I43-Esame di Stato di Istruzioe secodaria superiore Idirizzi:LI, EA-Scietifico LI3-Scietifico Opzioe scieze applicate LI-Scietifico-Sezioe ad idirizzo sportivo. (Testo valido ache per le corrispodeti sperimetazioi quadrieali) Problema () Devi programmare il fuzioameto di ua macchia che viee adoperata ella produzioe idustriale di mattoelle per pavimeti. Le mattoelle soo di forma quadrata di lato (i opportue uità di misura) e le fasi di lavoro soo le segueti: Si sceglie ua fuzioe y=f(x) defiita e cotiua ell itervallo [;] che soddisfi le codizioi: a) f()=; b) f()=; c) < f(x)< per <x<. La macchia traccia il grafico della fuzioe y=f(x) e i grafici simmetrici di rispetto all asse y, all asse x e all origie O, otteedo i questo modo ua curva chiusa, passate per i puti (;), (;), (-;), (;-), simmetrica rispetto agli assi cartesiai e all origie, coteuta el quadrato Q di vertici (;), (-;), (-;-), (;-). La macchia costruisce la mattoella colorado di grigio l itero della curva chiusa e lasciado biaca la parte restate del quadrato Q; vegoo quidi mostrate sul display alcue mattoelle affiacate, per dare u idea dell aspetto del pavimeto. Il mauale d uso riporta u esempio del processo realizzativo di ua mattoella semplice: La pavimetazioe risultate è riportata di seguito: () Le figure e soo tratte dal testo miisteriale pubblicato all idirizzo http://www.istruzioe.it/esame_di_stato/78/licei/ordiaria/i43_ord8.pdf e restao duque di proprietà itellettuale dell autore del testo. Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia
. Co riferimeto all esempio, determia l espressioe della fuzioe y=f(x) e l equazioe della curva, così da poter effettuare ua prova e verificare il fuzioameto della macchia.. Ti viee richiesto di costruire ua mattoella co u disego più elaborato che, oltre a rispettare le codizioi a), b) e c) descritte i precedeza, abbia f()= e l area della parte colorata pari al % dell area dell itera mattoella. A tale scopo, predi i cosiderazioe fuzioi poliomiali di secodo e terzo grado. Dopo aver verificato che o è possibile realizzare quato richiesto adoperado ua fuzioe poliomiale di secodo grado, determia i coefficieti a,b,c,d della fuzioe f(x) poliomiale di terzo grado che soddisfa le codizioi poste. Rappreseta ifie i u piao cartesiao la mattoella risultate. 3. Vegoo proposti a u cliete due tipi diversi di disego, derivati dalle fuzioi a x x,, cosiderate per x[;], co itero positivo. b x x Verifica che al variare di tutte queste fuzioi rispettao le codizioi a), b) e c). Dette A() e B() le aree delle parti colorate delle mattoelle a partire da tali fuzioi a e b, calcola lim Ae lim B ed iterpreta i risultati i termii geometrici. 4. Il cliete decide di ordiare. mattoelle co il disego derivato da a x e. co quello derivato da x. La vericiatura viee effettuata da u braccio meccaico che, dopo aver b depositato il colore, tora alla posizioe iiziale sorvolado la mattoella lugo la diagoale. A causa di u malfuzioameto, durate la produzioe delle. mattoelle si verifica co ua probabilità del % che il braccio meccaico lasci cadere ua goccia di colore i u puto a caso lugo la diagoale, macchiado così la mattoella appea prodotta. Forisci ua stima motivata del umero di mattoelle che, avedo ua macchia ella parte o colorata, risulterao daeggiate al termie del ciclo di produzioe. Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia
Risoluzioe a) Dal disego della mattoella riportato i Figura si deduce che la fuzioe y=f(x) ha come grafico il segmeto che uisce i puti degli assi cartesiai (;), (;), quidi l espressioe algebrica della fuzioe è f(x)=-x, co x e teedo coto delle simmetrie della curva rispetto agli assi cartesiai la sua equazioe è : x y. Nelle figure. e. soo riportati rispettivamete i grafici della fuzioe y=f(x) e della curva. b) Nel testo si suggerisce di determiare ua fuzioe poliomiale di secodo o di terzo grado che verifichi le codizioi imposte. I verità, subito dopo si iforma il lettore che la sua ricerca sarà adata a vuoto per quato cocere la fuzioe poliomiale di secodo grado e vedremo tra breve il perché; tuttavia, per ottemperare alle cosege del testo, comiciamo co la ricerca dell evetuale fuzioe poliomiale di secodo grado. La geerica fuzioe poliomiale di secodo grado ha la forma y=p(x)=ax +bx+c, co a, b, c costati da determiare. Le codizioi da imporre soo: a) P()=, da cui si deduce c=; Figura. b) P()=, da cui a+b+c=, ed