A. A. 2016-2017 Modelli di offerta di trasporto richiami di teoria del deflusso Esempi applicativi prof. ing. Antonio Comi Department of Enterprise Engineering University of Rome Tor Vergata 1
indice Variabili del deflusso (esercizi 1 4) Circolazione in linea Modelli deterministici (esercizi 5 11) Modelli stocastici (esercizi 12 15) Circolazione ai nodi Modelli deterministici Modelli stocastici 2
Esercizio 1 In una sezione stradale denominata AA con inizio alle 8:00 e fino alle ore 8:02 sono transitati 6 veicoli, rispettivamente con velocità: 1. 50 km/h 2. 60 km/h 3. 45 km/h 4. 55 km/h 5. 45 km/h 6. 50 km/h A A Calcolare flusso e velocità media temporale. 3
Esercizio 1 Numero di veicoli transitati m o (AA, t, t+dt) = 6 veicoli Flusso f (AA) = m o / Dt = 6 / (2 min) = 3 veih/min = 180 veih/h Velocità media temporale nella sezione AA v t (AA) = (50+60+45+55+45+50)/6 = 50,8 km/h 4
Esercizio 2 Alle ore 9:10, in un tronco stradale di lunghezza L a (= 100m) sono presenti 3 veicoli, rispettivamente con velocità istantanea: 1. 60 km/h 2. 55 km/h 3. 55 km/h A B A B Calcolare densità e velocità media spaziale. 5
Esercizio 2 Numero di veicoli al tempo t (= 9:10) n (t)= 3 veicoli Densità k = 3 / 100 = 0,03 veh/m = 30 veh/km Velocità media spaziale alle ore 9:10 è v (t) = (60+55+55)/3 = 56,7 km/h 6
Esercizio 3 In una sezione stradale denominata AA con inizio alle 10:00 e fino alle ore 10:01 sono transitati 2 veicoli, rispettivamente con velocità: 1. 30 km/h 2. 40 km/h A Calcolare flusso e velocità media temporale. A f = 2 / 1 min = 2 veih / min = 120 veh / h v t = (30+40)/2 = 35 km/h 7
Esercizio 4 Alle ore 9:30, in un tronco stradale di lunghezza L a (= 250m) sono presenti 25 veicoli. Calcolare la densità. A B A B k = 25/250 = 0,1 veh/m = 100 veh/km 8
Esercizio 5 In un tronco stradale di lunghezza La (=100m) sono state rilevate le tracce orarie dei veicoli che lo utilizzano per un intervallo temporale Dt (=60 secondi). Calcolare il flusso in corrispondenza della coordinata spaziale 20 m e la densità in corrispondenza dell istante t = 30 sec. Si valuti la velocità media temporale in corrispondenza della coordinata spaziale 20 m e la velocità media spaziale in corrispondenza dell istante 30 s. 9
Esercizio 5 (1/3) f (s=20m) = m/dt = m / 60 s m = 6 veicoli f (s) = 6 / 60 s = = 0,1 veh / s = 360 veh / h 10
Esercizio 5 (2/3) k (t=30s) = n/ds = n / 100 m n = 2 veicoli k (t) = 2 / 100 m = = 0,02 veh / m = 20 veh/km 11
Esercizio 5 (3/3) s = 20 m v 1 = 100/10 = 10 m/s v 2 = 100/10 = 10 m/s v 3 = 100/20 = 5 m/s v 4 = 100/20 = 5 m/s v 5 = 100/10 = 10 m/s v 6 = 50/10 = 5 m/s Vel. Media temporale = v t = 7,5 m/s = 27 km/h t = 30 s v 3 = 100/20 = 5 m/s v 4 = 100/20 = 5 m/s v s = 5 m/s = 18 km/h 12
Esercizio 6 In una scala mobile sono stati osservate le tracce orarie dei pedoni durante un intervallo temporale di durata pari a 60 s. Calcolare il flusso nella sezione iniziale (s = 0m) e finale (s = 20 m) f(0) = 5 / 1 min = 300 pedoni/h f(20) = 6 / 1 min = 360 pedoni/h 13
Esercizio 7 In un tronco di infrastruttura ferroviaria monodirezionale di lunghezza L a (=1000m) sono state osservate le tracce orarie dei treni durante un intervallo temporale di 700 s. Calcolare il flusso in corrispondenza delle sezioni di coordinate s1 (=200m) e s2 (=800m). Si valuti inoltre la velocità media temporale in corrispondenza della sezione s1 (s = 200 m) f(200) = 2 / 700 s = 10,3 treni/h f(800) = 3 / 700 s = 15,44 treni/h v (200) = 1/2 * [(700/150)+(1000/100)]=1/2*[4,7 + 10] = 7,4 m/s = 26,4 km/h 14
