Soluzione Esame di Modellistica e Simulazione dei Sistemi Meccatronici del /0/0 Dato il sistema, bisognava rispondere alle seguenti domande: ) Definire le coordinate generalizzate necessarie a descrivere il sistema. ) Ricavare le equazioni di Lagrange. ) Ricavare le equazioni di stato del sistema. Le coordinate generalizzate sono quelle indicate in Figura, da cui si ricavano le varie trasformazioni tra i sistemi di riferimento che porta alla matrice omogenea T = Trasl(, i q ) Trasl( j, h) Rot ( k, q ) 0 T 0 0 0 q c s 0 0 c s 0 q 0 0 hs c 0 0 s c 0 h = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Le posizioni delle origini dei tre riferimenti sono q q q q + p = 0 p 0 p p h = = = G 0 0 0 e le rispettive velocità sono
q q q q + p = 0 p 0 p p 0 = = = G 0 0 0 Per completezza, possiamo anche calcolare le posizioni e le velocità del baricentro delle masse A e B (quella del baricentro della massa G è già stata calcolata) Passiamo ora al calcolo delle energie q c q c + p = h s p h s A + = B 0 0 q s q q + s q p = c q p = c q A 0 0 B. Coenergia cinetica Vi sono tre corpi rigidi (carrello, carrello, elica), quindi la coenergia totale sarà la somma delle coenergie relative ai tre corpi C = C + C + C dove elica C = M q C = M ( q + q ) mentre il calcolo di C elica può essere svolto in due modi diversi Modo a) l elica viene considerata come un unico corpo rigido, per cui la coenergia è la somma del termine dovuto alla velocità lineare del baricentro più il termine dovuto all inerzia di rotazione intorno al baricentro C = m q + q z elica tot, tot la massa totale vale m = m e il momento d inerzia totale vale = + +, dove tot z, tot z, z, z, e z, z, sono ottenuti applicando il teorema degli assi paralleli, ovvero
z, z, z, = mρ = mρ + m = mρ + m quindi = mρ + mρ + m + mρ + m = mρ + m = + m z, tot z dove abbiamo semplificato l espressione, considerando l identità mρ z =. In totale avremo C = elica tot, tot ( ) m q + z z q = mq + + m q (.) Modo b) l elica viene considerata come un insieme rigidamente connesso di tre dischi, per cui la coenergia è la somma dei tre termini dovuti alle velocità lineari dei baricentri dei dischi più i termini dovuti all inerzia di rotazione intorno ai baricentri dei tre dischi, ossia ma, dato che C = m + q + m + q + m + q elica p G zg p A za B zb p m p m p m p G A B ( zg za zb) q = + + + + + p e = = = zg za zb z otterremo in conclusione G = q ( ) ( ) = q s q + c q = q + q s qq A p ( ) ( ) = q + s q + c q = q + q + s qq B p Celica = m m m G A B ( zg za zb) q p + p + p + + + = ( mq + m q ) + q z (.)
Confrontando le relazioni (.) e (.), vediamo che sono identiche e questo conferma il fatto che il modo a) e il modo b) portano allo stesso risultato.. Energia potenziale Scelto come riferimento a potenziale zero la linea orizzontale passante per i baricentri dei carrelli, l energia potenziale è la somma dell energia potenziale gravitazionale e dell energia potenziale elastica dove risulta semplicemente P = P + P grav P = kq el P = P + P + P = 0+ 0+ P grav grav, grav, grav,elica grav,elica el P può essere calcolata in due modi diversi grav Modo a) l elica viene considerata come un unico corpo rigido, per cui l energia potenziale è quella relativa alla massa totale concentrata nel baricentro dell elica, ovvero P grav,elica q T = mg p = m 0 g 0 h = mgh 0 (.) Modo b) l elica viene considerata come un insieme rigidamente connesso di tre dischi, per cui l energia potenziale è la somma delle energie potenziali dei tre dischi, ovvero P = mg p mg p mg p T T T grav,elica A q q + c q c = m 0 g 0 h m 0 g 0 h s m 0 g 0 + h s 0 0 0 = mgh B = mgh + mgh + mg s + mgh mg s (.4) Confrontando le relazioni (.) e (.4), vediamo che sono identiche e questo conferma il fatto che il modo a) e il modo b) portano allo stesso risultato.. Funzione di dissipazione L attrito è presente sia nel giunto prismatico, sia nel giunto rotoidale, per cui avremo D = βq + βq
4. Forze generalizzate Il lavoro virtuale totale è dovuto sia alla forza lineare sia alla coppia al giunto, ossia da cui si ottiene δw = F δp + N δ T T α δq δq 0 + = f 0 0 0 0 0 τ 0 + 0 δq = fδq + fδq τδq F = f F = f F = τ 5. Equazioni di Lagrange Prepariamo ora le relazioni utili per scrivere le equazioni di Lagrange: quindi C = Mq + M( q + q ) + mq d C = ( M + m) q + Mq dt C = Mq ( ) + q d C = Mq Mq + dt C = ( m z + ) q d C = ( m z + ) q dt P P P = 0 = kq = 0 q q q D D D = 0 = βq = βq Equazione : ( ) M + m q + Mq = f M tot Equazione :
Mq + Mq + β q + kq = f Equazione : ( ) + m q + βq = τ z tot 6. Equazioni di stato Le variabili di stato scelte sono x = q x = q x = q x = q x = q x = q 4 5 6 Le equazioni di stato possono essere messe in forma lineare nel modo seguente 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 0 0 f = + 0 0 0 M M 0 x 0 0 0 0 0 0 0 tot 4 τ 0 0 0 M M 0 x 0 k 0 0 β 0 0 5 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 β 0 tot 6 che assume la forma di equazione di stato generalizzata Ex = Ax + Bu se la matrice E è invertibile, come nel nostro caso, si ottiene x = E Ax + E Bu