Criterio del rapporto. Si una successione in IR [0, + ) ]0, + ) ]0, [ Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k [0, ] ]0, [ [0, [ ]0, ] Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k ]0, [ tale che + k, n IN + + k n IN + Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k ]0, [ tale che defnitivamente, allora converge. Se invece + > definitivamente + k () + + + definitivamente > k definitivamente k definitivamente
Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k ]0, [ tale che defnitivamente, allora Se invece definitivamente, allora converge diverge. + k (2) + (3) supporre che la (2) valga n IN. n > n o. n n o. definitivamente a 2 ka (4) a 3 ka 2... ka a a 2 k 2 a 2
ka k n a k n a k n a 2 ka (5)... a 2 ka (6) k n a cioè il termine generale è maggiorato dal termine generale di una serie che è multiplo di 3
a 2 ka (7) k n a cioè il termine generale è maggiorato dal termine generale di una serie che è multiplo di una serie geometrica, la quale converge, in quanto la ragione k è per ipotesi <. Allora la serie converge per la convergenza assoluta di a k n. Allora la successione è Allora la successione è non decrescente, e quindi + Allora la successione è non decrescente, e quindi ammette limite e questo limite coincide con Allora la successione è non decrescente, e quindi ammette limite e questo limite coincide con il suo estremo superiore. Dunque, poichè per ipotesi > 0 risulta certamente lim > 0, quindi la serie, esiste k [0, [ tale che + = + esiste k [0, [ tale che + = + + definitivamente = esiste k [0, [ tale che + + < definitivamente = esiste k [0, [ tale che + definitivamente < definitivamente 4
La condizione + < definitivamente è... per la convergenza della serie Quindi esistono serie per le quali non vale l implicazione + < definitivamente = converge. Quale di queste è un controesempio? ( ) n n n n(n + ) (n 2 + ). 5