Prova scritta del /0/007 nome... cognome... Risolvere i seguenti quesiti : 1) Determinare l equazione della retta tangente all ellisse x + 9y = 1 nel suo punto P di ascissa 1 3 e ordinata positiva. ) Dato il quadrato di vertici A( 1, ) B(4, ) C(4, 7) D( 1, 7) determinare le equazioni delle circonferenze inscritta e circoscritta. 3) Determinare l equazione della tangente alla curva punto (, ) P x y tale che x y=. y = x + 16 nel suo 4)Scritta l equazione della parabola con asse di simmetria parallelo,0 C 1,3 la retta all asse y, passante per B ( ) e avente per tangente in ( ) t parallela alla retta r)x+ y= 0 determinare : a) i vertici, il perimetro e l area del quadrato avente per diagonale CO e due lati su r e t. b) l equazione della circonferenza circoscritta al quadrato sopra indicato. Consegnare l elaborato in modo chiaro e leggibile. es. n 1 P. es. n 1 P., es. n 1 P. es. n 4 P.6
Traccia soluzione : 1) Sia E : x + 9y = 1 l equazione dell ellisse, determiniamo il punto 1 1 8 P E di ascissa x= e y> 0. + 9y = 1 y = =± con ciò 3 9 81 9 P 1,.L equazione della retta tangente in P si può determinare, 3 9 rapidamente, utilizzando la formula dello sdoppiamento; per cui 1 x+ 9 y= 1 x+ 6 y 3= 0 3 9 ------------------------------------------------------------------------- ) Centro delle circonferenze cercate è il baricentro ( punto d incontro xa+ xb 3 yb+ yc 9 delle mediane ) del quadrato per cui : xc = = yc = =.
Il raggio della circonferenza circoscritta è pari alla semidistanza delle diagonali con ciò si trova R circ =.Sapendo che l equazione generica di 3 9 una circonferenza è ( x xc) + ( y yc) = R si ha : x + y = La circonferenza inscritta è concentrica alla circonferenza circoscritta ( vedi figura ); il raggio è pari in modulo alla differenza in ordinata o in ascissa tra il centro C e i punti medi precedentemente calcolati per cui : 3 9 x + y = 4 con R inscr = ------------------------------------------------------------------------- 3)La curva y = x + 16 rappresenta un iperbole equilatera di equazione y x = 16 ( vedi figura ). Determiniamo le coordinate del punto P sapendo che x y=. Visto che y= x si ha : x = x 16 + da cui risolvendo in x otteniamo P( 3, ). Per determinare l equazione della retta tangente alla curva in P( 3, ) applichiamo la formula dello sdoppiamento ottenendo 3x y 16= 0.
------------------------------------------------------------------------- 4) l equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all asse y è del tipo y= ax + bx+ c; per determinarne l equazione troviamo i coefficienti abc,, con a 0 impostando il seguente sistema 4a+ b+ c= 0 passaggio per B a + b + c = 0 passaggio perc puntoditangenza ( b+ ) 4a( c ) = 0 condizioneditan genza = 0 con la retta y= x+ Osservazione : la retta y x passante per ( 1,3) = + è parallela alla retta y= x e C la si determina dal fascio y= x+ q. Risolvendo il sistema con il metodo per sostituzione si ricava a= 1 b= 0 c= 4 per cui y= x + 4.
quesito (a) : sapendo che due lati del quadrato appartengono alle rispettive rette, per determinare i vertici del quadrato intersechiamo le rette passanti per OeC perpendicolari rispettivamente alle rette t) y= x+ e r) y= x; la retta passante per O e a r) y= x ha equazione punto di contatto ha coordinate D ( 1,). la retta passante per ( 1,3) C e a t) y= x+ ha equazione 1 y= x, il 1 y= x+, il punto di contatto ha coordinate E( 1,1). I punti così determinati insieme ai punti OeC rappresentano i vertici del quadrato ( vedi figura ) Per determinare la misura del perimetro misuriamo la distanza punto ax0+ by0+ c origine dalla retta t d = = = per cui perimetro= 4 e a + b l area A= ( ) =. quesito (b) : il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato è pari alla semisomma della misura della diagonale, con ciò si ha :
d OC 10 d OC = ( 1 0) + ( 3 0) = 10 = R=, il centro è il punto medio di 1 3 OC xc = e yc = avendo centro e raggio l equazione risulta 1 3 x + y =.