Appunti di complementi di matematica

Appunti di complementi di matematica

UITA STATISTICA: è l unità su cui si raccolgono le informazioni oggetto dell indagine e possono essere individui, famiglie, oggetti. UIVERSO STATISTICO O POLAZIOE STATISTICA :insieme di tutte le unità statistiche CARATTERI STATISTICI: sono le caratteristiche dell indagine, hanno un loro modo per essere rappresentati e possono essere Quantitative se sono misurabili come peso, statura Qualitative se non sono misurabili come colore capelli, preferenze di voto

TABELLA SEPLICE è composta da due colonne una contenente la modalità del carattere e una contenente l intensità o frequenza ESEPIO In questa tabella sono riportati i redditi ( carattere statistico delle famiglie (unità statistiche di un certo rione (popolazione statistica REDDITO FREQUEZA RELATIVA Fino a 000 5 Da 000 a 4000 3 Da 4000 a 6000 5 Da 6000 a 8000 Da 8000 a 0000 73 Da 0000 5000 TOTALE 895 ella seconda tabella semplice sono riportati gli stessi dati ma invece della frequenza assoluta è f. assoluta riportata la frequenza relativa che è data da f. relativa 00 totale REDDITO FREQUEZA ASSOLUTA Fino a 000 4,0% Da 000 a 4000 35,98% Da 4000 a 6000 6,8% Da 6000 a 8000 3,63% Da 8000 a 0000 8,6% Da 0000 5000,34% TOTALE 00%

TABELLA COPOSTA è composta da più colonne nella prima vi è la modalità del carattere e nelle altre le intensità riferite a vari casi ESEPIO In questa tabella composta sono riportate le ore di studio settimanali per materia di alunni suddivisi in maschi e femmine ATERIA.ORE STUDIO ASCHI.ORE STUDIO FEIE Italiano 3 4 Storia Inglese 4 5 atematica 4 6 Fisica 3 TOTALE 4 0

TABELLA A DOPPIA ETRATA è composta da una matrice a più righe e più colonne nelle quali sono riportate modalità di carattere diverse con le relative intensità ESEPIO In questa tabella sono riportati i colori degli occhi e dei capelli(caratteri di 50 persone(popolazione CAPELLI CAPELLI CAPELLI TOTALE BIODI CASTAI ERI OCCHI 5 5 6 6 CASTAI OCCHI 3 5 5 3 VERDI OCCHI 7 0 AZZURRI OCCHI 5 4 GRIGI TOTALE 0 6 4 50 ella tabella che segue detta sono riportate le frequenze relative OCCHI CASTAI OCCHI VERDI OCCHI AZZURRI OCCHI GRIGI CAPELLI BIODI CAPELLI CASTAI CAPELLI ERI TOTALE 0% 0% % 3% 6% 0% 0% 6% 4% 4% % 0% 0% 8% 4% %

DISTRIBUZIOI STATISTICHE Una distribuzione statistica è detta semplice se è una funzione del tipo f: modalità y frequenza della modalità ed è rappresentata da una tabella semplice Una distribuzione statistica è detta congiunta se è una funzione di questo tipo f: (,y carattere carattere zfrequenza con cui si verificano e y contemporaneamente ed è rappresentata da una tabella a doppia entrata. Se in una distribuzione congiunta si fissa un carattere e si lascia variare solo l altro si ottiene una distribuzione condizionata e se si considerano solo le frequenze relative a uno solo dei caratteri si ha la distribuzione marginale Dunque in una distribuzione condizionata se si legge una sola riga o una sola colonna della tabella a doppia entrata e nella distribuzione marginale si leggono solo i margini.

