Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. 014/15 Seconda prova in itinere. Giugno 015 Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Domande a risposta aperta (rispondere a due domande su tre, a propria scelta) A. (6 punti) Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in tutto lo spazio R n : ut D u = 0 per x R n, t > 0 u (0, x) = f (x) per x R n. Nel corso dello svolgimento, richiamare le proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano esplicitamente. B. (6 punti) Dopo aver richiamato la definizione di spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema della proiezione in uno spazio di Hilbert. C. (6 punti) Si consideri il problema di Dirichlet per il laplaciano sulla sfera in R, che in coordinate sferiche x = ρ sin ϑ cos ϕ y = ρ sin ϑ sin ϕ z = ρ cos ϑ e nel caso particolare di un dato al bordo indipendente dalla longitudine assume la forma: u ρ + ( u ρ ρ + 1 ρ sin ϑ u ) per 0 < ρ < r, = 0 sin ϑ ϑ ϑ 0 < ϑ < π u (r, ϑ) = f (ϑ) per 0 < ϑ < π. Impostare la soluzione del problema per separazione delle variabili, arrivando a ricondurre l equazione angolare (nella variabile t = cos ϑ) all equazione di Legendre e a scrivere le soluzioni a variabili separate e quindi la soluzione del problema di Dirichlet. 1
Svolgere i seguenti esercizi 1. (4 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy per la corda vibrante illimitata: u tt 4u xx = 0 per x R, t > 0 u (x, 0) = e x u t (x, 0) = xe x.. (5 punti) Determinare la retta che meglio approssima la funzione e x in L (, 1), utilizzando i polinomi di Legendre. Ricordiamo che: P 0 (x) = 1 ; P 1 (x) = x.. (6 punti) Si consideri la funzione x f (x) = n per x < 1 con n intero positivo dispari fissato. 0 altrimenti In base alle proprietà studiate della trasformata di Fourier, rispondere alle seguenti domande, giustificando la risposta: a. La trasformata di Fourier f (ξ) esiste o no? b. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione reale, immaginaria pura, o nessuna delle due cose? c. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione pari, dispari, o nessuna delle due cose? d. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione continua? Derivabile una volta? Derivabile infinite volte? e. La trasformata di Fourier f (ξ) tende a zero all infinito più rapidamente di 1/ ξ k per qualche intero positivo k? Calcolare quindi la trasformata per n = 1, verificando la coerenza con le risposte date. 4. (5 punti) Si consideri il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore nel cerchio: dove, in coordinate polari, u t = 5 u per x + y < 1, t > 0 u (x, y, t) = 0 per x + y = 1, t > 0 u (x, y, 0) = u 0 (x, y) per x + y < 1 u 0 (x, y) = J 0 (k 0,1 ρ) J 0 (k 0, ρ). Dopo aver impostato la soluzione del problema per separazione delle variabili, utilizzando la conoscenza delle soluzioni del problema agli autovalori per il laplaciano sul cerchio, scrivere la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet.
Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. 014/15 Seconda prova in itinere. Giugno 015 Svolgimento Domande a risposta aperta (rispondere a due domande su tre, a propria scelta) A. (6 punti) Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in tutto lo spazio R n : ut D u = 0 per x R n, t > 0 u (0, x) = f (x) per x R n. Nel corso dello svolgimento, richiamare le proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano esplicitamente. (v. dispensa, 6.) B. (6 punti) Dopo aver richiamato la definizione di spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema della proiezione in uno spazio di Hilbert. (v. dispensa, 7.) C. (6 punti) Si consideri il problema di Dirichlet per il laplaciano sulla sfera in R, che in coordinate sferiche x = ρ sin ϑ cos ϕ y = ρ sin ϑ sin ϕ z = ρ cos ϑ e nel caso particolare di un dato al bordo indipendente dalla longitudine assume la forma: u ρ + ( u ρ ρ + 1 ρ sin ϑ u ) per 0 < ρ < r, = 0 sin ϑ ϑ ϑ 0 < ϑ < π u (r, ϑ) = f (ϑ) per 0 < ϑ < π. Impostare la soluzione del problema per separazione delle variabili, arrivando a ricondurre l equazione angolare (nella variabile t = cos ϑ) all equazione di Legendre e a scrivere le soluzioni a variabili separate e quindi la soluzione del problema di Dirichlet. (v. dispensa, 8..1) Esercizi 1. (4 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy per la corda vibrante illimitata: u tt 4u xx = 0 per x R, t > 0 u (x, 0) = e x u t (x, 0) = xe x.
