWT sono le funzioni che determinano i rapporti caratteristici per le onde normali. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 34

Dove NSW, NSWp e NSWT sono le funzioni che determinano i rapporti caratteristici per le onde normali. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 35 Il risultato è: 3=0.66655 p3=73.9934 T3=505.53 p3-p(end)=0 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione urto Sezione 3 4fL*/D 0.63738 4fL*/D 0.807 L 0.5 m.74733 3 0.66655 po 50 p/p* 0.5097 p/p*.57573 To 550 T/T* 0.75379 T/T*.05 f 0. p 3.6674 p 73.9934 D.837967 T 344.84037 T 505.59 4fL/D 0.0886693 v 0.634688 4fL*/D 0.304996503 4fL*/D 0.3706933 p/p* 0.408489 p/p*.665486 T/T* 0.666666667 T/T*.06387 p/po 0.780455 p 78.0363 T/To 0.555555556 T 509.0473 p 9.706788 T 305.5555556 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 36

Il risultato è: 3=0.66655 p3=73.9934 T3=505.53 p3-p(end)=0 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 37 Non è necessario valutare le grandezze termofluidodinamiche a monte ed a valle perchè come logico sono uguali a quelle che si possono valutare direttamente. Si esamini ora un caso più generale. Si supponga di assegnare le condizioni iniziali e la pressione ambiente e si determini la posizione. Si può procedere con un metodo di falsa posizione. Conviene definire una funzione IntegraD che permette di integrare direttamente anche in presenza. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 38

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 39 Un possibile chiamante è: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 40

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 4 Il risultato è: 3=0.66655 p3=73.9934 T3=505.53 p3-p(end)=0 entre utilizzando le tabelle si ha: Dati Sezione urto Sezione 3 4fL*/D 0.63738 4fL*/D 0.807 L 0.5.74733 3 0.66655 po 50 p/p* 0.5097 p/p*.57573 To 550 T/T* 0.75379 T/T*.05 f 0. p 3.6674 p 73.9934 D.837967 T 344.84037 T 505.59 4fL/D 0.0886693 3 0.634688 4fL*/D 0.304996503 4fL*/D 0.3706933 p/p* 0.408489 p/p*.665486 T/T* 0.666666667 T/T*.06387 p/po 0.780455 p 78.0363 T/To 0.555555556 T 509.0473 p 9.706788 T 305.5555556 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 4

Utilizzando invece una funzione standard di matlab riscrivere la funzione da azzerare. è necessario Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 43 Il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 44

Utilizzando un procedimento analogo si può risolvere anche il caso tutto subsonico: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 45 Il chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 46

Il risultato è: Warning: Failure at t=4.69979e-00. Unable to meet integration tolerances without reducing the step size below the smallest value allowed (8.88784e-06) at time t. > In ode45 at 37 In IntegraD at 4 In ErrPSub at 3 In fzero at 403 In otoda at 9 =0.43 3=0.866 p3=66.0773 T3=308.363 p3-p(end)=0 Un tentativo porta ad un errore comunque esatto. però il risultato finale è Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 47 =0.43 3=0.866 p3=66.0773 T3=308.363 p3-p(end)=0 Usando le tabelle: Solo f Dati Sezione 4fL*/D 0.0546977 L 0.5 0.866398 po 50 p/p*.5394783 To 350 T/T*.0574467 f p 66.0773009 D.837967 T 308.363094 4fL/D.7745385 0.43 4fL*/D.8750968 p/p*.5070073 T/T*.5706504 p/po 0.880650668 T/To 0.964338753 p 3.097600 T 337.585635 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 48

La gestione di una sezione sonica può essere risolta con il metodo proposto da Beans (970). () è evidentemente singolare per = però il valore della derivata del numero di ach può essere ricavato facendo il limite per che tende ad uno: d lim d d dn d dt T d dn d d lim limite può essere valutato con la regola del Hospital. o o dto T d o dm m dm md Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 49 d dn dto d d d Tod lim lim d d d d dn d dto d d d d d d Tod lim d d d d dn d dto d dm 4 d d d Tod d md d d Risolvendo nella derivata del numero di ach: d d 4 4 dn d dto T d d d d d dm md dm md o Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 50 d d d d dn d d d dto T d o d d dm md d d dm md

d d 4 4 dn d dto T d o d d d d dm md Questa è quadratica nella derivata del numero di ach è può essere risolta esplicitamente. Riscrivendola come: d d b c 0 d d d d d dn d dto d dm c 4 d d d d d T d d md d d d d dn d o d d dto T d o d d dm md b 4 dn d dt T d o o dm md Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 5 Si ha: d b b c d Evidentemente ci sono due possibili soluzioni una positiva ed una negativa. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 5

La determinazione della sezione in cui il numero di ach è unitario è immediata utilizzando la (): d d dto dm dn To m Imponendo che il termine a destra sia nullo e nel caso in cui = si ha: d d dn d dto T d o dm md 0 Che è un equazione, in generale, non lineare nella variabile. Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 53 per la soluzione di un problema generale è analogo a quello seguito nel caso di flussi semplici. Si suppone di avere una sezione critica e si trovano le curve caratteristiche. Se la pressione ambiente è maggiore di quella critica subsonica si procede per tentativi con una curva tutta subsonica. ltrimenti si verifica presenza e posizione normale. La determinazione della sezione sonica può essere effettuata con la seguente funzione: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 54

La gestione del punto sonico può essere inserita direttamente nella routine dd: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 55 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 56

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 57 Un possibile chiamante diventa: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 58

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 59 Si Esamini ora 8.7 del testo Hodge e Koenig: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 60

Si Esamini ora 8.7 del testo Hodge e Koenig: Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 6 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 6

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 63 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 64

Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 65 I risultati sono simili a quelli del testo Hodge e Koenig: star=3.4835 =0.6356 p=98.496 T=994.678 r3=.683 pr3=.3644 Tr3=49.48 r=0.4978 pr=9.34 Tr=43.48 r=0.0508 pr=9.3 Tr=99.35 =0.6356 3=0.093038 p3=5 T3=97.9 p3-p(end)=.363e-04 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 66

Un ugello convergente divergente sinusoidale è collegato ad un condotto rettilineo. Le sezioni caratteristiche sono: Supponendo che: 0.0000.0000.0000.0000 3.0000.5000 3.5000 m o 00.0000 p o.0000 To 700.0000 at -00.0000 am 5.0000 f 0.000 p a.0000 Determinare le curve caratteristiche e la curva di funzionamento. Determinare inoltre la Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 67 Soluzione: in 0.356 out 0.3039 p in.8666 p out.0000 * 0.997 Schock.635 Complementi di Gasdinamica Tommaso starita 68