Esercizio 8 Si consideri una corrente veicolare autostradale che si trova in condizioni stazionarie. La velocità di deflusso sia v 0 (=120km/h). La densità limite del flusso sia k jam (=150 veh/km). Si ipotizzi una densità in corrispondenza della capacità k c = 75 veh/km. Applicando il modello di Drake, valutare le grandezze fondamentali in corrispondenza dei valori di densità k 1 =20 veh/km e k 2 =30 veh/km. Modello di Drake ( ) = ( ) v k v0 exp k k ( ) = ( ) f k v0 k exp k k ( ) = 2 ( ) f v kc v ln v v c 0 2 c 2 05, 2 2 ( ) ( ) 2 v k1 = 120 exp 20 75 2= 115, 7km / h ( ) ( ) 2 v k2 = 120 exp 30 75 2= 110, 7km / h ( ) ( ) 2 f k1 = 120 20 exp 20 75 2= 2316veh / h ( ) ( ) 2 f k2 = 120 30 exp 30 75 2= 3320veh / h 15
f [veicoli/h] f [veicoli/h] v [km/h] Esercizio 8 Modello di Drake 140,00 v(k) ( ) = ( ) v k v0 exp k k ( ) = ( ) f k v0 k exp k k ( ) = 2 ( ) f v k v ln v v c c 2 c 2 2 2 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 05, 0 20,00 0,00 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k [veicoli/km] f(k) f(v) 6000 3500 5000 3000 4000 3000 2000 2500 2000 1500 1000 1000 500 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k [veicoli/km] 0 0 20 40 60 80 100 120 140 v [km/h] 16
Esercizio 9 Si consideri una corrente veicolare autostradale che si trova in condizioni stazionarie. La velocità di deflusso sia v 0 (=40km/h). La densità limite del flusso sia k jam (=150 veh/km). Applicando il modello di Greenberg, valutare le grandezze fondamentali in corrispondenza dei valori di densità k 1 =120 veh/km e k 2 =130 veh/km. ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) v k v k f k f k 2 = 89, km / h = 57, km / h = 1071veh / h = 744veh / h 17
f [veicoli/h] f [veicoli/h] v [km/h] Esercizio 9 Modello di Greenberg ( ) v k v ln k k = 0 jam ( ) = 0 jam ( ) = f k v k ln k k f v k v exp v v jam 0 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 v(k) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k [veicoli/km] f(k) f(v) 2500 2500 2000 2000 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 k [veicoli/km] 0 0 20 40 60 80 100 120 140 v [km/h] 18
Esercizio 10 Si consideri una corrente veicolare autostradale che si trova in condizioni stazionarie. La velocità di deflusso sia v 0 (=130km/h). La densità limite del flusso sia k jam (=200 veh/km). Si ipotizzi una densità in corrispondenza della capacità k c = 100 veh/km. Applicando il modello di Drake, valutare le grandezze fondamentali in corrispondenza dei valori di densità k 1 =10 veh/km e k 2 =20 veh/km. ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) v k v k f k f k 2 = 129km / h = 127km / h = 1293veh / h = 2549veh / h 19
Esercizio 11 Si consideri una corrente veicolare autostradale che si trova in condizioni stazionarie. La velocità di deflusso sia v 0 (=50km/h). La densità limite del flusso sia k jam (=200 veh/km). Applicando il modello di Greenberg, valutare le grandezze fondamentali in corrispondenza dei valori di densità k 1 =170 veh/km e k 2 =180 veh/km. ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) v k v k f k f k 2 = 8km / h = 5km / h = 1381veh / h = 948veh / h 20
Esercizio 11 Si consideri una infrastruttura stradale attraversata da un flusso unidirezionale stazionario. I veicoli viaggiano con velocità massima 130 km/h e seguono la legge di Drake. La densità limite è k jam = 120 veh/km e quella in corrispondenza della capacità risulta k c = 60 veh/km. Valutare il flusso in termini di veicoli/h e la velocità di marcia in corrispondenza di un valore di densità di 20 veh/km, si valuti inoltre il flusso in termini di utenti/h a bordo dei veicoli ipotizzando che su ogni veicolo viaggino in media 1.3 utenti. f = 2459 veicoli / h v = 123 km/h f utenti = 3197 utenti/h 21
Esercizio 12 In una sezione stradale è stato rilevato che dalle ore 8:00 alle ore 9:00 il flusso veicolare si mantiene stazionario con valore f = 200 veicoli/h. Si ipotizzi che il numero di utenti che attraversano la sezione stradale in un intervallo di tempo prefissato sia distribuito secondo una legge di probabilità di Poisson. Determinare: il numero di veicoli che mediamente transitano in un intervallo temporale di 2 minuti, con varianza e coefficiente di variazione; la probabilità che nello stesso intervallo di tempo transiti un solo veicolo; la probabilità che nello stesso intervallo di tempo transiti almeno un veicolo; la probabilità che nello stesso intervallo di tempo transitino almeno tre veicoli. 22
