CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE

CAPITOLO 8 CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE Nel presente Capitolo si considerano esclusivamente circuiti lineari in regime stazionario e in regime sinusoidale (la maggior parte del Capitolo è dedicata ai circuiti in regime sinusoidale). In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo, dopo l'esaurimento del transitorio, le tensioni e le correnti sono costanti nel tempo se tutti i generatori sono costanti nel tempo (circuiti in regime stazionario). In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo alimentato da uno o più generatori sinusoidali tutti con la stessa pulsazione ω, dopo l'esaurimento del transitorio, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali alla stessa pulsazione (circuiti in regime sinusoidale). Molti circuiti operano in regime stazionario o in regime sinusoidale. Come si vedrà in seguito, se è nota la risposta di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo ad un ingresso costante e ad un ingresso sinusoidale di frequenza arbitraria, allora è possibile calcolare la risposta ad un segnale arbitrario. 8.1 Circuiti in regime stazionario Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N (figura 1), alimentato da soli generatori costanti e si supponga che esso sia in regime stazionario (il transitorio si è estinto), quindi tutte le tensioni e tutte le correnti sono costanti nel tempo. In questo caso le equazioni del circuito diventano $ a, = % a 9 = I k = C k dv k dt = 0 k = 1,,..., n C, () di V k = L k k = 0 dt k = n C +1,..., n C + n L, (3) V k R k I k = 0 k = n C + n L +1,..., n C + n L + n R, (4) (1)

86 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica V k = E k = FRVW I k = J k = FRVW k = n C + n L + n R + 1 n C + n L + n R + n e k = n C + n L + n R + n e +1 n C + n L + n R + n e + n j (5) dove, = I 1 I I b T e 9 = V 1 V V b T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle tensioni del circuito (useremo le lettere maiuscole per indicare correnti e tensioni che sono costanti nel tempo), b = n C + n L + n R + n e + n j, $ a e % a sono, rispettivamente, la matrice di incidenza e una matrice di maglia, C k L k e R k sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito, E k e J k sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente indipendenti (E k e J k sono costanti nel tempo). Figura 1 Circuito lineare, tempo invariante e dissipativo in regime stazionario (a) e circuito resistivo equivalente (b). Le correnti che circolano nei condensatori sono uguali a zero, perché le tensioni su di essi sono costanti, e anche le tensioni degli induttori sono uguali a zero perché le correnti che in essi circolano sono costanti. Pertanto, ogni volta che bisogna analizzare il funzionamento in regime stazionario di un circuito dinamico, è possibile considerare il circuito resistivo equivalente Neq ottenuto sostituendo nel circuito N a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito. Il circuito resistivo equivalente può essere analizzato utilizzando i metodi illustrati nel Capitolo 5. Per semplicità abbiamo considerato circuiti di soli condensatori, induttori, resistori e generatori indipendenti; queste considerazioni valgono anche quando i circuiti contengono trasformatori ideali, amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e più in generale elementi statici non lineari. In quest'ultimo caso il circuito resistivo equivalente Neq è non lineare. (a) (b) Procedura per la soluzione di un circuito in regime stazionario Si sostituisca a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito. Si risolva la rete di resistori, circuiti aperti, corto circuiti e generatori così ottenuta. Esempio Si consideri il circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo descritto in figura a. Esso è in regime stazionario. Determinare le correnti I L e I che circolano, rispettivamente, nell'induttore L 1 e nel resistore R e la tensione V c del condensatore. I dati del problema sono

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 87 E = 10 R = R 1 = 4 R = 6 L = 1 µh L 1 = 10 µh C = 50 µf. Il circuito resistivo equivalente è rappresentato in figura b. Questo circuito è stato ottenuto sostituendo al posto dei due induttori un corto circuito e al posto del condensatore un circuito aperto. La soluzione del circuito resistivo equivalente può essere ottenuta utilizzando le regole dei partitori e delle equivalenze. Operando in questo modo si ottiene I L = 5 7 I =100 91 e V c = 4 4. La soluzione stazionaria è indipendente dai valori delle induttanze e delle capacità! Figura Circuito in regime stazionario (a) e circuito resistivo equivalente (b). 8. Circuiti in regime sinusoidale: i fasori Si consideri, ora, un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N, pilotato da soli generatori sinusoidali, tutti con pulsazione ω (ossia con frequenza f = ω / π ), e si supponga che esso sia in regime sinusoidale, quindi tutte le tensioni e tutte le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo con la stessa pulsazione dei generatori (il transitorio si è estinto). Il resto di questo Capitolo è dedicato allo studio dei circuiti in regime sinusoidale. In un circuito in regime sinusoidale ogni corrente e ogni tensione è una funzione sinusoidale del tempo, cioè del tipo a(t) = A m cos(ωt + φ), (6) dove l'ampiezza A m, la fase φ e la pulsazione ω sono costanti reali (la fase dipende dal riferimento scelto per la coordinata temporale). L'ampiezza A m è assunta positiva. É possibile cambiare il segno della a(t) attraverso la fase φ; è immediato verificare che A m cos(ωt + φ + π) = a(t). (7) Per φ = π / la (6) diventa la funzione A m sin(ωt); in generale si ha: A m sin(ωt + ϕ) = A m cos(ωt + ϕ π / ). (8) La pulsazione ω è misurata nel Sistema Internazionale in rad/s e la frequenza f in Hz (hertz): 1Hz=1/(1s). La funzione (6) è una funzione periodica con periodo T = π / ω (9) (è immediato verificare che a(t + T) = A m cos[ω(t + T) + φ] = A m cos(ωt + φ) = a(t)).

