Laboratorio di Fisica I - Anno Accademico 018-019 Relazione esperienza n 1 Mario Lauriano, Francesco Giosuè, Flavio Magliozzo, Chiara Coppola, Valeria Principato 19 Novembre 018 Sommario L esperienza svolta, nell ambito del corso di Laboratorio di Fisica I, ha previsto il calcolo della migliore stima della densità di solidi omogenei di forma regolare, nell ipotesi che tutti questi oggetti siano costituiti dallo stesso materiale. 1 Introduzione Al fine di condurre l esperienza: i) con un calibro ventesimale sono state misurate le dimensioni degli oggetti ed è stato stimato l errore associato a ciascuna di esse; ii) con una bilancia elettronica, sono state misurate le masse [M], dei singoli oggetti e sono state stimate le loro indeterminazioni. Obiettivi a) Dai dati ottenuti al punto i), determinare il volume [V] dei singoli oggetti e la corrispondente indeterminazione; b) Fare un grafico della Massa in funzione del Volume e da esso determinare la densità del materiale di cui sono fatti gli oggetti che si hanno a disposizione. 1
Indice 1 Introduzione 1 Obiettivi 1 3 Strumentazione 3 4 Ambiente di lavoro 3 5 Analisi e descrizione preliminare dell esperienza 3 6 Prelievo dei dati sperimentali 4 6.1 Tabella valori misurati................................ 5 7 Calcolo X best e δ x dei diametri esterno ed interno e dell altezza 5 7.1 Tabella valori calcolati................................ 6 8 Misura della massa 7 9 Stima dei volumi e delle masse per stimare la densità 8 10 Tabella valori Massa e Volume 9 11 Rappresentazione grafica e conclusioni 11
3 Strumentazione Calibro ventesimale Il calibro ha una risoluzione r = 0.05 mm a cui corrisponde un errore di lettura x = 0.05 mm; ai fini dell esperienza di laboratorio, si può assumere che l errore di precisione del calibro sia uguale all errore di lettura. Pertanto, l errore strumentale è x = 0.05 mm. Bilancia elettronica La bilancia elettronica ha un errore di lettura di una unità sull ultima cifra significativa (LSD), che corrisponde a un errore δ x = 0.1g; l errore di precisione della bilancia è 0.% del valore misurato. Pertanto, l errore complessivo introdotto dallo strumento è : δ(x) = 0. V.M. + 0.1g 100 Livella a bolla La livella è uno strumento di misura utilizzato per determinare la pendenza di una superficie rispetto a un piano orizzontale di riferimento 4 Ambiente di lavoro Preliminarmente si osserva che le condizioni ambientali in cui sono avvenute le misure sono state le appresso elencate: Temperatura: 94,15 K Umidità relativa: 55% Illuminamento: 00 lux. La temperatura è stata presa a riferimento in relazione alle possibili variazioni dimensionali degli oggetti e degli strumenti utilizzati le quali variazioni potrebbero essere tra loro diverse. L illuminamento è stato misurato in relazione ai possibili errori derivanti da uno scarso illuminamento durante il rilievo diretto delle quantità (lettura degli strumenti). L umidità è stata presa a riferimento in riferimento alle possibili influenze di questa sulla bilancia elettronica. Non sono state prese in considerazioni la velocità del aria nell ambiente di misura in quanto da ritenere ininfluente rispetto alle misure da effettuare. 5 Analisi e descrizione preliminare dell esperienza I cinque oggetti omogenei, dei quali si vuole conoscere la densità [ρ] sono dei cilindri cavi che presentano visibilmente piccole difformità. Si è proceduto alle misure dal più piccolo degli oggetti al più grande. Il primo obiettivo è determinare la migliore stima del Diametro esterno [D], del diametro interno [d] e dell altezza [h]. Infatti, prima ancora di passare alla determinazione del volume e della densità, sarà necessario, al fine di ottenere dati misure attendibili, cercare di 3
