www.mtefili.it Scuole itline ll estero - Bilingue itlo-slovcc 1) E dt l equzione y x + x + c dove i coefficienti,, c sono numeri reli non negtivi. Determinre tli coefficienti spendo che l prol p, che rppresent l equzione in un pino crtesino ortogonle (Oxy), intersec l sse x nei punti O, A ed h il vertice nel punto V in modo che ) il tringolo OAV si rettngolo ) il segmento prolico individuto dll cord OA gener un solido di volume 18 1 π qundo ruot di un giro completo ttorno ll sse x. Considert poi l circonferenz tngente in A ll rett AV e pssnte per O, clcolre le ree delle due regioni finite di pino in cui ess divide il segmento prolico suddetto. Siccome l prol pss per l origine risult c. Posto A (t, ), deve essere (4t ) + (t), d cui, oltre t, t. L sciss del vertice e x V t e l su ordint è: y V y(t) t + t ( 4) + ( ) 4 + : V ( 4 ; 4 ) Le rette OV e VA devono essere perpendicolri, quindi: m OV 4 4, m AV 4 t 4 ( ) 4 ( ) Deve quindi essere: m OV m AV, L prol è quindi del tipo: ( ), 4, (essendo ). y x + x, con >; il vertice è nel primo qudrnte e l prol h l concvità rivolt verso il sso. L ipotesi sul volume port ll seguente condizione: t π ( x + x) dx π ( x + x) ( x + x) dx 18 1 ; ( x 4 4x 3 + 4x ) 1 3 3 16 3 + 4 3 ( 8 18 3) 1 se dx π ( x + x) dx 18 1 π, quindi: dx [ 1 x x 4 + 4 3 x3 ] 3 1 3 + 3 3 8 1 se 6 1 + 1 83 : 1 L prol p h quindi equzione: y 1 x + x Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri 1/ 6 www.mtefili.it
A(4; ), V(; ). L rett AV h equzione: y (x 4) Il centro dell circonferenz pprtiene ll perpendicolre in A ll rett AV ed ll sse dell cord AV. Perpendicolre in A d AV: y (x 4) Asse di AV: x Centro circonferenz: C (; ); rggio: r OC 8 Equzione circonferenz: (x ) + (y + ) 8, x + y 4x + 4y Are segmento prolico OAV: 16 (4)() 3 3 (teorem Archimede) Are tringolo AOC: 1 (4)() 4 Are settore circolre OCAV: osservimo che m OC, quindi CO A è retto; perciò l re del settore circolre è un qurto dell re del cerchio: 1 4 πr 1 π(8) π 4 Are segmento circolre di se OA interno l segmento prolico: S (π 4) u L prte rimnente del segmento prolico h quindi re: S 1 16 3 (π 4) (8 π) u 3 Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri / 6 www.mtefili.it
) Dt l curv y 4x +1, se ne rppresenti il grfico. 3x Preso un punto P sull rco di curv del primo qudrnte, si conducno per esso le prllele gli sintoti che incontrno gli stessi nei punti A e B rispettivmente. Determinre l posizione del punto P per cui è minim l somm dei segmenti PA e PB. L curv può essere scritt nell form: 4x 3xy + 1 quindi è un conic. In prticolre, vendo l sintoto x, è un iperole. È quindi sufficiente trovre l sintoto oliquo ed i vertici (punti in cui si nnull l derivt prim). Per l sintoto oliquo osservimo che l curv può nche essere scritt nell form: y 4 x + 1, quindi l sintoto oliquo h equzione h equzione y 4 x (ricordimo che 3 3x 3 condizione necessri e sufficiente ffinché l funzione yf(x) i l sintoto oliquo ymx+q è che si poss scrivere nell form f(x)mx+q+g(x), con g(x) infinitesimo per x che tende ll infinito; per l dimostrzione di quest proprietà si ved l pgin: http://www.mtefili.it/rgomen/sintoti/sintoti.htm Clcolimo l derivt prim: f (x) 4 3 1 3x se x ± 1 ; in tli punti imo i vertici dell iperole, che sono minimo e mssimo reltivi per l funzione (con ordint rispettivmente 4/3 e -4/3). Considerimo or il punto P dell curv pprtenente l primo qudrnte, che h coordinte del tipo: P (t; 4t +1 ), con t>. Le rette per P prllele gli sintoti hnno equzioni: x t (l prllel ll sintoto verticle), d cui il punto B (t; 4 t). L prllel 3 per P ll sintoto oliquo h equzione: 4t +1 4 (x t) ed intersecndo con 3 Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri 3/ 6 www.mtefili.it
l sintoto verticle x imo: y 4t +1 Clcolimo l misur dei segmenti PA e PB: 4 3 t, y 1, quindi A (; 1 ). PA t + ( 4t + 1 PB y P y B 4t + 1 1 ) t + 16 9 t 3 t 4 3 t 1 Doimo quindi rendere minim (per t>) l seguente funzione: s PA + PB 3 t + 1 Risoluzione elementre: Osservimo che s è l somm di due quntità prodotto costnte: ( 3 t) ( 1 ) quindi s è minim qundo le due quntità sono uguli, cioè qundo: 3 t 1, d cui: t 1, t 1 ; P ( ; 3 ) Risoluzione medinte l uso delle derivte: s 3 1 se t 1 : t Quindi s è decrescente per < t < vel t e crescente per t >. L somm dei segmenti PA e PB è minim per t h coordinte P ( ; 3 ). ed il punto P che relizz il minimo Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri 4/ 6 www.mtefili.it
3) Dt un circonferenz γ di rggio unitrio e centro O, trccire un semirett s uscente d O ed intersecnte γ in un punto Q. Indicto con P un generico punto di s esterno ll circonferenz, trccire d esso le due tngenti ll circonferenz: sino A e B i punti di tngenz. Indict con x l lunghezz del segmento PQ, trovre il limite per x tendente ll infinito del rpporto k AQ+QB AB. Studire quindi l funzione y f (x) dove f (x) k e clcolre l superficie dell regione di pino delimitt dll curv e dgli ssi crtesini. Risult x >. Essendo il tringolo OAP rettngolo in A: AP OP OA () 1 x + x. Per il promo teorem di Euclide si h: OA OP OH, d cui: OH OA OP 1 1+x, quindi: AH OA OH 1 ( 1 ) x + x, AB AH x + x Osservimo che AQBQ (Q pprtiene d OP che è sse di AB) e risult: AQ AH + HQ x + x () +(1 OH) x + x () + (1 1 ) x + x () + x + 1) x(x () () x AQ BQ Si h pertnto: Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri / 6 www.mtefili.it
k Perciò: AQ + QB AB x x + x x () x + x () x + () lim k lim x x x + lim x x x Studimo or l funzione y f (x) k x+ x+. Si trtt di un funzione omogrfic con centro in ( ; ), sintoti x e y, che con x vle 1 e con y vle -1; il suo grfico (prescindendo di limiti geometrici sull x) è quindi il seguente: L regione richiest è indict nell seguente figur: L re è dt dl seguente integrle: Are x + dx x + 1 dx x + 1 dx x + x + x + x + dx + x + dx dx x + [ln x + ] [x] (ln) ( ln) u.61 u Are Con l collorzione di Angel Sntmri Estero (Bilingue itlo-slovcc) Sessione Ordinri 6/ 6 www.mtefili.it