88 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica Una volta che è stata fissata la pulsazione ω (che è imposta dai generatori), ogni tensione e ogni corrente sinusoidale è caratterizzata da due e solo due grandezze, l'ampiezza A m e la fase φ. Per questo motivo alla funzione sinusoidale (6) è possibile associare il numero complesso A (per un breve richiamo sui numeri complessi vedi Appendice E), detto fasore rappresentativo della funzione sinusoidale a = a(t), secondo la regola: A A m e i φ. (10) Il punto cruciale è che questa regola produce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione ω {a(t) = A m cos(ωt + φ) } 1 definite dalla (6) e l'insieme dei fasori rappresentativi {A = A m e iφ } definiti dalla (10). La sinusoide specificata dalla a(t) definisce univocamente il fasore rappresentativo A ; d'altra parte il fasore A identifica univocamente la funzione sinusoidale a(t) tramite la formula: a(t) = Re{A e iωt } = Re{A m e i (ωt+φ) } = A m cos(ωt + φ). (11) Questa corrispondenza biunivoca può essere illustrata attraverso l'espressione {a(t) = A m cos(ωt + φ)} { A = A m e i φ }. (1) Tutte le correnti e tensioni di un circuito in regime sinusoidale possono essere rappresentate tramite i fasori. Si dimostrerà che l'analisi del circuito si può, allora, ricondurre alla risoluzione di sole equazioni algebriche lineari (e non più equazioni algebriche e differenziali lineari), a coefficienti complessi in cui le incognite sono i fasori rappresentativi (quindi numeri complessi e non funzioni del tempo). Una volta determinati i fasori rappresentativi, attraverso la (1) si ricostruiscono le funzioni sinusoidali nel dominio del tempo che descrivono l'andamento delle correnti e delle tensioni. Questo è il metodo dei fasori detto, anche, metodo simbolico. Il metodo dei fasori si basa sulle seguenti proprietà. 1. Proprietà di unicità Due funzioni sinusoidali a(t ) = A m cos(ωt + φ), b(t) = B m cos(ωt + ϕ) sono uguali se e solo se sono uguali i relativi fasori rappresentativi A = A m e i φ, B = B m e iϕ, a(t) = b(t) A = B. (13) Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la regola che associa alla funzione sinusoidale il fasore rappresentativo dà luogo a una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali a pulsazione ω e l'insieme dei numeri complessi.. Proprietà di linearità Il fasore C che rappresenta la combinazione lineare c(t) = αa(t) + βb(t) (14) 1 Qui il simbolo { } indica un insieme.

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 89 delle funzioni sinusoidali a(t) = A m cos(ωt + φ) e b(t) = B m cos(ωt + ϕ), dove α e β sono coefficienti costanti reali, è uguale alla stessa combinazione lineare C = α A + βb dei fasori A = A m e i φ e B = B m e iϕ che rappresentano le rispettive funzioni sinusoidali. (15) Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che Re{α 1 A 1 +α A } = α 1 Re{ A 1 }+ α Re{ A } se α 1 e α sono numeri reali. Una corrispondenza biunivoca, per la quale vale la proprietà di linearità, prende il nome di isomorfismo lineare. 3. Regola di derivazione A = A m e i φ è il fasore rappresentativo della funzione sinusoidale a(t) = A m cos(ωt + φ) se e solo se B = iω A = ω A m e i(φ+ π/) (16) è il fasore rappresentativo della derivata prima di a(t), b(t) = da dt = d dt [A m cos(ωt + φ)]. (17) Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che d dt [ A m cos(ωt + φ)] = ω A m sin(ωt + φ) = ω A m cos(ωt + φ + π / ). (18) 8.3 Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in regime sinusoidale, con n nodi e b lati. Volendo studiare il suo funzionamento si considerino, in primo luogo, le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff. Esse sono: h (±)i h (t) = 0 per ogni nodo, oppure A a i(t) = 0, (19) k (±)v k (t) = 0 per ogni maglia, oppure B a v(t) = 0; (0) A a è la matrice di incidenza, B a è una matrice di maglia, i = (i 1,...,i b ) T delle correnti del circuito e v = (v 1,..., v b ) T le tensioni sono funzioni sinusoidali del tempo Siano (h =1,,...,b ) è il vettore rappresentativo è il vettore rappresentativo delle tensioni. Le correnti e i h (t) = I mh cos(ωt + φ h ) h = 1,,..., b, (1) v h (t ) = V mh cos(ωt + ϕ h ) h =1,,..., b. () I h = I mh e iφ h, (3) V h = V mh e i ϕ h, (4)

90 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni, rispettivamente (essi sono le correnti e le tensioni del circuito nel dominio simbolico). Utilizzando la proprietà di linearità, dalle (19) e (0) si ottengono le equazioni: I = (I 1,...,I b ) T V = (V 1,...,V b ) T h (±) I h = 0 per ogni nodo, oppure A I = 0, (5) k (±)V k = 0 per ogni maglia, oppure B V = 0; (6) è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle correnti e è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle tensioni. Pertanto i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni verificano le leggi di Kirchhoff. Il modulo e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della corrente sono omogenei dimensionalmente a una corrente e quindi si misurano in ampere; il modulo e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della tensione sono omogenei dimensionalmente a una tensione e quindi si misurano in volt. È evidente che, l'insieme dei fasori delle correnti I 1,..., I b (delle tensioni V 1,...,V b ), verifica le equazioni di Kirchhoff per le correnti (5) (le equazioni di Kirchhoff per le tensioni (6)), perché l'insieme delle correnti i 1 (t),...,i b (t), (delle tensioni v 1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di Kirchhoff (0), (la seconda legge di Kirchhoff (1)). Per la proprietà di unicità si ha che, le correnti i 1 (t),...,i b (t), (le tensioni v 1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di Kirchhoff (0), (la seconda legge di Kirchhoff (1)), se l'insieme dei fasori delle correnti I 1,..., I b, (delle tensioni V 1,...,V b ), verifica l'equazione di Kirchhoff per le correnti (5), (l'equazione di Kirchhoff per le tensioni (6)). Si considerino ora le equazioni costitutive degli elementi costituenti il circuito. Per semplicità si assuma che il circuito sia costituito solo da bipoli; ovviamente il metodo fasoriale vale anche se nel circuito ci sono elementi lineari a più terminali, come i trasformatori ideali, i generatori controllati, gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori e gli induttori accoppiati. Le equazioni costitutive dei bipoli lineari e tempo-invarianti sono: v k (t) Ri k (t) = 0 resistori, C dv k dt i k (t) = 0 v k (t) L di k dt condensatori, = 0 induttori, (7) e quelle dei generatori indipendenti sono: v k (t) = E mk cos(ωt + α k ) i h (t) = J mh cos(ωt +β h ) generatore ideale di tensione sinusoidale, generatore ideale di corrente sinusoidale. (8) Applicando le proprietà dei fasori, dalle (7) e (8) si ottengono ulteriori equazioni (tante quanti sono i bipoli) per i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni. Per i bipoli lineari e tempoinvarianti esse sono