essedo c=a+b=-; c) poiché la derivata prima è P(x)= ax+b, la codizioe P()= implica b=, da cui a=-. Figura. A questo puto si ha già l espressioe defiitiva del poliomio di secodo grado cercato ed è P(x)=-x +, ma facciamo osservare che acora o è stata imposta l ulteriore codizioe che l area della parte colorata della mattoella corrispoda al % dell area dell itera mattoella. La rappresetazioe grafica della fuzioe trovata è riportata i Figura.. Cosiderato che ormai il poliomio è defiito si può solo sperare che l area della regioe fiita di piao delimitata dagli assi cartesiai e dalla fuzioe poliomiale relativamete all itervallo [;] sia pari al % dell area del quadrato di lato uitario avete come vertici (;),(;),(;),(;), che è apputo uo. L area della regioe i oggetto, teedo presete la proprietà del segmeto parabolico, la si può calcolare come segue : Area,6 66,67% 3 3 Per gli appassioati del calcolo itegrale, il procedimeto è riportato di seguito e forisce lo stesso valore: 3 x dx x x 3 3 3 Area= Il valore otteuto è diverso dal % dell area del quadrato, duque il poliomio di secodo grado o risolve il problema i oggetto. Figura.- L'area della parte colorata della mattoella disegata co l'arco di parabola è pari al 66,67% di quella dell'itera mattoella. I figura, co stile tratteggio, è evideziata la parabola di equazioe y=-x. Cerchiamo duque tra i poliomi di terzo grado. L espressioe della fuzioe deve essere della forma y=p(x)=ax 3 +b x +c x+d, co a, b, c, d costati reali da determiare. Le codizioi da imporre per determiare i valori dei parametri soo: Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia 3
a) P()=, da cui si deduce d=; b) P()=, da cui a+b+c+d=, ed essedo d= a+b+c=-; c) Poiché la derivata prima è P(x)= 3ax +bx+c, la codizioe P()= implica c=, da cui a+b=-, quidi b=-a-. La forma algebrica del poliomio deve essere del tipo P(x)=ax 3 -(a+) x +. d) Per determiare il valore dell'ultimo parametro impoiamo che l'area del sottografico della fuzioe relativo all'itervallo [;] valga,. Si ha: 4 3 x x a a x 4 3 3 ax a x dx a a 8 a, 4 3 quidi deve valere l'uguagliaza 8 a 8 a 7,, da cui a 8 Il poliomio di terzo grado richiesto è duque: 7 3 Px x x. Il grafico della fuzioe poliomiale otteuta è riportato i stile tratteggio i Figura 3. e i stile cotiuo il bordo che delimiterà isieme agli assi coordiati relativamete al primo quadrate la parte colorata della mattoella. I Figura 3. è riportato il quadrato ABCD composto dall'uioe di quattro mattoelle quadrate di lato uitario opportuamete assemblate. La parte colorata di grigio del quadrato ABCD è delimitata dal bordo formato dall'uioe dei grafici delle curve, ', '', ''', cosi come descritto el testo del problema. Figura 3.- Ua mattoella è costituita dal quadrato di alto uitario avete per vertici i puti (;), (;),(;),(;). Figura 3.- Gruppo di 4 mattoelle decorate affiacate. c) Cosideriamo le fuzioi poliomiali a x x, b x x, co aturale positivo. Occorre verificare che etrambe verificao le tre codizioi a), b), c) idicate el testo. Ifatti: b ; a) a, b) a, c) a x x b, perché è itero positivo., perché la poteza di u umero dell'itervallo ];[ è acora u umero dello stesso itervallo e allo stesso itervallo appartiee la differeza x ; aalogamete, b x x perché co <x< risulta ache <-x< e quidi ache la poteza x co espoete positivo assume valori ell'itervallo ];[. Calcoliamo le aree delle parti colorate delle mattoelle, delimitate da due lati della mattoella e dal grafico curvilieo di due modelli algebrici cosiderati. Assumedo come motivo decorativo il grafico della fuzioe colorata è data da : x A x dx x e lim A a x x, l'area della regioe lim ; Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia 4
assumedo come motivo decorativo il grafico della fuzioe b x x [;] l'area della regioe colorata è data da: relativo all'itervallo x B x dx dx x e risulta lim B lim Iterpretazioe geometrica dei risultati Per le mattoelle decorate co il profilo della fuzioe a x, quado + la parte colorata tede a ricoprire l'itera mattoella; per le mattoelle decorate co il profilo della fuzioe x per + la parte colorata tede a scomparire del tutto. b d) Progetto particolare per il cliete (applicazioe della probabilità) I profili delle parti colorate delle mattoelle soo duque quelli dedotti dalle fuzioi a x x, b x x ; precisamete si devoo preparare mattoelle per ciascu tipo di decorazioe. La vericiatura della parte da