Corso di Laurea in Ingegneria Robotia e dell Automazione Probabilità e Proessi Stoastii (455AA) AA 208/9 - Prova sritta 209-02-5 La durata della prova è di due ore e mezzo Le risposte devono essere giustifiate Problema Un soial network omprende un gran numero di utenti, di ui supponiamo metà mashi e metà femmine Se un utente è femmina, il numero di ollegamenti on altri utenti femmina ( amiizie femminili ) è una variabile on legge Poisson di parametro λ F F = 20, mentre il numero di amiizie mashili è pure Poisson di parametro λ F M = 80, indipendente dal numero di amiizie femminili Similmente se un utente è mashio, tuttavia on parametri λ MF = 80 per le amiize femminili e λ MM = 00 per le mashili Selto un utente a aso: alolare il valore atteso del numero di amiizie dell utente 2 Calolare la legge del numero di amiizie femminili dell utente Supponendo he l utente abbia 00 amiizie femminili, è più probabile he l utente sia mashio o femmina? 3 Si osserva he l utente ha 00 amiizie femminili e 00 mashili È più probabile he l utente sia mashio oppure femmina? (Suggerimento: usare le approssimazioni log(3/2) 0, 405 e log(6/5) 0, 8) Intrduiamo l evento F = l utente è femmina Posto X il numero di amiizie totali dell utente, si ha E [X] = E [X F ] P (F ) + E [X F ] P (F ) = (20 + 80) + (80 + 00) 2 2 = 90 2 Posto A F il numero di amiizie femminili, per ogni k N si ha P (A F = k) = P (A F = k F )P (F ) + P (A F = k F )P (F ) Caloliamo, usando la formula di Bayes, 20 20k = e 80k + e 80 k! 2 k! 2 P (F A F = 00) = P (A F = 00 F )P (F )/P (A F = 00), P (F A F = 00) = P (A F = 00 F )P (F )/P (A F = 00) Poihé i denominatori sono identii, basta onfrontare i numeratori (teniamo anhe onto he P (F ) = P (F ) = /2) Poihé P (A F = 00 F ) P (A F = 00 F ) 2000 e 20 00! = e 80 80 00 00! = e 00 log(3/2) 40 e 0,5 > Pag
deduiamo he è più probabile he l utente sia femmina 3 Usiamo la formula di Bayes, avendo posto A M il numero di amiizie mashili: Similmente, P (F A M = A F = 00) = P (A M = A F = 00 F )P (F ) P (A M = A F = 00) P (F A M = A F = 00) = P (A M = A F = 00 F )P (F ) P (A M = A F = 00) Basta quindi onfrontare i numeratori Caloliamo (nel testo è sritto he sono variabili indipendenti) P (A M = A F = 00 F ) = P (A M = 00 F )P (A F = 00 F ) = 2000 e 20 80 00 e 80 Similmente 00!00! P (A M = A F = 00 F ) = P (A M = 00 F )P (A F = 00 F ) = 0000 e 00 80 00 e 80 00!00! Poihé P (A M = A F = 00 F ) P (A M = A F = 00 F ) = (6/5)00 e 20 = e 00 log(6/5) 20 e 2 < ne segue he è più probabile he l utente sia mashio Problema 2 Si onsideri la fuzione f(x) = /(x ) 3, definita su (, + ) dove è un parametro tale he f sia una densità di probabilità Sia X una variabile aleatoria on densità f Mostrare he il parametro esiste, è unio, e alolarlo 2 Calolare, se esiste, il valore atteso X La varianza di X esiste finita? 3 Calolare, se esistono, la densità e il valore atteso della variabile aleatoria /(X ) 3 Deve valere da ui = + 2 /2 = (x ) 3 dx = 2( ) 2 2 Per alolare il valore atteso di X sriviamo x (x ) 3 dx = x (x ) 3 dx + = (x ) 2 dx + = + = 2 + (x ) 3 dx Pag 2