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 91 V k R I k = 0 resistori, i ωcv k I k = 0 condensatori, V k i ωl I k = 0 induttori, (9) e per i generatori indipendenti esse sono V k = E = E mk e iα k I h = J = J mh e iβ h generatore ideale di tensione simbolico, generatore ideale di corrente simbolico. (30) Per converso, le (9) e (30) implicano, grazie alla proprietà di unicità e alla regola di derivazione, rispettivamente, le (7) e (8). A questo punto possiamo riassumere attraverso il quadro descritto in Tabella I. In questa tabella sono riportate le equazioni circuitali nel dominio del tempo e nel dominio simbolico. Il simbolo sta a indicare che le equazioni nel dominio del tempo implicano quelle nel dominio simbolico e viceversa. Tabella I Formulazione delle equazioni di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in regime sinusoidale tramite i fasori. dominio del tempo i(t) = (i 1 (t),...,i b (t)) T v(t) = (v 1 (t ),...,v b (t)) T A i(t) = 0 Bv(t) = 0 v k R k i k = 0 C k dv k / dt i k = 0 v k L k di k / dt = 0 v k = e k (t) = E mk cos(ωt + α k ) i h = j h (t) = J mh cos(ωt +β h ) equazioni di Kirchhoff equazioni caratteristiche bipoli lineari tempo-invarianti equazioni caratteristiche generatori ideali dominio simbolico I = (I 1,...,I b ) T V = (V 1,...,V b ) T A I = 0 BV = 0 V k R k I k = 0 (i ωc k )V k I k = 0 V k (i ωl k )I k = 0 V k = E k = E mk e iα k I h = J h = J mh e iβ h Le equazioni circuitali corrispondenti nel dominio dei fasori sono lineari e algebriche. È evidente, allora, che conviene trasformare le equazioni circuitali del dominio del tempo nelle corrispondenti del dominio simbolico, risolvere le equazioni algebriche del dominio simbolico e ricostruire, quindi, la soluzione nel dominio del tempo attraverso la (1). La proprietà di unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema originale.

9 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 8.3.1 Circuito di impedenze Le equazioni circuitali nel dominio simbolico di un circuito in regime sinusoidale sono analoghe a quelle di un circuito resistivo lineare. Si osservi che, le equazioni caratteristiche dei bipoli lineari nel dominio simbolico sono tutte dello stesso tipo, cioè sono tutte riconducibili alla forma V = Ý Z I, (30) dove la grandezza Ý Z è indipendente dal fasore della corrente e dal fasore della tensione, e vale Ý Z = R per il resistore di resistenza R, 1 per il condensatore di capacità C, iωc iωl per l' induttore di induttanza L; Z Ý prende il nome di operatore di impedenza o semplicemente impedenza del bipolo corrispondente, (Tabella II). L inverso dell impedenza Y Ý =1 / Z Ý prende il nome di ammettenza del bipolo. Si noti che il valore dell impedenza, e quindi anche dell ammettenza, dipende, in generale, dal valore della pulsazione ω. Tabella II Impedenze dei bipoli lineari tempo invarianti elementari. (31) In generale l impedenza Ý Z di un bipolo lineare e tempo-invariante funzionante in regime sinusoidale è il rapporto tra il fasore rappresentativo della tensione e il fasore rappresentativo della corrente (con la convenzione dell'utilizzatore), Z Ý = V I. (3) Per la linearità l'impedenza Z Ý è indipendente sia dal fasore della tensione che da quello della corrente. L'impedenza è, in generale, un numero complesso: la parte reale e la parte immaginaria, e

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 93 quindi anche il modulo, sono omogenei dimensionalmente con una resistenza e quindi si misurano in ohm. Osservazione I fasori sono numeri complessi che rappresentano correnti e tensioni sinusoidali con una pulsazione assegnata. Le impedenze, invece, sono numeri complessi che rappresentano le relazioni tra le correnti e le tensioni dei bipoli quando esse variano nel tempo con legge sinusoidale alla pulsazione ω. Per questa ragione all'impedenza si dà anche il nome di operatore di impedenza. Le equazioni circuitali nel dominio simbolico possono essere interpretate come le equazioni di un circuito ausiliario di natura simbolica così definito: il grafo del circuito simbolico coincide con il grafo del circuito in regime sinusoidale in esame; a ogni bipolo lineare corrisponde un bipolo simbolico con impedenza corrispondente definita in base alle (31); a ogni generatore di tensione indipendente sinusoidale con tensione e k (t) corrisponde un generatore di tensione simbolico indipendente, con fasore E k, e a ogni generatore di corrente indipendente sinusoidale con corrente j k (t) corrisponde un generatore di corrente simbolico indipendente, con fasore J h. Il circuito simbolico così definito prende il nome di rete di impedenze, (Tabella III). Esso può essere inteso come il corrispondente nel dominio simbolico del circuito in regime sinusoidale in esame nel dominio del tempo. Il modello matematico delle reti di impedenze è analogo a quello delle reti di soli elementi statici lineari e generatori indipendenti, quindi possono essere risolte utilizzando le metodologie descritte nel Capitolo 5. Tabella III Rete di impedenze. A I = 0 BV = 0 V k Ý Z k I k = 0 V k = E k I h = J h equazioni di Kirchhoff equazioni caratteristiche impedenze operatoriali equazioni caratteristiche generatori indipendenti R resistore Z Ý k (iω) = 1 / (i ωc) condensatore i ωl induttore

94 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica Procedura per la soluzione di un circuito Nω in regime sinusoidale (a) si costruisca la rete di impedenze corrispondente; (b) si risolva la rete di impedenze : siano I k, V k k = 1,,..., b i fasori delle correnti e (c) delle tensioni; la soluzione della rete Nω in regime sinusoidale è data nel dominio del tempo da i k (t) = Re{I k e i ωt }, v k (t ) = Re{V k e i ωt } k = 1,,..., b. Se nel circuito in regime sinusoidale ci sono anche elementi lineari a più terminali, come i trasformatori ideali, i generatori controllati, gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori e gli induttori accoppiati, il metodo, che è stato appena illustrato, resta ancora valido. Le equazioni caratteristiche nel dominio simbolico degli elementi statici sono le stesse del dominio del tempo. Le equazioni caratteristiche degli elementi dinamici bisogna ricavarle applicando la regola della derivazione. Ad esempio, le equazioni caratteristiche nel dominio simbolico del doppio bipolo che descrive due circuiti accoppiati (trasformatore) sono: V 1 = i ωl 1 I 1 + iωmi V 1 = i ωm I 1 +i ωl I (33) dove L 1, L e M sono, rispettivamente, i coefficienti di autoinduzione del circuito 1, del circuito e il coefficiente di mutua induzione. Ora illustreremo questa procedura attraverso un esempio. Esempio Si consideri il circuito in regime sinusoidale rappresentato in figura 3a. Applicheremo il metodo simbolico per determinare la corrente i L (t) che circola nell'induttore. I dati del problema sono j(t) = sin(1000 t), R =, L = mh, C = 0.5 mf. La pulsazione ω della corrente j(t) del generatore di corrente è 1000, l'ampiezza massima della corrente è, e la fase è uguale a π / (perché j(t) = sin(1000 t) = cos(1000 t π / )). Figura 3 Rete in regime sinusoidale (a) e rete di impedenze corrispondente (b). Si costruisca la rete di impedenze corrispondente (figura 3b), operando nel seguente modo: (i) (ii) ha lo stesso grafo orientato della rete in esame; ad ogni bipolo lineare della rete in regime sinusoidale corrisponde una impedenza secondo la tabella II;