desumere, per le misure di D, d ed h, prese in tre punti diversi, ruotando di volta in volta l oggetto di circa 10 i rispettivi valori best [X best ] e le relative incertezze [δ x ]. Per valutare l intervallo di dispersione entro cui saranno desunte le tre grandezze da misurare, si farà riferimento alle rispettive semidispersioni. Al fine di fare delle buone misurazioni sono stati scelti tre punti lungo la circonferenza a 10 = π 3 rad l uno dall altro. Si osserva che l uso dei diametri, in luogo dei raggi, non è casuale; infatti, con l uso dei raggi, a parte la difficoltà intrinseca ad ottenere una misura corretta, dovuta proprio alla tipologia di strumento di misura impiegato (calibro) ed alla forma cava degli oggetti, comporta altresì l inserimento di un ulteriore errore dovuto al fatto che misurato r = r best ± δr avremmo dovuto calcolare r e per la proprietà delle potenze avremmo ottenuto un errore relativo su tale quantità, pari a: ε r = ε r = δr. Invece, misurando direttamente il r diametro si valuterà con esso anche la relativa incertezza di misura che sarà desunta da un unica misurazione/lettura del calibro. Successivamente, al fine di calcolare la misura del volume e della densità per ciascuno dei cinque oggetti, dovranno essere impiegate le seguenti due formule: V = A base Altezza = π 4 (D d ) h ρ = M V 6 Prelievo dei dati sperimentali Come suddetto, per ogni valore di D, d ed h sono state eseguite n. 3 misurazioni ruotando di volta in volta l oggetto di circa 10 al fine di tenere in considerazione ogni variazione della dimensione a seconda della disposizione dell oggetto rispetto allo strumento di misura. Le misure prese sono riportate nella tabella che segue. 4
6.1 Tabella valori misurati n. misura D [mm] δ D [mm] d [mm] δ d [mm] h [mm] δ h [mm] Oggetto n. 1 1 4.80 0.05 1.50 0.05 10.15 0.05 4.85 0.05 1.45 0.05 10.5 0.05 3 4.75 0.05 1.60 0.05 9.90 0.05 Oggetto n. 1 4.80 0.05 1.75 0.05 0.5 0.05 4.80 0.05 1.60 0.05 0.0 0.05 3 4.90 0.05 1.65 0.05 0.30 0.05 Oggetto n. 3 1 4.85 0.05 1.65 0.05 37.0 0.05 4.85 0.05 1.60 0.05 36.80 0.05 3 4.90 0.05 1.70 0.05 36.65 0.05 Oggetto n. 4 1 4.85 0.05 1.75 0.05 43.80 0.05 4.90 0.05 1.70 0.05 43.90 0.05 3 4.85 0.05 1.60 0.05 43.85 0.05 Oggetto n. 5 1 4.85 0.05 1.65 0.05 56.80 0.05 4.90 0.05 1.70 0.05 56.75 0.05 3 4.90 0.05 1.70 0.05 55.90 0.05 7 Calcolo X best e δ x dei diametri esterno ed interno e dell altezza Per valutare la miglior misura fra le tre svolte per ciascuna misurazione (tre misure per ciascuna delle tre grandezze - D,d,h - per ciascuno dei cinque oggetti), si sceglie di adottare il metodo della semisomma. Scelta giustificata dal fatto che i valori misurati sono pochi (tre). L X best per ciascuna misura quindi sarà: X best = X i best max + δ X + X i best min δ X = X i best max + X i best min Per ogni misura dovrà essere misurato anche l intervallo di semidispersione, dal momento che le misure in esame sono poche. δ x = x max + δ x (x min δ x ) = x max x min + δ x 5
Calcolo valori X best e δ x del Diametro esterno: D 1 = D 1best ± δ D1 = [4.80 ± (0.10/ + 0.05)]mm = (4.80 ± 0.10)mm D = D best ± δ D = [4.80 ± (0.10/ + 0.05)]mm = (4.80 ± 0.10)mm D 3 = D 3best ± δ D3 = (4.85 ± 0.05)mm D 4 = D 4best ± δ D4 = (4.85 ± 0.05)mm D 5 = D 5best ± δ D5 = (4.90 ± 0.05)mm Calcolo valori X best e δ x del diametro interno: d 1 = d 1best ± δ d1 = [1.50 ± (1.60 1.45)/ + 0.05]mm = [1.50 ± (0.075 + 0.05)]mm = (1.50 ± 0.1)mm d = d best ± δ d = (1.65 ± 0.1)mm d 3 = d 3best ± δ d3 = (1.65 ± 0.10)mm d 4 = d 4best ± δ d4 = (1.65 ± 0.1)mm d 5 = d 5best ± δ d5 = (1.70 ± 0.05)mm