REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR 1 Luci sul palc La ptenza elettrica P assrbita da ciascuna lampada utilizzata per illuminare un palcscenic segue la seguente legge: Pr () V R = R Rr r dve V indica la tensine (misurata in vlt) e R la resistenza (misurata in hm) di ciascuna lampada r indica invece la resistenza interna al circuit Abbiam a dispsizine lampade che funzinan a una tensine di 0 V e hann una resistenza di 100 X Studia l andament della ptenza P di ciascuna lampada in funzine della resistenza interna r del circuit Csa succede se la resistenza interna al circuit diventa mlt grande? La ptenza P assume un valre massim? Sstituiam i valri di vltaggi e resistenza nella funzine della ptenza: 0 $ 100 Pr () = 100 00r r Il dmini naturale della funzine è R -- { 100} ma piché r rappresenta una resistenza deve essere r $ 0: cnsideriam quindi il dmini r $ 0 Intersezini cn gli assi: se r = 0 P(0) = 59 X Nn ci sn asintti verticali perché 100 00r r! 0 per gni r $ 0 Piché il denminatre ha grad e il numeratre ha grad 0 si ha: 0 $ 100 lim 0 r 100 00r r = ; " la funzine ha quindi l asse delle ascisse cme asintt rizzntale Calcliam la derivata prima e studiamne il segn 0 $ 100 Pr () = 0 $ 100 $ ( 100 r) 100 00r r = - Pl () r =- $ 0 $ 100 $ ( 100 r) - Pl () r 1 0 per r $ 0 (ci limitiam al dmini cnsiderat) Dall studi del segn della derivata prima si deduce che la funzine è sempre decrescente per r $ 0 Calcliam la derivata secnda e studiamne il segn: Pm () r = 6 $ 0 $ 100 $ ( 100 r) -4 Pm () r 0 per r $ 0 Dall studi del segn della derivata secnda si deduce che la funzine ha cncavità rivlta sempre vers l alt per r $ 0 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 1
La funzine P(r) ha quindi l andament disegnat in figura P 700 600 500 400 00 00 100 0 40 60 80 100 10 140 160 180 00 r Figura 1 Cme si può vedere dal grafic e dall espressine analitica della funzine la ptenza diminuisce tendend asintticamente a 0 La ptenza assume il valre massim P = 59 X per r = 0 L intensità luminsa La «legge del quadrat della distanza» inverse square law (ISL) afferma che l intensità dell illuminazine prdtta su una superficie (irradiament) da una srgente puntifrme è direttamente prprzinale alla ptenza luminsa (fluss raggiante) p emessa dalla srgente e inversamente prprzinale al quadrat della distanza dalla srgente stessa secnd l espressine I ( ) = p 4r Calcla qual è l intensità luminsa prdtta da due lampadine (di ptenza luminsa 5 W e 75 W cllcate su pareti ppste di una stanza larga 10 m) in un punt pst sulla lr cngiungente e studia la funzine ttenuta Descrivi csa succede avvicinandsi a una fnte luminsa all altra Qual è il punt sulla cngiungente cn la minima intensità luminsa? Qual è l andament grafic dell intensità luminsa csì determinata? La psizine delle due lampadine è rappresentata in figura 5 W P 75 W 10 10 m Figura Le due lampadine l 1 ed l hann ptenza p 1 = 5 W e p = 75 W e distan 10 m l una dall altra L intensità luminsa in un punt P che dista da l 1 e (10 - ) da l è data da: 5 75 I ( ) = 4r 4 r( 10 - ) Il dmini dvut alle limitazini fisiche della stanza è 0 1 1 10 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi
Segn della funzine: I ( ) 0per gni del dmini Intersezini cn gli assi: nessuna Asintti verticali = 0 e = 10 in quant: lim c 5 75 = " 0 4r 4 r( 10 - ) m lim c 5 75 = " 10-4r 4 r( 10 - ) m Avvicinandsi a una delle due fnti luminse l intensità diventa massima Calcliam la derivata prima e studiamne il segn: Il 5 75 ( ) =- ; r r( 10 - ) Il ( ) = 0 per = a cn a - 466 infatti sviluppand l espressine si ttiene -510 ( - ) 75 r ( 10- ) 1 5( - 1 10-400) = r ( 10- ) pertant Il ( ) = 0 se - 1 10-400 = 0 L equazine ammette una sla sluzine apprssimata nell intervall 0 1 1 10; per trvarla si può prcedere anche per via grafica individuand l intersezine fra l asse e la funzine f ( ) = - 1 10-400 nell intervall 0 1 1 10 Il grafic di f() è il seguente: 608 456 04 15 09 184 76 68 46 55 644 76 88 Figura La funzine f() è cntinua (plinmi) e strettamente crescente nell intervall infatti la sua derivata prima fl ( ) = - 4 10 0 per gni e f(4) 1 0 e f( 5) 0 Per il terema degli zeri esiste una radice 4 1 1 5 Iterand il prcediment si trva la sluzine apprssimata - 466 Il segn della derivata Il ( ) si trva sservand che il numeratre è psitiv per 466 e negativ per 0 1 1 466 mentre il denminatre è sempre psitiv nell intervall ]0; 10[ quindi si cnclude che la funzine I() è decrescente per 0 1 1 466 e crescente per 466 1 1 10 Il punt pst alla distanza di circa 466 m dalla lampadina l 1 è il punt cn il valre minim di intensità luminsa Il grafic dell intensità I() è quindi il seguente 1 1 4 5 6 7 8 9 10 Figura 4 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi