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 95 (iii) al generatore indipendente di corrente corrisponde il generatore simbolico di corrente caratterizzato dal fasore rappresentativo della corrente. Il fasore J rappresentativo della j(t) è J = e i π/ = i. Le impedenze Z Ý R, Z Ý L, Z Ý C, rappresentative, rispettivamente, del resistore, dell'induttore e del condensatore sono date da Z Ý R =, Z Ý L = i, Z Ý C = 4i. Dopo avere costruito la rete di impedenze, bisogna risolverla. Siccome interessa calcolare la corrente i L (t) nell'induttore, basta determinare la corrente simbolica I L che circola nell'impedenza Ý Z L. La rete di impedenze è descritta da un modello matematico identico a quello delle reti di soli elementi statici lineari e generatori indipendenti. Quindi può essere risolta utilizzando le stesse metodologie. Siccome le tre impedenze Z Ý R, Z Ý L, Z Ý C sono in parallelo con il generatore di corrente simbolico J, la corrente I L può essere determinata applicando la regola del partitore di corrente al circuito simbolico. Operando in questo modo si ottiene Z Ý eq I L = J Z Ý eq + Z Ý, (34) L dove Z Ý eq è l'impedenza equivalente del parallelo costituito da Z Ý R e Z Ý C e vale Z Ý Z eq = Ý Ý R Z C Z Ý R + Z Ý = 8i C 4i = 8 4i = 4 5 5 e i arctan(0.5). (35) Pertanto si ha (tutte i calcoli sono stati svolti troncando dopo le prime due cifre significative) I L = J Z Ý eq Z Ý eq + Z Ý = i 1.79e i0.46 L 8 4i + i 5 i.03 3.58e = e i 0.64 =1.79e i.67. (36) Dopo avere risolto il circuito di impedenze (in questo caso è stato calcolato il fasore rappresentativo della corrente i L (t)) bisogna costruire la funzione reale corrispondente nel dominio del tempo attraverso la (1). La proprietà di unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema originale. Applicando la (1) si ottiene la corrente i L (t) nel dominio del tempo I L = 1.79e i.67 i L (t) = 1.79cos(1000t.67). (37) Operando in questo modo è possibile determinare tutte le altre grandezze. Il lettore determini la corrente nel resistore e la tensione sul condensatore. 8.4 Proprietà delle reti di impedenze Il modello matematico di un circuito di impedenze, corrispondente a un circuito in regime sinusoidale Nω, è lo stesso modello che descrive un circuito resistivo lineare (in esso non vi sono operazioni di derivazione). Pertanto per le reti di impedenze valgono molte proprietà illustrate per le reti resistive lineari (teorema di Tellegen, sovrapposizione degli effetti, teorema di Thevénin-Norton,

96 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica teorema della reciprocità). Inoltre sono estensibili i concetti di equivalenza, e le regole del partitore di corrente e di tensione e il concetto di N-polo e M-porte con le relative matrici di rappresentazione e alcune proprietà. 8.4.1 Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia L'insieme dei fasori rappresentativi delle tensioni verifica le equazioni di Kirchhoff per le tensioni, e quindi è possibile rappresentare il fasore corrispondente alla tensione del generico lato (bipolo o porta) come differenza dei fasori rappresentativi dei potenziali dei due nodi a cui il lato è connesso, V q = E r E s. Pertanto si ha BV = 0 V = A T E, (38) dove E è il vettore colonna complesso (E 1, E,..., E n 1 ) T potenziale del k-esimo nodo (n sono i nodi del circuito e si è posto E n = 0 ). ed E k è il fasore rappresentativo del L'insieme dei fasori rappresentativi delle correnti verifica le equazioni di Kirchhoff per le correnti, e quindi è possibile rappresentare il fasore della corrente del generico lato (bipolo o porta) come somma algebrica dei fasori rappresentativi delle correnti di maglia che circolano in quel lato, I k = (±) J h. Pertanto si ha h A I = 0 I = B T J, (39) dove J è il vettore colonna complesso (J 1, J,..., J b (n 1) ) T ed J k è il fasore rappresentativo della corrente di maglia della k-esima maglia fondamentale (le maglie fondamentali sono b-(n-1)). 8.4. Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenze elettriche complesse Si considerino due reti di impedenze e che hanno lo stesso grafo orientato. Sia I 1,..., I b l'insieme dei fasori delle correnti della rete e V 1,..., V b l'insieme dei fasori delle tensioni della rete. Si definisce la potenza virtuale complessa S k assorbita dal k-esimo lato come S k 1 V k I k ; (40) è possibile definire anche altre potenze virtuali complesse, come, ad esempio, V k I k, come poi vedremo, ma quella definita attraverso la (40) è quella che ha un significato fisico. Il simbolo I indica che si considera il numero complesso coniugato del numero complesso I = a + i b = I m e i φ, allora I = a i b = I m e i φ (vedi Appendice E). I : se Teorema di Tellegen La somma delle potenze virtuali complesse assorbite da un circuito è uguale a zero,

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 97 b S k k=1 = b 1 V k I k = 0. (41) k=1 Per dimostrare la (41) basta osservare che anche i fasori I k (k=1,,..., b), complessi coniugati dei fasori I k delle correnti, verificano le equazioni di Kirchhoff per le correnti, cioè ( ± )I k = 0 ( ± )I k = 0 oppure A I = 0 A I = 0. (4) k k Se le due reti di impedenze e sono identiche, cioè esse hanno le stesse impedenze e gli stessi generatori e gli elementi sono collegati allo stesso modo, gli insiemi dei fasori delle correnti I 1,..., I b e delle tensioni V 1,..., V b appartengono allo stesso circuito Nω. In questo caso al prodotto definito dalla (40) si dà il nome di potenza elettrica complessa assorbita dall'elemento e si indica con P k 1 V k I k. (43) (Abbiamo eliminato e perché non c'è più bisogno di distinguere tra i due circuiti). In seguito discuteremo il significato della potenza elettrica complessa (43). La potenza complessa in una rete di impedenze si conserva. Teorema della conservazione delle potenze elettriche complesse La somma delle potenze elettriche complesse assorbite dagli elementi di una rete di impedenze è uguale a zero, b P k k=1 b 1 = k=1 V k I k = 0. (44) 8.4.3 Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore di tensione, partitore di corrente. La proprietà della sovrapposizione degli effetti vale per le reti di impedenze, perché il modello matematico che le descrive è costituito da sole equazioni lineari. Se una rete di impedenze con più generatori indipendenti ammette una e una sola soluzione, i fasori delle correnti e delle tensioni sono uguali alla somma dei fasori dovuti a ciascun generatore indipendente agente da solo. Il concetto di equivalenza introdotto per le reti resistive può essere esteso alle reti di impedenze senza nessuna limitazione. - Equivalenza serie Le due impedenze Ý Z 1 e Ý Z siano collegate in serie, (figura 4). Il bipolo simbolico di impedenza Z Ý eq = Z Ý 1 + Z Ý, (45) è equivalente alla serie delle impedenze Ý Z 1 e Ý Z.