Calcolo valori X best e δ x dell altezza: h 1 = h 1best ± δ h1 = [10.1 ± (10.5 9.90)/ + 0.05]mm = (10.1 ± 0.)mm h = h best ± δ h = [0.5 ± (0.30 0.0)/ + 0.05]mm = (0.5 ± 0.10)mm h 3 = h 3best ± δ h3 = [36.88 ± (37.0 36.65)/ + 0.05]mm = [36.88 ± (0.75 + 0.05)]mm = 36.88 ± 0.35 = (36.9 ± 0.3)mm h 4 = h 4best ± δ h4 = [43.85 ± (43.90 43.80)/ + 0.05]mm = (43.85 ± 0.10)mm h 5 = h 5best ± δ h5 = [56.48 ± (56.80 + 55.9)/ + 0.05]mm = (56.5 ± 0.5)mm 7.1 Tabella valori calcolati Nella seguente tabella è riportato per ciascuna misura di D, d ed h, per ciascuno dei cinque oggetti, il rispettivo: i) valore best calcolato per ciascuna serie di misure su ciascun oggetto; ii) errore assoluto, dato dalla somma tra l errore strumentale (0.05mm) e l errore di precisione (ove fosse maggiore o uguale all errore strumentale, altrimenti risulta ininfluente) δ x = δ strumentale + δ precisione ; iii) errore relativo percentuale, dato dal rapporto tra l errore assoluto e il modulo del valore best, moltiplicato per cento, ε x = δx X b 100. L errore relativo è consente di determinare quale est 6
tra più risultati sia più preciso, tanto più è piccolo, tanto migliore è la misura. Si è preferito riportarlo in percentuale per evitare di aver a che fare con poco pratici numeri decimali. D [mm] δ D [mm] ε D [%] d [mm] δ d [mm] ε d [%] h [mm] δ h [mm] ε h [%] Oggetto n. 1 4.80 0.10 0.40% 1.50 0.1 0.56% 10.1 0. 1.98% Oggetto n. 1.80 0.10 0.40% 1.65 0.1 0.55% 0.5 0.10 0.49% Oggetto n. 3 4.85 0.05 0.0% 1.65 0.10 0.46% 36.9 0.3 0.81% Oggetto n. 4 1.85 0.05 0.0% 1.65 0.1 0.55% 43.85 0.10 0.3% Oggetto n. 5 4.90 0.05 0.0% 1.70 0.05 0.3% 56.5 0.5 0.88% Tutte le misure sono state prese ed indicate in mm ma d altra parte, vista la dimensione degli oggetti e soprattutto preso atto, anche solo a vista, che le masse in gioco sono piccole ha senso, nei calcoli successivi, prendere a riferimento e conseguentemente introdurre gli opportuni fattori di conversione al fine di esprimere la densità ρ in g cm 3 8 Misura della massa Le masse dei cinque oggetti sono state misurate per mezzo della bilancia digitale avuta in dotazione. Il piano di appoggio degli oggetti dei quali deve misurare la densità è stata verificata complanare all orizzontale, attraverso una livella a bolla che accertasse la complanarità dello stesso. Ciò al fine di eliminare o, comunque, ridurre al minimo gli errori sistematici derivanti dalla non complanarità del piano di appoggio della bilancia. Di seguito sono riportati i valori di M best per ciascun oggetto, ottenuti a seguito di dell effettuazione di n. 3 misure: 1a misura a misura 3a misura Oggetto n. 1 1.7 1.7 1.7 Oggetto n. 3.3 3.4 3.4 Oggetto n. 3 6.0 6.0 6.0 Oggetto n. 4 7.3 7. 7. Oggetto n. 5 9.4 9.4 9.4 È chiaro che anche se la misura è stata ripetuta più volte il valore della massa non è cambiato nel 60% del casi, ma questa scelta è stata preferita in modo da cercare di minimizzare la possibilità di commettere errori casuali. È, comunque, dato riscontrare come tale scelta abbia scongiurato la possibilità di commettere due errori (nei casi e 4), dove la prima misura è risultata essere diversa da quella cui effettivamente è risultata essere negli altri due casi. 7