colorare per ogi mattoella, data l'imperfezioe del "braccio meccaico", Figura 4. evidetemete è u'operazioe a rischio e vi è ua certa probabilità che ciascua mattoella prodotta sia difettosa, quidi iservibile per la vedita. Nelle figure 4. e 4. soo riportati i profili decorativi dei due tipi di mattoelle (si tratta di due archi di parabole). Si osserva i ciascuo dei due disegi il puto cotrassegato co I, che rappreseta l'itersezioe della diagoale del quadrato (rappresetate la mattoella) avete per estremi l'origie O e il puto A(;) co il profilo della decorazioe. Questo puto è importate ell'ipotesi che il braccio meccaico abbia come posizioe di riposo l'origie O degli assi (posizioe home) e che il suo moto sia progettato i modo che dopo la colorazioe della mattoella il ritoro ella posizioe home avvega percorredo la diagoale dall'estremo Figura 4. A(;) all'estremo (;) (). Osserviamo che el testo del problema o è specificato quale diagoale il braccio meccaico percorra e la scelta di ua diagoale o dell'altra o è idifferete. L'imperfezioe del braccio meccaico ha icideze diverse (3). Per ciascuo dei due tipi di mattoelle prodotte si deve determiare la probabilità p che ella corsa di ritoro alla posizioe home il braccio meccaico rilasci ua goccia di colore ella parte biaca della mattoella, quidi iteramete al segmeto AI. Cosideriamo i due eveti: E ="Nella corsa di ritoro il braccio meccaico rilascia ua goccia di colore"; () Osserviamo che el testo del problema o si precisa quale sia la diagoale del quadrato che il braccio meccaico percorre per torare alla posizioe home. E' bee osservare che il braccio meccaico potrebbe avere come posizioe di home uo dei due puti (;), (;) e i questo caso la diagoale da percorrere sarebbe il segmeto che avrebbe detti puti come estremi. (3) Cofrotare quato riportato el commeto alla traccia. Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia
E ="La goccia di colore rilasciata dal braccio meccaico cade iteramete al segmeto AI". Ebbee, ua mattoella sarà daeggiata se ella sua produzioe, durate la corsa di ritoro del braccio meccaico si verificao etrambi gli eveti. Si sa che P(E )=, (perché l'erogazioe del colore dal braccio meccaico o è perfetta); per quato riguarda P(E ), il valore è pari al rapporto tra le misure dei segmeti AI, AO. Ifatti, è lecito riteere che durate la corsa di ritoro il braccio meccaico si muova a velocità costate e quidi il tempo di attraversameto del tratto AI è direttamete proporzioale alla sua lughezza. Duque: PE AI. AO La probabilità dell'eveto composto E=E E si determia teedo coto che i due eveti soo idipedeti. Perciò risulta: PE PE PE, AI. AO Elaborazioi algebriche Dobbiamo determiare la misura del segmeto AI i ciascuo dei due casi e calcolare il valore del rapporto AI AO. Primo: decorazioe co il profilo a x x La misura della diagoale del quadrato della mattoella è AO. Determiiamo le coordiate del puto I risolvedo il sistema formato dall'equazioe y=x della bisettrice del quadrate e dall'equazioe del profilo della decorazioe. y x y x,co x I ;. Duque AI 3 3 ; AI AO 3 3 P E La probabilità di avere ua mattoella difettosa è: 3 p,,,38966...,7639... 7,64% Secodo: decorazioe co il profilo b x x Si risolve il sistema di equazioi y x y x x x 3 3 x. 3 3 Il valore x,3896... è accettabile, metre x,68... si scarta perché o 3 3 appartiee all'itervallo [;]. Il puto cercato è I ;. La misura di AI è: 3 AI, quidi si ha ache Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia 6
AI PE,68339... AO La probabilità di avere ua mattoella difettosa è: p,,366...,36% Coclusioi Sulle mattoelle decorate co il primo profilo se e possoo presetare difettose N p 7,64% 38 ; tra le decorate co il secodo profilo se e possoo presetare difettose N p,36% 68 Complessivamete sulle. mattoelle prodotte dall'azieda produttrice se e possoo trovare 38+68= difettose. Osservazioe Il umero delle mattoelle difettose decorate co il profilo. è molto più alto di quello delle mattoelle difettose decorate co il profilo. e la causa risiede el fatto che il tratto AI della diagoale che ricade ella parte della mattoella o colorata el caso del secodo profilo è più lugo che el primo, quidi è maggiormete probabile che la goccia rilasciata dal braccio meccaico iteressi la zoa biaca della mattoella. Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it -giu-8 Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it Pagia 7