98 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica Figura 4 Serie di impedenze. - Partitore di tensione Sia V il fasore della tensione sulla serie delle due impedenze Z Ý 1 e Z Ý (figura 4). Il fasore delle tensione V 1 del bipolo di impedenza Z Ý 1 e il fasore della tensione V del bipolo di impedenza Z Ý sono (i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli di figura 4) V 1 = V - Equivalenza parallelo Ý Z 1 Z Ý 1 + Z Ý, V = V Ý Z Z Ý 1 + Z Ý. (46) Le due impedenze Ý Z 1 e Ý Z siano collegate in parallelo, (figura 5). Il bipolo simbolico di impedenza Ý Z eq = ovvero di ammettenza Z Ý Ý 1 Z Z Ý 1 + Z Ý, (47) Y Ý eq = Y Ý 1 + Y Ý, (48) è equivalente al parallelo delle impedenze Ý Z 1 e Ý Z, dove Ý Y 1 = 1/ Ý Z 1, Ý Y =1 / Ý Z. Figura 5 Parallelo tra due impedenze. - Partitore di corrente Sia I il fasore della corrente che circola nel parallelo delle due impedenze Ý Z 1 e Ý Z (figura 5). Il fasore della corrente I 1 del bipolo di impedenza Ý Z 1 e il fasore della corrente I del bipolo di impedenza Ý Z sono (i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli di figura 5)

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 99 I 1 = I Ý Z Z Ý 1 + Z Ý, I = I Ý Z 1 Z Ý 1 + Z Ý. (49) I casi in cui ci sono serie e paralleli che contengono anche generatori indipendenti si trattano allo stesso modo di quelli considerati nel Capitolo 6. Inoltre è possibile trasformare qualsiasi triangolo di sole impedenze in una stella equivalente e viceversa, utilizzando le formule introdotte per i resistori nel Capitolo 5. 8.4.4 Bipolo di impedenze Si consideri un bipolo composto da sole impedenze (non ci sono generatori indipendenti), (figura 6). La relazione tra il fasore della tensione V e il fasore della corrente I è lineare, dove V = Ý Z eq I ovvero I = Ý Y eq V, (50) Y Ý eq = 1/ Z Ý eq. Per la linearità l'impedenza equivalente Ý Z eq è un numero complesso indipendente sia da V che da I : Ý Z eq dipende solo dalle impedenze che costituiscono come sono connesse tra loro. Pertanto un qualsiasi bipolo costituito da sole impedenze può essere rappresentato da un solo bipolo equivalente di impedenza Z Ý eq. e da Figura 6 Bipolo di impedenze Per ottenere le impedenze di bipoli costituiti da elementi circuitali elementari, spesso è sufficiente applicare le regole del parallelo, della serie e le trasformazioni stella-triangolo. Esempio Si consideri il bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un induttore di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in serie (bipolo RLC serie), (figura 7a). Figura 7 Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b). L'impedenza Ý Z s del bipolo è Ý Z s = R + i[ωl 1/ (ωc)]. (51)

300 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica La parte reale di Ý Z s è maggiore di zero se R>0, mentre la parte immaginaria cambia segno al variare della pulsazione ω. L'ammettenza Ý Y p di un bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un induttore di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in parallelo (bipolo RLC parallelo, figura 7b), è Ý Y p = 1/ R + i[ωc 1 / (ωl)], (5) e l'impedenza è Ý Z p = 1 / Ý Y p. La parte reale di Ý Y p è maggiore di zero se R>0, mentre la parte immaginaria cambia segno al variare della pulsazione ω. Il lettore verifichi che anche la parte reale di Ý Z p è maggiore di zero se R>0. In generale l'operatore di impedenza Ý Z corrispondente a un bipolo lineare in regime sinusoidale è rappresentato da un numero complesso con parte reale e parte immaginaria diverse da zero, Ý Z = R + ix. (53) Alla parte reale R si dà il nome di resistenza e alla parte immaginaria X il nome di reattanza. L'impedenza del resistore ha solo parte reale diversa da zero ed è uguale alla resistenza del resistore, mentre quelle del condensatore e dell'induttore hanno solo parte immaginaria diversa da zero. La reattanza del condensatore è data da X c = 1 ωc, (54) ed è negativa se la capacità è positiva (con la convenzione dell'utilizzatore), e la reattanza dell'induttore è data da X L = ωl, (55) ed è positiva se l'induttanza è positiva (sempre con la convenzione dell'utilizzatore). La reattanza di un generico bipolo si dice di tipo induttivo se X è maggiore di zero, e di tipo capacitivo se X è minore di zero. Poi verificheremo che la parte reale dell'impedenza di un bipolo costituito da resistori, induttori e condensatori passivi è sempre positiva, se si adotta la convenzione dell'utilizzatore. 8.4.5 Generatore equivalente di Thévenin-Norton Si consideri, ora, un bipolo composto da impedenze e generatori indipendenti, (figura 8). Si assuma che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo a un generatore ideale di corrente (è sempre un generatore simbolico) ammetta una e una sola soluzione. Allora può essere rappresentato attraverso il generatore equivalente di tensione (generatore equivalente di Thévenin, figura 8)