Si prenderanno in considerazione come M ibest la moda, cioè la misura che si è ripetuta più volte. Di seguito sono riportati i valori M ibest : M 1 = 1.7g M = 3.4g M 3 = 6.0g M 4 = 7.g M 5 = 9.4g Come già affermato nel paragrafo 3 (Pag. 3), la bilancia elettronica ha un errore di lettura di una unità sull ultima cifra significativa (LSD), che corrisponde a un errore δ x = 0.1g; l errore di precisione della bilancia è 0.% del valore misurato. Pertanto, l errore complessivo introdotto dallo strumento è: δ(x) = 0. V.M. + 0.1g 100 9 Stima dei volumi e delle masse per stimare la densità Pertanto, il gruppo di lavoro ha predisposto i calcoli da effettuare attraverso il foglio di calcolo informatico al fine di ottenere M i e V i e il rapporto ρ min e ρ Max, dato dalla tangente dell angolo d inclinazione della retta M. In particolare, al fine di esplicare la procedura di calcolo adottata, V si riporta il processo. Trattandosi di prodotti e quozienti M = ρ si propagheranno gli errori V relativi e poiché le grandezze in esame sono indipendenti, sarà possibile usare la somma in quadratura, data dalla formula: ε ρ = (ε M + ε V ). Dato V uguale a si determina anche ε V : V = A base Altezza = π 4 (D d ) h ε V = ε π 4 + ε (D d ) + ε h Il primo termine (ε π ) è nullo. Si procede a determinare il secondo e terzo termine: 4 ε (D d ) = δ (D d ) D d = δ + δ D d D d Il secondo termine risulta dal rapporto tra la somma degli errori assoluti dei quadrati dei diametri e il valore assoluto della differenza dei valori best dei quadrati stessi. Infatti, gli errori assoluti sui diametri si sommano nella composizione in quanto trattasi di propagazione di errore nella somma. L errore relativo dei quadrati dei diametri è dato, per le regole delle potenze, dall esponente per l errore relativo della base: da cui: ε D = δ D D = ε D δ D = ε D D = δd D D = δ D D 8
e analogamente: δ d = δ d d. ε (D d ) = δ (D d ) D d = δ + δ D d D d = ( δ D D) + δ d d D d Ed in definitiva: da cui ε V = ε (D d ) + ε h = δ D D + δ d d D d δ V = ε V V + δ h h Misurata la Massa: M = M best ± δ M calcolato già (fine paragrafo 8, a pag. 9) il δ M, possiamo stimare l errore relativo [ε M ], utile a definire poi l errore relativo sulla densità [ε ρ ]: ε M = δ M M best A questo punto si stima l errore relativo sulla densità, che sarà poi indispensabile per determinare quello assoluto: ε ρ = ε M + ε V δ ρ = ε ρ ρ A questo punto, è possibile stimare la misura della densità degli oggetti, nell ipotesi che questi siano tutti costituiti dello stesso materiale: ρ = ρ best ± δ ρ 10 Tabella valori Massa e Volume Di seguito si riporta la tabella creata per mezzo del foglio di calcolo Excel, già menzionata nel corso della relazione, che ci ha permesso di svolgere più agevolmente i calcoli nel corso della nostra esperienza. Sono nuovamente riportati, a fine riepilogativo, tutti i valori delle precedenti tabelle, più le stime del Volume e della Massa degli oggetti: 9
10
11 Rappresentazione grafica e conclusioni Per trovare la relazione tra le grandezze misurate si usa il metodo grafico, che consiste nel determinare la retta che passa per i rettangoli individuati dagli errori massimi dei punti cinque punti individuanti le cinque misure della densità. Su SciDAvis, quindi, su un piano ortogonale, sono state tracciate le due rette che, intersecando tutti i segmenti che rappresentano gli errori, abbiano rispettivamente la minima e la massima pendenza. Il coefficiente di proporzionalità rappresenta la densità del materiale ρ (y = mx M = ρv ). Bisogna determinare per entrambe le rette tangenti, la tangente dell angolo che esse formano con le ascisse, ossia il coefficiente angolare. Da tali rette, che spiccano dall origine degli assi, si sono desunte tg α max = ρ max e tg α min = ρ min cioè l intervallo di dispersione su ρ e pertanto: ρ best = ρ max + ρ min Dopo avere tracciato le rette, abbiamo determinato: δ ρ = ρ max ρ min ρ max = 1.50 ρ min = 1.344 ρ best = (1.344 + 1.50) = 1.43 δ ρ = (1.50 1.344) Quindi, la misura della densità dei cinque oggetti è risultata essere: = 0.079 ρ = ρ best ± δ ρ = (1.4 ± 0.08) g cm 3 11