MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova del 4 luglio 2008 Nome Cognome Matricola Esercizio 1 (6 punti) Dato un debito di 20 000, lo si voglia rimborsare mediante il pagamento di 12 rate mensili posticipate costanti differite di 6 mesi, in regime di sconto commerciale, al tasso annuo del 6%. Calcolare la rata mensile e verificare se il TAE è maggiore o minore del 7% annuo composto. Tracciato per la soluzione Detto R l importo della rata incognita, deve essere soddisfatta la seguente equazione contenente l incognita R ed i dati noti del problema:, che, risolta, dà R = Se il TAE dell operazione fosse il 7% annuo composto, dovrebbe essere soddisfatta la seguente identità: Poiché è invece verificata la disuguaglianza Significa che il TAE è maggiore/minore del 7%. 1
Esercizio 2 (6 punti) Un portafoglio del valore di 800 000 è composto di due 0-coupon bonds di durate 3 e 6 anni, in un mercato con struttura piatta a tasso di interesse 6%, nelle misure del 30% investita nel primo titolo e 70% nel secondo titolo. Calcolare la variazione effettiva di valore del portafoglio in conseguenza di una variazione negativa del tasso di mercato dello 0.5% e la sua approssimazione del 1 ordine mediante la duration. Tracciato per la soluzione Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB sono: A 1 = A 2 = Il valor nominale N 1 investito nel 1 ZCB è: N 1 = Il valor nominale N 2 investito nel 2 ZCB è: N 2 = Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB, per effetto della variazione di tasso, diventano: A 1 = A 2 = Il valore A del portafoglio diventa: A = La variazione effettiva A del portafoglio è dunque: A = La duration D(6%) del portafoglio è: D(6%) = L approssimazione della variazione di valore del portafoglio mediante la duration è la seguente: A 2
Esercizio 3 (5 punti) Un risparmiatore, disponendo di un importo di 20 000, vuole avviare un piano di risparmio al tasso di interesse anno composto costante del 6% con 5 rate posticipate, mediante le quali costituire un montante di 100 000 fra 10 anni. Calcolare la rata. Tracciato per la soluzione Grazie alla disponibilità iniziale di 20 000, il montante obiettivo residuo all istante 0 si riduce a.. calcolato mediante la formula Il calcolo della rata costante R da versare periodicamente per raggiungere l obiettivo al 10 anno avviene attraverso la seguente espressione e vale: R = 3
Esercizio 4 (6 punti) E dato un portafoglio con due soli titoli, i cui rendimenti aleatori hanno valori attesi µ 1 = 6%, µ 2 =8%, varianze σ 1 2 = 0.49%, σ 2 2 =0.64%. Calcolare la varianza del rendimento del portafoglio composto dei due titoli nelle percentuali α e 1-α sapendo che il coefficiente di correlazione è eguale a 1. Calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto di varianza minima, il rendimento atteso corrispondente e dare l interpretazione finanziaria del risultato.. Tracciato per la soluzione Detti X 1 e X 2 i rendimenti aleatori dei due titoli e Z il rendimento del portafoglio composto nelle percentuali α e 1-α, il rendimento atteso µ Z la varianza σ Z 2 del rendimento del portafoglio sono i seguenti: µ Z = σ Z 2 = Per calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto avente minima varianza si procede nel modo seguente: In corrispondenza a tale portafoglio il valore atteso µ Z * e la varianza σ Z 2 * valgono: µ Z * = σ Z 2 * = 4
Esercizio 5 (6punti) Siano dati 2 titoli con cedole annue e durata 2 anni dalle seguenti caratteristiche: - le cedole del primo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare del 7% ed il corso è 100.9413168 per 100 di nominale - le cedole del secondo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare dell 6% ed il corso è 99.11626133 per 100 di nominale Si chiede di individuare la struttura dei tassi implicita, individuabile mediante il principio di non arbitraggio Tracciato per la soluzione Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: Che, risolte, danno I tassi di interesse a scadenza h (0) (0,1) e h (0) (0,2) corrispondenti sono i seguenti: 5
Esercizio 6 (4 punti) Dati i due investimenti: I 1 = {(-1000,0), (800, 1), (700, 2), (300, 3)} I 2 = {(-1000,0), (700, 1), (600, 2), (500, 3)} Calcolarne il punto di Fisher. Tracciato per la soluzione L equazione che permette di calcolare il tasso di interesse del punto di Fisher è la seguente: Essa ammette/non ammette soluzioni, che nel caso esistano, sono 6
MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova del 4 luglio 2008 Esercizio 1 (6 punti) Dato un debito di 20 000, lo si voglia rimborsare mediante il pagamento di 12 rate mensili posticipate costanti differite di 6 mesi, in regime di sconto commerciale, al tasso annuo del 6%. Calcolare la rata mensile e verificare se il TAE è maggiore o minore del 7% annuo composto. Traccia di soluzione Detto R l importo della rata incognita, deve essere soddisfatta la seguente equazione contenente l incognita R ed i dati noti del problema: 1 13 20 000 20 000 = 12R 1 0.06 + R = = 1777.778 2 24 25 12 1 0.06 24 Se il TAE dell operazione fosse il 7% annuo composto, dovrebbe essere soddisfatta la seguente identità: 20 000 = 1777.778 1.07 1 2 1 1.07 1.07 1 12 1 1 Poiché è invece verificata la disuguaglianza 20 000 > 1777.778 1.07 1 2 1 1 1.07 = 19885.33 1 12 1.07 1 Significa che il TAE è minore del 7%, precisamente pari al 6.408%. 7
Esercizio 2 (6 punti) Un portafoglio del valore di 800 000 è composto di due 0-coupon bonds di durate 3 e 6 anni, in un mercato con struttura piatta a tasso di interesse 6%, nelle misure del 30% investita nel primo titolo e 70% nel secondo titolo. Calcolare la variazione effettiva di valore del portafoglio in conseguenza di una variazione negativa del tasso di mercato dello 0.5% e la sua approssimazione del 1 ordine mediante la duration. Traccia di soluzione Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB sono: A 1 = 0.3 800 000 = 240 000, A 2 = 0.7 800 000 = 560 000 Il valor nominale N 1 investito nel 1 ZCB è: N 1 = 240 000 1.06 3 = 285 843.84 Il valor nominale N 2 investito nel 2 ZCB è: N 2 = 560 000 1.06 6 = 794 370.70 Le somme A 1 e A 2 investite nei due ZCB, per effetto della variazione di tasso, diventano: A 1 = 243 428.52 A 2 = 576 114.04 Il valore A del portafoglio diventa: A = 243 428.52 + 576 114.04 = 819 542.56 La variazione effettiva A del portafoglio è dunque: A = 19 542.56 La duration D(6%) del portafoglio è: D(6%) = 0.3 3+0.7 6 = 5.1 L approssimazione della variazione di valore del portafoglio mediante la duration è la seguente: A 800 000 0.005 5.1/1.06 = 19 245.28 8
Esercizio 3 (5 punti) Un risparmiatore, disponendo di un importo di 20 000, vuole avviare un piano di risparmio al tasso di interesse anno composto costante del 6% con 5 rate posticipate, mediante le quali costituire un montante di 100 000 fra 10 anni. Calcolare la rata. Traccia di soluzione Grazie alla disponibilità iniziale di 20 000, il montante obiettivo residuo all istante 0 si riduce a N (0) = 100 000 20 000 1.06 10 = 64 183.05 La rata costante R da versare periodicamente per raggiungere l obiettivo al 10 anno vale: 64 183.05 R = s 1.06 5 0.06 5 = 8 508.163 9
Esercizio 4 (6 punti) E dato un portafoglio con due soli titoli, i cui rendimenti aleatori hanno valori attesi µ 1 = 6%, µ 2 =8%, varianze σ 1 2 = 0.49%, σ 2 2 =0.64%. Calcolare la varianza del rendimento del portafoglio composto dei due titoli nelle percentuali α e 1-α sapendo che il coefficiente di correlazione è eguale a 1. Calcolare il portafoglio privo di vendite allo scoperto di varianza minima, il rendimento atteso corrispondente e dare l interpretazione finanziaria del risultato.. Con i dati del problema, la varianza è la seguente: σ Traccia di soluzione ( α ) 2 + 2α ( 1 α ) 0.07 0.08 = [ 0.07α + 0.08( )] 2 2 =.0049α 2 + 0.0064 1 1 Z 0 α Il minimo di un quadrato perfetto vale 0, perciò α deve soddisfare la seguente equazione: 0.07α+(1-α)0.08 = 0, si ottiene α* = 8 La soluzione trovata, >1, è non ammissibile e perciò la varianza minima è 0.49%, ottenibile mediante il portafoglio composto del solo 1 titolo, con α* = 100% e µ Z * = 6% σ Z *2 = 49% 10
Esercizio 5 (6punti) Siano dati 2 titoli con cedole annue e durata 2 anni dalle seguenti caratteristiche: - le cedole del primo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare del 7% ed il corso è 100.9413168 per 100 di nominale - le cedole del secondo titolo sono calcolate al tasso annuo cedolare dell 6% ed il corso è 99.11626133 per 100 di nominale Si chiede di individuare la struttura dei tassi implicita, individuabile mediante il principio di non arbitraggio Traccia di soluzione Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: 100.9413168 = 6B(0,1) + 106B(0,2) 99.11626133 = 7B(0,1) + 107B(0,2) Il sistema di equazioni, risolto nelle incognite B(01,) e B(0,2), dà le seguenti soluzioni: B B ( 0,1) ( 0,2) 0 ( 0,1) 0 ( 0,2) = 0.943396226 = 0,881659283 h = 6% h = 6.5% Detti B(0,1) e B(0,2) i prezzi degli 0-coupon virtuali presenti sul mercato, devono valere le seguenti equazioni: Che, risolte, danno I tassi di interesse a scadenza h (0) (0,1) e h (0) (0,2) corrispondenti sono i seguenti: 11
Esercizio 6 (4 punti) Dati i due investimenti: I 1 = {(-1000,0), (800, 1), (700, 2), (300, 3)} I 2 = {(-1000,0), (700, 1), (600, 2), (500, 3)} Calcolarne il punto di Fisher. Traccia di soluzione L equazione che permette di calcolare il tasso di interesse del punto di Fisher è la seguente: -1000 (1+i) 3 + 800 (1+i) 2 + 700 (1+i) + 300 = -1000 (1+i) 3 + 700 (1+i) 2 + 600 (1+i) + 500 100 (1+i) 2 + 100 (1+i) 200 = 0 Essa ammette unica soluzione i* = 0 12