Per la varianza, dovremmo prima alolare il valore atteso di X 2, tuttavia l integrale x 2 (x ) 3 dx = diverge per onfronto on /x Quindi la varianza non esiste finita 3 Notiamo he la funzione g(x) = /(x ) 3 è derivabile, on derivata g (x) = 3/(x ) 4 e invertibile nell intervallo (, + ), a valori nell intervallo (0, g()) = (0, 2 3/2 ), on inversa g (y) = y /3 + (pure derivabile) Possiamo quindi usare il ambio di variabile e ottenere la densità di g(x) ome per y (0, 2 3/2 ) ϱ(g(x) = y) = f(g (y))/ g (g (y)) = 3 y y 4/3 = 3 y /3 Per il valore atteso, avendo già trovato la densità, basta alolare 2 3/2 0 y 3 y /3 dy = 3 2 3/2 0 y 2/3 dy = 3 3 5 23/2 5/3 = 5 25/2, 3 Problema 3 Si onsideri la atena di Markov (X n ) n N rappresentata grafiamente in figura /7 2 3/7 2/5 2/7 /7 2/5 /5 5/7 2/7 /5 3 4 5 6 4/5 Srivere la matrie di transizione Q, lassifiare gli stati della atena e le lassi hiuse irriduibili (dire in partiolare se sono regolari) Calolare tutte le distribuzioni invarianti di Q 2 Calolare, se esiste, lim n Q n i per ogni stato i {, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Sapendo he X 0 = e he X 2 {2, 4}, alolare la probabilità he la a atena visiti lo stato 5 in un qualhe tempo n > 2 Pag 3
Troviamo (ordinando gli stati nell ordine naturale) /7 3/7 2/7 /7 0 0 0 2/5 0 0 2/5 /5 Q = 0 0 2/7 5/7 0 0 0 0 4/5 /5 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Gli stati e 2 sono transitori (infatti omuniano on 5 ma non vale il vieversa) Tutti gli altri stati sono riorrenti, 5 e 6 sono assorbenti e vi sono 3 lassi hiuse irriduibili regolari ({3, 4}, {5}, {6}) Per alolare le distribuzioni invarianti sriviamo il bilanio di flusso tra gli stati 3 e 4 5 7 π 3 = 4 5 π 4 π 4 = 25 28 π 3 da ui troviamo la distribuzione invariante per la lasse irriduibile {3, 4}: ( 28 53, 25 53 ) Tutte le distribuzioni invarianti sono della forma (0, 0, α 28 53, α25, β, α β) 53 al variare di α, β [0, ] on α + β 2 Il limite (he esiste perhé tutte le lassi hiuse irriduibili sono regolari) è una partiolare distribuzione invariante, quindi bisogna determinare i valori α, β nella parametrizzazione trovata al punto sopra Tali numeri orrispondono alle probabilità di entrare nella lasse hiusa {3, 4} e {5} rispettivamente Per alolarli failmente notiamo he l unio modo di entrare nella lasse {3, 4} è di visitarla nel primo istante in ui la atena lasia lo stato Abbiamo visto a lezione he la probabilità di visitare lo stato i (diverso da ) è Q i /( Q ) Quindi abbiamo α = Q 3 + Q 4 Q = 3 7 7 6 = 2 Per determinare β, osserviamo he se la atena parte dallo stato 2, essa visita lo stato 5 on probabilità 2 5 5 3 = 2 3 Per la proprietà di Markov (e il fatto he l unio modo di visitare 5 da è di passare per 2) abbiamo allora he la probabilità di visitare lo stato 5 partendo da è il prodotto della probabilità di visitare 2 partendo da (he vale α = /2) per la probabilità di visitare 5 partendo da 2: β = 2 2 3 = 3 Conludiamo he il limite è dato dal vettore (0, 0, 4 53, 25 06, 3, 6 ) 3 Posto A l evento: la atena visita lo stato 5 in qualhe tempo n > 2, dobbiamo alolare P (A X 0 =, X 2 {2, 4}) = P (A X 0 =, X 2 {2, 4}, X 2 = 2)P (X 2 = 2 X 0 =, X 2 {2, 4}) + P (A X 0 =, X 2 {2, 4}, X 2 = 4)P (X 2 = 4 X 0 =, X 2 {2, 4}) Pag 4
avendo deomposto rispetto al sistema di alternative dato da X 2 = i (notiamo he solo i termini orrispondenti a i {2, 4} possono essere non nulli) Osserviamo poi he P (A X 0 =, X 2 {2, 4}, X 2 = 4) = P (A X 2 = 4) = 0 perhé lo stato 4 non omunia on lo stato 5 (sono in due lassi hiuse diverse) Quindi rimane da alolare ) P (A X 0 =, X 2 {2, 4}, X 2 = 2) = P (A X 2 = 2) = 2 5 / ( 2 5 + 5 = 2 3 e P (X 2 = 2 X 0 =, X 2 {2, 4}) = P (X 2 = 2 X 0 = )/P (X 2 {2, 4} X 0 = ) Caloliamo tramite i ammini Di onseguenza e onludiamo he P (X 2 = 2 X 0 = ) = 7 3 7 + 3 7 2 5 = 57 5 7 2 P (X 2 = 4 X 0 = ) = 7 7 + 7 5 + 2 7 5 7 = 62 5 7 2 P (X 2 = 2 X 0 =, X 2 {2, 4}) = 57 9 P (A X 0 =, X 2 {2, 4}) = 2 3 57 0, 32 9 Pag 5