Esercizio 12 Arrivo dei veicoli secondo la legge di probabilità di Poisson E [n,t=2min] = f * T = 200 * 2/60 = 6,7 veicoli Var [n,t] = f * T = 200 * 2/60 = 6,7 veicoli 2 Cv [n,t] = (Var [n,t]) 0,5 / E [n,t] = 0,387 La probabilità che nello stesso intervallo transiti un solo veicolo (n = 1 veicolo) ( ) n ( f T ) exp ( f T ) ( ) P n,t = = 6. 7exp 6. 7 = 0. 008 = 0. 8% n! La probabilità che nello stesso intervallo transiti almeno un veicolo (n 1) è dato da ( ) ( ) ( ) ( ) P n 1,T = P 1,T + P 2,T +... = 1 P 0,T = 1 exp( 6. 7 ) = 0, 999 = 99, 9% La probabilità che nello stesso intervallo transiti almeno tre veicoli (n 3) è dato da ( ) 2 6, 7 exp( 6, 7 ) P( n 3,T ) = 1 P ( 0,T ) P ( 1,T ) P ( 2,T ) = 1 exp( 6, 7 ) 6, 7 exp( 6, 7 ) = 2! = 0, 963 = 96, 3% 23
Esercizio 13 In una sezione stradale è stato rilevato che dalle ore 8:00 alle ore 9:00 il flusso veicolare si mantiene stazionario con valore f = 200 veicoli/h. Si ipotizzi che gli intertempi veicolari siano distribuiti secondo una legge di probabilità Esponenziale Negativa. Determinare: l intervallo temporale medio tra il passaggio di due veicoli, con varianza e coefficiente di variazione; la probabilità che l intervallo di tempo tra il passaggio di due veicoli successivi sia minore di 1 minuto. 24
Esercizio 13 Intervallo temporale medio tra il passaggio di due veicoli successivi è dato da E [t] = 1/ f = 1 / 200 = 0,005 h = 18 s Var [t] = 1/f 2 = 324 s 2 Cv [n,t] = 1 La probabilità che l intervallo di tempo tra il passaggio di due veicoli successivi sia minore di 1 minuto risulta: ( 0 1 ) 1min 1min p t min = ( t )dt = f exp( f t )dt = 0 0 = exp( 200 1 / 60 ) exp( 200 0 / 60 ) = 0, 964 = 96, 4% 25
Esercizio 14 In un marciapiede il flusso di pedoni si mantiene in condizioni stazionarie durante la giornata, con valore del flusso medio f = 1000 veicoli/h. Utilizzando una legge di distribuzione di probabilità di Poisson per il numero di pedoni in arrivo, determinare: il numero di pedoni che mediamente transitano in un intervallo temporale di 10 minuti, con varianza e coefficiente di variazione; la probabilità che nello stesso intervallo di tempo transiti un solo pedone; la probabilità che nello stesso intervallo di tempo transiti almeno un pedone. E [n,t] = 166,7 utenti Var [n,t] = 166,7 utenti 2 Cv [n,t] = 0,08 P(1,T) = 0%; P(n 1, T) = 1% 26
Esercizio 15 Una infrastruttura di trasporto è utilizzata da un flusso veicolare f = 2300 veicoli/h. in condizioni ordinarie la capacità è pari a Q = 3500 veicoli/h. in seguito ad un incidente stradale, la capacità della strada si riduce ad un valore Q1 = 1500 veicoli/h per una durata temporale T* = 15 minuti e dopo ritorna al valore iniziale Q. Calcolare i principali indicatori di sistema (numero massimo di veicoli in coda, istante di smaltimento della cosa, ritardo complessivo, etc. 27
Esercizio 15 N max (lunghezza massima di coda) = (f-q1) T* = (2300 1500) 15/60 = 200 veicoli Istante di smaltimento della coda, T1 T1 = [(Q-Q1) T*]/(Q-f) = [(3500-1500) 15/60]/(3500-2300) = 0,417 s = 1500 s Il ritardo medio complessivo, TW TW = (f-q1) T* T1 / 2 = 200 (1500/3600) / 2 = 41,7 veicoli ore Il numero di utenti che hanno subito ritardo, N R N R = f T1 = 958 veicoli Il ritardo medio degli utenti, TW M TW M = TW / N R = 157 secondi 28
Riferimenti Vitetta, A. (2003). Il deflusso nei sistemi di trasporto. Esercizi ed applicazioni. Franco Angeli. http://www.francoangeli.it/ricerca/scheda_libro.aspx?codicelibro=1035.2 29