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 301 Figura 8 V = Ý Z eq I + E 0, (56) dove: Ý Z eq, detta impedenza equivalente di Thévenin, è l'impedenza equivalente del bipolo avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso; E 0, detto fasore della tensione a vuoto, è la tensione fra i terminali 1 e di dopo quando esso è collegato a un circuito aperto. Si assuma, ora, che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo a un generatore ideale di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora può essere rappresentato attraverso il generatore equivalente di corrente (generatore equivalente di Norton, figura 9) Figura 9 I = Ý Y eq V + J 0, (57) dove: Ý Y eq, detta ammettenza equivalente di Norton, è l'ammettenza equivalente del bipolo, dopo avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso; J 0, detto fasore della corrente di corto circuito, è il fasore della corrente del bipolo quando esso è collegato a un corto circuito. Quando Ý Z eq 0 e Ý Y eq 0 si ha Ý Z eq =1 / Ý Y eq e J 0 = E 0 / Ý Z eq, e quindi la caratterizzazione secondo Thévenin è completamente equivalente a quella secondo Norton. Esempio Si consideri il circuito in regime sinusoidale illustrato in figura 10a. I parametri del circuito sono e(t ) = 10cos(100t + π / 4), L = 10mH, C =10mF, R =1. Determinare la corrente i(t) nel resistore utilizzando il teorema di Thévenin. In figura 10b è rappresentato il circuito di impedenze corrispondente e in figura 11 è rappresentato il circuito equivalente di Thévenin. Bisogna determinare la tensione a vuoto, cioè la tensione tra i

30 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica nodi 1 e dopo che è stato sconnesso il resistore e l'impedenza equivalente dopo avere spento il generatore di tensione. La tensione a vuoto E (vedi circuito figura 10c) è E = 10(1 i) =10 e iπ /4, (58) e l'impedenza equivalente è (vedi circuito figura 10d) Ý Z = i+ i 1 i i i+ i = 1 i + i Pertanto la corrente I vale I = i i E R + Z Ý = 10 e i π/4 1+ 1+ i quindi i(t ) = 5 sin(100t). = 1+ i. (59) = 5 e i π/, (60) Figura 10 Circuito in esame e circuito nel dominio simbolico. Figura 11 Circuito equivalente di Thévenin. 8.4.6 Proprietà della reciprocità e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 303 Per una rete di impedenze corrispondente ad un circuito in regime sinusoidale costituito da resistori, induttori, condensatori e trasformatori valgono le tre forme della proprietà di reciprocità illustrate nel Capitolo 5 per i circuiti resistivi lineari. Le relazioni (4), (46) e (47) del Capitolo 5 valgono per i fasori rappresentativi delle corrispondenti grandezze sinusoidali. Questa proprietà continua a non valere se la rete contiene elementi non reciproci come il giratore, l'amplificatore operazionale, i generatori controllati. Si consideri, ora, un doppio bipolo di impedenze, cioè una rete di sole impedenze con quattro terminali, associati a due a due, in modo tale da costituire due porte. Si assuma che il doppio bipolo possa essere caratterizzato su base corrente. La relazione tra la coppia dei fasori delle tensioni di porta V 1, V e la coppia dei fasori delle correnti di porta I 1, I è V 1 = Ý Z 11 I 1 + Ý Z 1 I, V = Ý Z 1 I 1 + Ý Z I, dove Ý Z hk, h=1, e k=1,, sono operatori di impedenza, in generale complessi, indipendenti dai fasori delle tensioni e delle correnti. Essi sono gli elementi della matrice delle impedenze del doppio bipolo. Se il doppio bipolo è caratterizzato su base tensione, il legame tra i fasori delle correnti e delle tensioni di porta è descritto dalla matrice delle ammettenze Ý Y ij, (61) I 1 = Ý Y 11 V 1 + Ý Y 1 V, I = Ý Y 1 V 1 + Ý Y V. (6) In generale è possibile caratterizzare un M-porte e un N-polo di impedenze così come si caratterizzano un M-porte e un N-polo di resistori lineari. Proprietà della matrice delle impedenze e delle ammettenze (i) La matrice delle impedenze (ammettenze), se è invertibile, è l'inversa della matrice delle ammettenze (impedenze). Se si escludono casi molto particolari, privi di importanza, le matrici delle impedenze e delle ammettenze sono sempre invertibili. (ii) Le matrici delle impedenze e delle ammettenze sono simmetriche se il circuito di impedenze contiene elementi simbolici reciproci. Questa proprietà è diretta conseguenza della proprietà della reciprocità. (iii) Non c'è nessuna relazione tra gli elementi appartenenti alla diagonale principale e gli elementi fuori diagonale perché per le reti di impedenze, in generale, non vale nessuna proprietà di non amplificazione. 8.4.7 Diagrammi fasoriali Alla funzione sinusoidale a(t) = A m cos(ωt + ϕ) è associato il fasore rappresentativo A = A m e iϕ = a+ ib. È possibile rappresentare il numero complesso A nel piano complesso (piano di Gauss) come un vettore congiungente l'origine con il punto di coordinate rettangolari (a,b) o coordinate polari (A m,ϕ), (figura 1).

304 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica Le equazioni di Kirchhoff per i fasori delle correnti e delle tensioni e le equazioni di lato possono essere rappresentate graficamente tracciando i vettori corrispondenti ai fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni. In figura 13 sono rappresentati i diagrammi fasoriali per la tensione e la corrente di un resistore, un induttore e un condensatore. Figura 1 Rappresentazione grafica del fasore A rappresentativo della funzione sinusoidale a(t). Figura 13 Rappresentazione delle caratteristiche del resistore, induttore e condensatore tramite i diagrammi fasoriali. 8.5 Potenza ed energia in regime sinusoidale Si consideri una rete N ω in regime sinusoidale. La potenza elettrica istantanea assorbita dal generico bipolo della rete è p(t) = i(t)v(t) = I m V m cos(ωt + α)cos(ωt + β); (63) la corrente e la tensione del bipolo sono i(t ) = I m cos(ωt + α), v(t) = V m cos(ωt +β), rispettivamente, e i loro riferimenti per i versi sono scelti in accordo alla convenzione dell'utilizzatore. Applicando l'identità cos xcos y = cos(x + y) + cos(x y) si ottiene: p(t) = 1 I m V m cos(α β) + 1 I m V m cos(ωt + α +β). (64) La potenza elettrica istantanea assorbita da un generico bipolo di una rete in regime sinusoidale è la somma di un termine sinusoidale a pulsazione ω e un termine costante, quindi è una funzione periodica di periodo T/ (oscilla due volte nel periodo T=π/ω). La potenza media in un periodo T (il valore medio della p(t) su un periodo T), è data da T P m = 1 T p(τ)dτ = 1 I mv m cos(α β). (65) 0