Applichiamo la formula di D Alembert u(x, t) = 1 (u 0 (x + ct) + u 0 (x ct)) + 1 c con c =, u 0 (x) = e x, v 0 (x) = xe x. Si ha: x+t x+ct x ct v 0 (s) ds u(x, t) = 1 ( e x+t + e x t ) + 1 se s ds 4 x t = 1 ( e x+t + e x t ) + 1 [ 1 ] x+t 4 e s x t = 1 ( e x+t + e x t ) 1 (e (x+t) e (x t)) 8. (5 punti) Determinare la retta che meglio approssima la funzione e x in L (, 1), utilizzando i polinomi di Legendre. Ricordiamo che: e x, P 0 = 1 e x, P 1 = = P 0 (x) = 1 ; P 1 (x) = x. e x dx = 1 ( e 1 ) ; e xe x dx = e + 1e ( e 1 e [xe x ] 1 )} = e } e x dx P V1 (e x ) = e x, P 0 P 0 + e x, P 1 P 1 = 1 ( e 1 ) 1 + e e = 1 ( e 1 e ) + e x. x La retta è quindi y = 1 ( e 1 ) + e e x.. (6 punti) Si consideri la funzione f (x) = x n per x < 1 0 altrimenti con n intero positivo dispari fissato. 4
In base alle proprietà studiate della trasformata di Fourier, rispondere alle seguenti domande, giustificando la risposta: a. La trasformata di Fourier f (ξ) esiste o no? b. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione reale, immaginaria pura, o nessuna delle due cose? c. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione pari, dispari, o nessuna delle due cose? d. La trasformata di Fourier f (ξ) è una funzione continua? Derivabile una volta? Derivabile infinite volte? e. La trasformata di Fourier f (ξ) tende a zero all infinito più rapidamente di 1/ ξ k per qualche intero positivo k? Calcolare quindi la trasformata per n = 1, verificando la coerenza con le risposte date. a. Sì perché f L 1 (R) essendo continua e limitata in x < 1 e nulla al di fuori di questo intervallo. b.-c. Poiché f è reale e dispari, f è immaginaria pura e dispari. d. Poiché f è nulla per x > 1 (quindi all infinito tende a zero più rapidamente di qualsiasi potenza negativa), f è infinitamente derivabile. ( e. Poiché f è discontinua, f tende a zero "lentamente", a priori non è o 1/ ξ k) per alcun k > 0. Calcoliamo f (ξ) = xe πixξ dx = i [ x cos (πxξ) = i πξ 0 cos (πξ) = i + 1 πξ πξ = i cos (πξ) πξ + 0 ] 1 x sin (πxξ) dx } 1 cos (πxξ) + dx 0 πξ [ ] } 1 sin (πxξ) sin (πξ) (πξ) πξ } Si osserva che f è immaginaria pura, dispari, tende a zero all infinito come 1/ξ, è regolare perché la funzione g (t) = cos t t + sin t t = sin t t cos t t, che fuori dall origine è infinitamente derivabile, nell origine è pure infinitamente derivabile in quanto sin t t cos t = t t 6 + o ( t ) ( t 1 1 t + o ( t )) = t + o ( t ), perciò anche divisa per t rimane C. 0 5
4. (5 punti) Si consideri il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore nel cerchio: dove, in coordinate polari, u t = 5 u per x + y < 1, t > 0 u (x, y, t) = 0 per x + y = 1, t > 0 u (x, y, 0) = u 0 (x, y) per x + y < 1 u 0 (x, y) = J 0 (k 0,1 ρ) J 0 (k 0, ρ). Dopo aver impostato la soluzione del problema per separazione delle variabili, utilizzando la conoscenza delle soluzioni del problema agli autovalori per il laplaciano sul cerchio, scrivere la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet. Cercando u (x, y, t) = X (x, y) T (t) si trova T 5T = X X = λ. Sappiamo che il problema agli autovalori per il laplaciano ha autosoluzioni J n (k n,m ρ) cos (nϑ) per n = 1,,,... m = 1,,,... J n (k n,m ρ) sin (nϑ) per n = 1,,,... m = 1,,,... J 0 (k 0,m ρ) per m = 1,,,... corrispondenti agli autovalori λ n,m = k n,m. L equazione in T è quindi T = 5k n,mt che ha soluzione (a meno di costante moltiplicativa) T (t) = e 5k n,m t. Osservando la struttura del dato iniziale, la soluzione del problema si può scrivere nella forma: u (ρ, t) = J 0 (k 0,1 ρ) e 5k 0,1 t J 0 (k 0, ρ) e 5k 0, t. 6