Il docmento è stato redatto da no stdente del corso d Larea n Ingegnera delle TLC (V.O.) dell nerstà La Sapenza n fase d preparazone d esame e qnd potrebbe contenere mprecson. Non per so commercale. CAPITOLO 7 POINT OPERATIONS Contrast Stretchng Clppng ad Thresoldng Dgtal Negate Intenste Leel Slcng Bt Extracton Range Compresson Image Sbtracton and Change Detecton HISTOGRAM MODELLING Hstogram Eqalzaton Hstogram Modfcaton Hstogram Specfcaton SPATIAL OPERATOTIONS (da completare) Spatal Aeragng and Spatal Low-Pass Flterng Fonte: FOUNDAMENTAL OF DIGITAL IMAGE PROCESSING ANIL K. JAIN 7-1
7.2 POINT OPERATIONS Le operazon pntal sono delle operazon senza memora che mappano n lello dato d grgo [, L] nel lello d grgo [, L] La Tab. 7.1 elenca qeste trasformazon. secondo la trasformazone : = f () (7.1) Contrast Stretchng L mmagne a basso contrasto è spesso dota ad na scarsa o non nforme llmnazone. La fgra 7.2 mostra na trasformazone tpca contrast-strechng, che pò essere espressa così: αn, n a = β ( a) + a, a b (7.2) γ ( b) + b, b L La pendenza della trasformazone, nella regone d sforzo, è scelta maggore dell ntà. I parametr a e b sono ottent esamnando l stogramma dell mmagne. Clppng and Thresoldng Il clppng è na caso partcolare d contrast-strecthng e s ha qando α = γ = (Fg. 7.4), è sato per rdrre l rmore qando s è a conoscenza del fatto che l segnale d ngresso è contento nell nterallo [ a, b]. 7-2
γ b a α β a b L Fgra 7.2 Trasformazone Contrast Stretchng. Per na regone scra α > 1, a L 3 ; regone centrale, β > 1, 2 b L ; regone lmnosa γ > 1. 3 Il Thresoldng è n caso partcolare del clppng con a = b = ˆ t e l scta denta bnara (Fg. 7.5) ed è tlzzato per prodrre n mmagne bnara. La fgra 7.6 mostra n esempo d Clppng e Thresoldng s n mmagne. Dgtal Negate Il negato dell mmagne pò essere ottento con la scalatra nersa della scala de lell d grgo come mostrato dalla trasformazone: = L (7.3) Le mmagn dgtal n negato engono comnemente tlzzate per la salzzazone delle mmagn nel campo della medcna o per la prodzone d stampe negate delle mmagn. 7-3
Intesty Leel Slcng (Fg. 7.9) L, Senza sfondo : =, a b altroe (7.4) L, a b Con sfondo : = (7.5), altroe Qeste trasformazon permettono la segmentazone delle regon a lello d grgo dal resto dell mmagne. Qesta tecnca è sata qando caratterstche dfferent d n mmagne sono contente n lell ders d grgo. La fgra 7.1 mostra l rsltato dell ntenstà della fnestra d taglo per segmentazone delle regon a bassa temperatra d de mmagn, nelle qal l ntenstà de lell d grgo è proporzonale alle basse temperatre. Bt Extracton Spponamo che ogn pxel dell mmagne sa nformemente qantzzato a B bts. S desdera estrarre n-esmo bt pù sgnfcato e salzzarlo. Prendamo : + B 1 B 2 B n = 1 2 + 2 2 +... + n 2 +... + B 1 2 B (7.6) Voglamo che l scta sa : L, se n = 1 = (7.7), altroe 7-4
è facle dmostrare che : n = n 2n 1 (7.8) doe n = ˆ nt, B n 2 nt[x] = parte ntera d x (7.9) Qesta trasformazone è tlzzata per determnare bt pù sgnfcat d salzzazone d n mmagne. Range Compresson A olte l range d dnamca d n mmagne potrebbe essere molto grande; come nel caso della trasformata ntara d n mmagne l c range è così grande che solo alcn pxel sono sbl. Il range d dnamca pò essere compresso per a logartmca : = c log 1 (1 + ) (7.1) doe c è na costante d scalatra. Image Sbtracton and Change Detecton Un potente e semplce metodo è qello d allneare de mmagn e sottrarle, ottenendo così l mmagne dfferenza. 7.3 HISTOGRAM MODELING L stogramma d n mmagne rappresenta la freqenza relata d occorrenza s ar lell d grgo dell mmagne. La tecnca d modellamento ad stogramma modfca l mmagne fno a che l so stogramma non raggnge la forma desderata. Hstogram Eqalzaton Nell eqalzzazone d n stogramma lo scopo è ottenere n stogramma nforme per l mmagne prodotta. Consderamo l alore del pxel d n mmagne essere na arable casale con na fnzone denstà d probabltà contna p ( ) ed na dstrbzone d probabltà F ) = ˆ P[ ] (. La arable casale è : sarà nformemente dstrbta s (.1) (Problema 7.3). = ˆ F ( ) = ˆ p ( ) d (7.11) 7-5