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 305 Essa è uguale al termine costante dell'espressione (64). Il valore medio del termine fluttuante della potenza istantanea è uguale a zero perché esso è una funzione sinusoidale di periodo T/. L'energia assorbita dal bipolo in regime sinusoidale nell'intervallo di tempo (0,ˆ t ) può essere espressa attraverso la relazione w(0,ˆ t ) = ˆ t p(τ)dτ = (n T) P m + p(τ)dτ, (66) 0 ˆ t nt dove il numero intero n è tale che ˆ t = nt + t, con t < T (esso rappresenta il numero di periodi T contenuti nell'intervallo di tempo (0,ˆ t )). Se n >> 1 il contributo all'energia assorbita nell'intervallo di tempo (0,ˆ t ) dovuto al termine fluttuante della potenza istantanea può essere trascurabile rispetto a quello dovuto al termine costante. In questi casi si ha Osservazione w(0,ˆ t ) (n T)P m ˆ t P m. (67) La potenza media dipende non solo dalle ampiezze massime delle sinusoidi v( ) e i( ), ma anche dalle relative differenze di fase (α β) : poi verificheremo che questa differenza è indipendente sia da α che da β, dipende solo dalla costituzione fisica del bipolo e cioè dall'argomento del impedenza ad esso corrispondente. Il fattore cos(α β), detto fattore di potenza, è di estrema importanza nell'ingegneria dei sistemi di potenza che funzionano in regime sinusoidale. Ora siamo in grado di illustrare il significato fisico della potenza elettrica complessa, assorbita dal bipolo, P = 1 V I (68) introdotta nel paragrafo precedente. I fasori rappresentativi della corrente e della tensione del bipolo sono, rispettivamente, I = I m e i α, V = V m e iβ, quindi la potenza elettrica complessa assorbita è il numero complesso P = 1 I m V m ei(β α ) = 1 I m V m cos(β α) + i 1 I m V m sin(β α) = P m + iq, (70) (69) dove Q 1 I m V m sin(β α). (71) La parte reale della potenza complessa P è uguale alla potenza elettrica media assorbita dal bipolo, Re{P } = 1 I m V m cos(β α) = P m. (7)

306 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica La parte immaginaria di P prende il nome di potenza reattiva assorbita e si denota con la lettera Q. La potenza reattiva, a differenza della potenza media, non ha nessun significato fisico. Al modulo della potenza complessa si dà il nome di potenza apparente, A P. Per la potenza apparente si ha A = 1 V m I m = P m + Q. (73) La potenza media e la potenza reattiva assorbite da un bipolo possono essere espresse come P m = Acos(α β), (74) Q = Asin(β α). (75) L'unità di misura nel SI della potenza elettrica media è la stessa unità di misura della potenza istantanea, cioè il watt. Invece l'unità di misura della potenza reattiva è il VAr (volt-ampere reattivo) e l'unità di misura della potenza apparente è il VA (volt-ampere). Pur non avendo la potenza reattiva assorbita da un bipolo in regime sinusoidale nessun significato fisico, essa ha una proprietà molto importante. Conservazione delle potenze medie e delle potenze reattive Si consideri una rete in regime sinusoidale. La somma delle potenze elettriche medie assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero, b P m h h =1 = 0. (76) La somma delle potenze reattive assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero, b Q h h =1 = 0. (77) Queste due proprietà sono una immediata conseguenza della conservazione della potenza elettrica complessa in una rete di impedenze. Pertanto la conservazione della potenza elettrica complessa non solo dà la conservazione della potenza media, ma anche quella della potenza reattiva. Quindi se un certo elemento di una rete assorbe potenza reattiva, allora ci devono essere altri elementi del circuito che devono produrla (generatori indipendenti o altri elementi). Questo risultato è d'importanza fondamentale nell'ingegneria delle reti elettriche di potenza. La potenza apparente, essendo una grandezza definita positiva, non può verificare nessuna proprietà di conservazione. 8.5.1 Proprietà energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento - Resistore Si consideri un resistore di resistenza R percorso dalla corrente i(t ) = I m cos(ωt + α) ; il fasore rappresentativo è I = I m e iα. Dalla relazione caratteristica del resistore V = R I (convenzione dell'utilizzatore), si ha che il fasore V = V m e iβ rappresentativo della tensione è in fase con quello

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 307 della corrente I, cioè α = β, e quindi il fattore di potenza cos(β α) è uguale a 1, (figura 13). Di conseguenza la potenza complessa assorbita dal resistore ha parte immaginaria uguale a zero, e quindi la potenza reattiva è nulla. La potenza media assorbita è data da P m = V m I m = R I m essa è positiva se il bipolo è passivo. La potenza istantanea assorbita dal resistore è data da p(t) = R I m = V m R ; (78) [1 + cos(ωt + α)]; (79) essa è una funzione periodica di periodo T/ che oscilla tra 0 e R I m, ed ha quindi valore medio diverso da zero sul periodo T. - Condensatore Si consideri un condensatore di capacità C percorso dalla corrente i(t ) = I m cos(ωt + α) ; il fasore rappresentativo è I = I m e iα. Dalla relazione caratteristica del condensatore V = i X c I (convenzione dell'utilizzatore), dove X C = 1 / (ωc), si ha che il fasore V = V m e iβ rappresentativo della tensione è sfasato di 90 in ritardo rispetto al fasore della corrente I (la capacità C è maggiore di zero), cioè β = α π /, e quindi il fattore di potenza cos(β α) è uguale a 0. Di conseguenza la potenza complessa assorbita dal condensatore ha parte reale uguale a zero e quindi la potenza media assorbita dal condensatore è uguale a zero; la potenza reattiva assorbita è negativa (la reattanza del condensatore passivo è minore di zero) e vale Q C = V m I m = X c I m = V m X c. (80) La potenza istantanea assorbita dal condensatore è data da (la tensione del condensatore è v(t) = V m cos(ωt +β) ) p(t) = ωcv m cos[(ωt + β + π / 4)]; (81) essa è una funzione periodica di periodo T/, che oscilla tra 1 ωcv m e 1 ωcv m ; 1 CV m è il valore massimo dell'energia immagazzinata nel condensatore. Il valore medio su un periodo della potenza istantanea assorbita dal condensatore è nullo, come previsto, perché non c'è dissipazione di energia: il condensatore è un bipolo conservativo. - Induttore Si consideri un induttore di induttanza L percorso dalla corrente i(t ) = I m cos(ωt + α) ; il fasore rappresentativo è I = I m e iα. Dalla relazione caratteristica dell'induttore V = ix L I (convenzione dell'utilizzatore), dove X L = ωl, si ha che il fasore V = V m e iβ rappresentativo della tensione è sfasato di 90 in anticipo rispetto al fasore della corrente I (l'induttanza L è maggiore di zero), cioè