IDICI STATISTICI Gli indici statistici sintetizzano in un numero alcune informazioni. Essi possono essere Indici di posizione o media che dipendono dalla posizione dei dati Indici di variabilità o di dispersione che indicano la concentrazione dei dati Esaminiamoli tutti. EDIE FERE edia aritmetica: è una media ottenuta in questo modo: supponendo di avere un numero di dati...,, 3,... si dice media aritmetica la quantità. edia ponderata : è una media in cui vengono considerati anche i pesi dei singoli dati e si ottiene in questo modo: supponendo di avere un numero di dati,, 3,... aventi rispettivamente i pesi p, p, p3,... p si dice media ponderata la quantità p p... p p p... p edia geometrica: è una media ottenuta in questo modo: supponendo di avere un numero di dati,, 3,... si dice media geometrica la quantità G..... edia armonica è una media ottenuta in questo modo: supponendo di avere un numero di dati,, 3,... si dice media armonica la quantità A... edia quadratica è una media ottenuta in questo modo: supponendo di avere un numero di dati...,, 3, si dice media quadratica la quantità Q... EDIE LASCHE oda : supponendo di avere un numero di dati,, 3,... aventi frequenze, f, f3, f si dice moda il dato che possiede una frequenza maggiore. f... ediana supponendo di avere un numero di dati...,, 3,, disposti tali dati in modo crescente si dice mediana se è dispari il valore centrale, se è pari la media aritmetica dei due valori centrali.

IDICI DI VARIABILITA Varianza : supponendo di avere un numero di dati...,,, 3 e detta la media aritmetica, si chiama varianza la quantità...( ( ( σ Deviazione standard o scarto quadratico medio: supponendo di avere un numero di dati...,,, 3 e detta la media aritmetica si definisce deviazione standard o scarto quadratico medio la quantità σ σ...( ( ( Per evitare calcoli laboriosi ricaviamo una formula per il calcolo della varianza e dello scarto quadratico medio: ( (......... X X σ e pertanto ( X σ σ

ESEPIO Riportiamo in questa tabella i voti in matematica di 0 studenti di una classe. La popolazione è la classe, l unita statistica è il singolo allievo e il carattere è il voto riportato in matematica. Sintetizziamo ciò in una tabella VOTO. STUDETI 3 4 5 6 5 7 6 8 3 9 TOTALE 0 Calcoliamo la media aritmetica 3 4 4 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 6. 3 0 Calcoliamo la moda: notiamo che il valore che si presenta con maggiore frequenza è 7 Calcoliamo la mediana ordinando i voti in senso crescente 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 4 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 Il numero di dati è pari per cui occorre calcolare la media aritmetica dei due valori centrali che corrispondono al 0 e all voto per cui 6 7 mediana 6. 5 Costruiamo ora la tabella relativa a X per poter calcolare la varianza e lo scarto quadratico medio. Calcoliamo ora ( X otteniamo VOTO. STUDETI 9 6 5 36 5 49 6 64 3 8 TOTALE 0

9 6 5 5 36 6 49 3 64 8 ( X 4.9 0 Ora 6.3 39. 69 per cui σ 4.9 39.69. e σ.. 48 ESEPIO Supponiamo di aver valutato 5 studenti di una classe in due prove di matematica e di aver ottenuto i seguenti risultati ALUO VOTO PROVA VOTO PROVA 7 7 6 6 3 0 8 4 8 8 5 6 6 Vogliamo calcolare la media dei voti della prova e della prova e di volerne calcolare le rispettive varianze ALUO VOTO PROVA VOTO PROVA VOTO PROVA VOTO PROVA 7 7 49 49 6 6 36 36 3 0 8 00 64 4 8 8 64 64 5 6 6 36 36 Calcoliamo la media dei voti della prova 7 6 0 8 6 7.4 per cui (7.4 54. 76 5 Calcoliamo la media dei voti della prova 7 6 8 8 6 7 per cui (7 49 5 Calcoliamo ora le medie dei voti al quadrato otterremo 49 36 00 64 36 49 36 64 64 36 ( voto 57 e ( voto 49. 8 5 5 Pertanto σ ( prova 57 54.76. 4 e σ ( prova 49.8 49 0. 8. Inoltre le deviazioni standard delle due prove sono date da σ ( prova.4.49 e σ ( prova 0.8 0, 89