L mplementazone d qesta trasformazone s mmagn dgtal, sppone che l ngresso abba L lell d grgo x, =,1,..., L 1 con probabltà p ( x ), che possono essere determnate dall stogramma dell mmagne l qale fornsce h ( x ) : l nmero d pxel con alore d lello d grgo x. Allora : h( x ) p ( x ) = L 1, =,1,..., L 1 (7.12) h( x ) = L scta x ) :., così assmamo aere L lell, è data (assmento = = ˆ p ( x ) (7.13a) x = ( ) ( ). mn = ˆ Int L 1 +. 5 (7.13b) 1 mn doe mn è l pù pccolo alore posto ottento dalla (7.13a). Ora la. sarà nformemente dstrbta solo approssmatamente perché la è na arable non nformemente dstrbta (Problema 7.3). La fgra 7.13 mostra l algortmo d eqalzzazone dell stogramma per mmagn dgtal. Dalla (7.13a) s nota che la è na arable dscreta che assme l alore: se x = ˆ p ( x ) (7.14) x = =. L eqazone (7.13b) semplcemente rqantzza nformemente l nterallo { } nell nterallo { w }. Qesto passo d rqantzzazone è necessaro perché le probabltà p x ) e p ) sono nform. La fgra 7.14 mostra alcn rsltat dell eqalzzazone ( d stogramma. ( Hstogram Modfcaton Una generalzzazone della fgra 7.13 è mostrata nella fgra 7.15. Il lello d grgo n ngresso è prma trasformata non lnearmente con la f (), e l scta è qantzzata nformemente. Nell eqalzzazone d stogramma, la fnzone: 7-6
f ( ) = ˆ p ( x ) (7.15) x = tpcamente fornsce na compressone della arable d ngresso. Altre scelte per la fnzone f () che hanno comportamento smle sono: f ( ) = x = xl 1 x = p p 1/ n 1/ n ( x ), ( x ) n = 2,3,... (7.16) f ( ) = log(1 + ), (7.17) 1/ n f ( ) =,, n = 2,3,... (7.18) Qeste fnzon sono sml a qelle delle trasformazon compandng sate nella qantzzazone dell mmagne. Hstogram Specfcaton Spponamo che la arable aleatora con denstà d probabltà p () è trasformata n con denstà d probabltà () p. Defnamo na arable aleatora nforme: che soddsfa la relazone w = ˆ p ( x) dx F ( ) (7.19) = w = ˆ p ( y) dy F ( ) (7.2) = Elmnando w, ottenamo 1 = F ( F ( )) (7.21) Se e sono date come arabl dscrete aleatore che assmono alor x e y per =,..., L 1, con probabltà p x ) e p y ). Allora la (7.21) pò essere mplementata ( approssmatamente come sege. Defnamo ( w = ˆ ( ), ~ p x w = ˆ p x = = ( y ), =,..., L 1 (7.22). w rappresentano l alore w w~ n per alor pù pccol d n. Allora. = y è l scta n corrspondente a. La fgra 7.16 mostra qesto algortmo. 7-7
7.4 SPATIAL OPERATIONS Molte d rsltat delle tecnche d mmagne sono basat slle operazon pntal applcate ad n nseme d pxel cn al pxel d ngresso. Spesso, l mmagne è conolta con n fltro a rsposta mplsa fnta chamato spatal mas (maschera spazale). Spatal Aeragng and Spatal Low-pass Flterng In qesto caso l pxel ene rlocato medante na meda pesata de pxel cn, coè : Doe y ( m, n) e ( m n) ( m n) = a(, l) y( m, n l), (7.23) ( K, L) w, sono rspettamente le mmagn n ngresso ed n scta, W è na fnestra opportnamente scelta e, ( l) meda spazale ha ttt pes gal, n altre parole: a, sono pes del fltro. Una classe comne d fltr a Doe ( ) w 1, (7.24) N ( m n) = y( m, n l) w (, l ) W a, l = 1 N e N w è l nmero d pxel nella fnestra W. Un altro fltro a meda spazale molto tlzzato è : 1 ( m n) = 1 [ y( m, n) + { y( m 1, n) + y( m + 1, n) + y( m, n 1) + y( m, n + 1) }] (7.25), 2 4 Che mostra che ogn pxel è rlocato nseme alla sa meda con la meda de qattro pxel pù cn. La Fg. 7.17 mostra alcne maschere d maschere d meda spazale. 7-8