308 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica β = α + π /, e quindi il fattore di potenza cos(β α) è di nuovo uguale a 0. Di conseguenza la potenza complessa assorbita dall'induttore ha parte reale uguale a zero, come nel caso del condensatore, e quindi la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero. La potenza reattiva è positiva (la reattanza dell'induttore passivo è maggiore di zero) e vale Q L = V m I m = X L I m La potenza istantanea assorbita dall'induttore è data da p(t) = ωl I m = V m X L. (8) cos[(ωt + α + π / 4)]; (83) anch'essa è una funzione periodica di periodo T/, che oscilla tra 1 ωl I m e 1 ωl I m; 1 L I m è il massimo dell'energia immagazzinata nell'induttore. La potenza media assorbita dall'induttore calcolata su un periodo è nulla, come previsto, non essendoci dissipazione di energia: l'induttore, come il condensatore, è un bipolo conservativo. - generatori indipendenti Si consideri un generatore indipendente di tensione e(t ) = E m cos(ωt + ϕ); il fasore rappresentativo è E = E m e iϕ ed è indipendente da quello della corrente. La corrente che in esso circola dipende dal circuito a cui il generatore è connesso. Di conseguenza non è possibile dire niente circa la potenza complessa assorbita (e quindi la potenza media e la potenza reattiva), dal generatore di tensione senza specificare il circuito a cui esso è collegato. Le stesse considerazioni valgono per il generatore indipendente di corrente sinusoidale. Se i generatori erogano energia, allora la potenza media erogata è positiva. - Applicazione: rifasamento Si consideri il circuito rappresentato in figura 14a. Esso è in regime sinusoidale. Determinare la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore di tensione sinusoidale e(t ) = E m cos(ωt + ϕ). Figura 14 Circuito da rifasare (a) e circuito rifasato (b). Il fasore rappresentativo della tensione è E = E m e iϕ, mentre quello della corrente i(t ) = I m cos(ωt + α) è I = I m e iα. Siccome l'impedenza equivalente della serie costituita dal resistore e dall'induttore è Ý Z eq = R + iωl, il fasore I è dato da

Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica 309 dove I = E Z Ý = E e ig γ, (84) eq Z eq Ý Z eq = Z eq e iγ = R + iωl, Z eq = R + (ωl), γ = arctg(ωl / R). (85) Il fasore della corrente I è in ritardo di un angolo γ rispetto a quello della tensione E del generatore. La potenza complessa erogata dal generatore di tensione è P ˆ = E I = E m I m (cos γ + i sinγ ), (86) pertanto la potenza media erogata dal generatore è P ˆ m = Re{ P ˆ } = E mi m cos γ = E m cosγ, (87) Z eq e la potenza reattiva erogata è Q ˆ = Im{ P ˆ } = E m I m sin γ = E m sin γ. (88) Z eq Essendo 0 < γ < π /, la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore sono entrambe positive, cioè il generatore in questo circuito eroga potenza elettrica media e potenza reattiva. Questo risultato è in accordo con quanto si potrebbe prevedere applicando la conservazione delle potenze medie e delle potenze reattive. Siccome la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero, la potenza media che assorbe il resistore deve essere erogata necessariamente dal generatore. Inoltre, siccome la potenza reattiva assorbita dal resistore è uguale a zero, la potenza reattiva che assorbe l'induttore deve essere erogata necessariamente dal generatore. Si consideri ora il circuito di figura 14b. Esso è stato ottenuto dal circuito illustrato in figura 14a, aggiungendo un condensatore in parallelo alla serie costituita dal resistore e dall'induttore. È evidente che la corrente nella serie RL è la stessa che si ha nel circuito di figura 14a, mentre la corrente del generatore è diversa. Essa è data da 1 I g = I + I C = Z Ý + i ωc E. (89) eq Per determinare la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore per questa nuova configurazione non è necessario determinare la corrente I g del generatore. È possibile applicare direttamente la conservazione della potenza media e della potenza reattiva. Immediatamente si ha P ˆ m = E m cos γ, Z eq (90) Q ˆ 1 = sin γ ωc m Z eq. (91)

310 Giovanni Miano Lezioni di Elettrotecnica Ovviamente la potenza media erogata è uguale a quella erogata nel circuito di figura 14a, mentre la potenza reattiva è diversa a causa della potenza reattiva assorbita dal condensatore. Siccome il condensatore eroga potenza reattiva, c'è un valore di capacità, per fissata pulsazione, in corrispondenza della quale la potenza reattiva che eroga il condensatore è uguale a quella che assorbe l'induttore, e quindi la potenza reattiva erogata dal generatore è uguale a zero, pur restando inalterata la potenza media da esso erogata. Questo è il principio su cui si basa il rifasamento di un bipolo costituito da resistori e induttori. Rifasare un bipolo di tale genere significa introdurre una capacità in parallelo a esso in modo tale da ridurre la potenza reattiva erogata dal generatore e lasciare inalterata la potenza media. Il condensatore è inserito in parallelo e non in serie perché in questo modo la tensione sul bipolo da rifasare resta inalterata. La potenza apparente messa in gioco dal generatore nel circuito di figura 14b è più piccola di quella messa in gioco dallo stesso generatore nel circuito di figura 14a. Pertanto, a parità di potenza media erogata, il valore massimo della corrente del generatore è più grande nel circuito di figura 14a. Il bipolo equivalente al condensatore in parallelo alla serie RL ha un fattore di potenza più grande di quello della sola serie RL. 8.5. Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze Si consideri un bipolo lineare tempo-invariante in regime sinusoidale costituito da resistori, induttori, condensatori, trasformatori, etc ; il bipolo è, ad esempio, alimentato da un generatore indipendente di corrente sinusoidale. Siano I e V i fasori rappresentativi della corrente e della tensione, rispettivamente. L'impedenza del bipolo è Siano: Z Ý = V I. (9) P m = somma delle potenze medie assorbite dagli elementi statici Q L Q C = somma delle potenze reattive assorbite dagli induttori e dai trasformatori = somma delle potenze reattive erogate dai condensatori Si ha allora che: Z Ý = R + ix = P = P m + i(q Q ˆ L C ), (93) I m I m ovvero R = P m I, m (94) X = (Q Q ˆ L C ). I m (95) La (93) si ottiene applicando la conservazione della potenza complessa al circuito costituito dal bipolo di sole impedenze e dal generatore di tensione. La dimostrazione la si lascia al lettore. Come previsto Ý Z = P / I m, dove P è la potenza complessa totale assorbita dal bipolo: maggiore è la