Salt tripl Nel salt tripl l atleta dp una rincrsa raggiunge la zna di battuta da dve effettua tre balzi cnsecutivi Il recrd del mnd appartiene al britannic Jnathan Edwards ed è di 189 m Esaminand il salt si sserva che nel prim balz (hp) la velcità di stacc (tangente) ha un inclinazine di 15 rispett alla pedana nel secnd (step) di 1 e nell ultim (jump) di 17 Le misure parziali dei tre balzi sn rispettivamente di 57 m 59 m 669 m Fissat il sistema di riferiment nel punt di stacc del prim balz determina le funzini delle traiettrie nei tre salti parziali (apprssima i calcli) e studia l andament degli stessi Schematicamente i tre salti si presentan csì: 1 A B C D 4 6 8 10 1 14 16 18 Figura 5 Per ciascuna delle tre traiettrie bisgna determinare l equazine della parabla = a b c avend a dispsizine cndizini: passaggi per punti e cefficiente anglare della tangente in un di essi (che è individuat dalla derivata l = a b della funzine in quel punt) Per la prima traiettria si ha A(0; 0) B(57; 0) l ( A ) = tg15 quindi: c = 0 a =-005 * 49a 5 7b c = 0 " * b = 07 " 1 =- 005 07 b = 07 c = 0 Per la secnda traiettria si ha B(57; 0) C(116; 0) l ( B ) = tg1 quindi: 49a 5 7b c = 0 a =-00 4 * 14 56a 11 6b c = 0 " * b = 0 69 " =- 0 04 0 69-6 11 4a b = 0 c = -6 Per la terza traiettria si ha C(116; 0) D(189; 0) l ( C ) = tg17 quindi: 14 56a 11 6b c = 0 a =-00 5 * 4 541a 18 9b c = 0 " * b = 147 " =- 00 5 1 47-10 a b = 0 1 c =-10 Per quant riguarda gli intervalli di crescenza e decrescenza ccrre studiare il segn della derivata prima nei tre balzi Cnsiderand anche gli intervalli in cui sn definite le tre funzini si ttiene: 1 l =- 01 07 0 " 01 1 7 funzine crescente; l =- 008 069 0 " 57 1 1 865 funzine crescente; l =- 0 10 1 47 0 11 6 1 1 14 7 funzine crescente " Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 4
4 L spettr slare Il grafic rappresenta in md apprssimat l spettr della luce slare che raggiunge la superficie terrestre In ascissa è riprtata la lunghezza d nda espressa in nanmetri (10-9 m) e la curva rappresentata (densità spettrale) indica cm è distribuita al variare della lunghezza d nda l intensità della radiazine L area evidenziata in giall crrispnde all intensità cmplessiva Chiamata f() la funzine rappresentata nel grafic a fianc disegna in md apprssimat il grafic della funzine derivata Intensità di emissine Ultravilett Visibile Infrarss 00 490 1000 000 Lunghezza d nda (nm) Sulla base del grafic della funzine f si pssn frmulare le seguenti cnsiderazini relative al grafic della funzine derivata: per 00 1 1 490 la funzine derivata è psitiva in quant la funzine è crescente; per 490 1 1 000 la funzine derivata è negativa in quant la funzine è decrescente; in = 490 c è un zer della funzine derivata in quant la funzine presenta un punt di massim; per 00 1 1 400 (circa) e cn 700 (circa) la funzine derivata è crescente in quant il grafic della funzine è cncava vers l alt e quindi la derivata secnda è psitiva; per 400 1 1 700 (circa) la funzine derivata è decrescente in quant il grafic presenta cncavità vers il bass e quindi la derivata secnda è negativa; in = 400 (circa) la funzine derivata presenta un massim relativ in = 700 (circa) presenta un minim relativ; l rdinata del punt di massim relativ della funzine derivata deve essere mlt elevata infatti dal grafic si nta che la tangente nel punt di ascissa 400 è quasi verticale; l rdinata del punt di minim relativ della funzine derivata sarà circa - 17 piché dal grafic si nta che la tangente nel punt di ascissa 700 frma un angl di circa 10 cn l asse quindi la derivata in quel punt è uguale a tg r ; analizzand ancra l andament qualitativ delle tangenti al grafic si pssn iptizzare i seguenti limiti: lim fl r ( ) = tg - 17 lim fl ( ) = 0 " 00 " Il grafic della funzine derivata è apprssimativamente il seguente 00 400 500 700 1000 lunghezza d nda (mm) Figura 6 Cpright 01 Zanichelli editre SpA Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini Anna Trifne e Graziella Barzzi 5