D0MINIO Determinare il dominio della funzione f ln 4 + Deve essere 4 + > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 + 4 + quindi 0 < < > Se < 0, 4 + 4 4 e, ricordando che < 0, deve essere 4 < 0 dunque 7 < < 0 Il campo di esistenza è: 7, 0 0,, + Determinare il dominio della funzione f ln 4 Deve essere 4 > 0 Ovviamente 0 Se > 0, 4 4 4 e 4 0 per ± 7, deve dunque essere > + 7 Se < 0, 4 4 + + quindi < < < 0 Il campo di esistenza è:,, 0 + 7, + SUCCESSIONE n + n n + n 4n 4n + 5 n + 8 n n 4n 4n + 5 4n + 5 8 4n + 5 n n 4 + e 4 n / + n e n + 5/4 NOTA Si giunge allo stesso risultato passando ai logaritmi: n 4 4 ln n ln n ln + n n / n / 4 FUNZIONE INVERSA Stabilire se la funzione f 4+ 5 è invertibile e, in caso affermativo, calcolare f 7 f 4 + 5 4 > 0, f è crescente quindi invertibile f 7, f 9, f 7 f 9 Stabilire se la funzione f + è invertibile e, in caso affermativo, calcolare f 5 f 9 + > 0, f è crescente quindi invertibile f 5, f, f 5 f
4 DERIVABILITA Stabilire per quali valori di a, b R la funzione f derivabile su tutto R { 6 sin se > 0 a + b se 0 è f è certamente continua e derivabile in ogni punto diverso da zero f 0 a, f 4 Deve essere a 4 se f non fosse continua non potrebbe essere 0+ derivabile In questo caso cos f se > 0 6 sin quindi f è derivabili se e solo se a 4, b b se < 0 4 Stabilire per quali valori di a, b R la funzione f derivabile su tutto R { 5 + sin se > 0 a + b se 0 è f è certamente continua e derivabile in ogni punto diverso da zero f 0 a, f 5 Deve essere a 5 se f non fosse continua non potrebbe essere 0+ derivabile In questo caso cos f se > 0 5 + sin quindi f è derivabili se e solo se a 5, b b se < 0 0 5 LIMITE DI FUNZIONI 0+ ln ln e ln + per 0 + non è una forma di indecisione 0+ ln ln e ln 0 per 0 + non è una forma di indecisione 6 POLINOMIO DI TAYLOR Sia f {ln } Scrivere il polinomio di MacLaurin di terzo grado di f ln + + o ; {ln } + + o + + o Sia f {ln + } Scrivere il polinomio di MacLaurin di terzo grado di f ln + + o ; {ln + } + o + o
7 MINIMAX ECC Determinare tutti i punti di massimo e di minimo relativo e i punti di flesso della funzione f ln 5 ln 4 f è definita per > 0 tende a per 0 + e a + per +, inoltre dalla scrittura f ln 4 ln e dal segno di f si deduce che f ha un massimo relativo in f 5 ln 4 4 ln ln 5 ln 4 f cresce in 0, e in e 4/5, + cala in, e 4/5 e 4/5 è un punto di minimo relativo f 0 ln ln 5 ln 4 + 4 ln ln 5 ln 4 ln + f presenta flessi quando ln ± 84, cioè in e 84/5 e in e + 84/5 5 Determinare tutti i punti di massimo e di minimo relativo e i punti di flesso della funzione f ln 6 ln 5 f è definita per > 0 tende a + sia per 0 + che per +, inoltre dalla scrittura f ln 5 ln e dal segno di f si deduce che f ha un punto di flesso a tangente orizzontale in e deve avere un minimo assoluto in, e f 6 ln 5 5 ln 4 ln4 6 ln 5 f cala in 0, e 5/6 e cresce in e 5/6, + e 5/6 è il punto di minimo assoluto f 0 ln 4 0 ln 6 ln 5 + 5 ln 4 ln 6 ln 5 ln + 0 Oltre che in, f presenta flessi in e 5 745/ e in e 5+ 745/ 8 INTEGRALE arctan + d sostituzione + t 0 + t, t, d t dt, arctan + d t arctan t dt 0 t arctan t dt t arctan t t + t dt { t arctan t } dt + t {t + arctan t t} L integrale cercato vale [t + arctan t t] 5 π + [ 4 arctan arctan + ] [ π π 4 + ] arctan 4 d sostituzione 4 t / 4 t, t +, d t 4 dt arctan 4 d t arctan t dt / 5 4 π 4 + 4 si veda sopra
9 SERIE Determinare il carattere della serie n n + n Si tratta di una serie { a termini positivi; n + n n + / { } } n n n + o n n La serie converge Determinare il carattere della serie n n + n n Si tratta di una serie { a termini positivi; n + n n n + / { } } n n n + o n La serie diverge n 0 COMPLESSI ISTITUZIONI Scrivere in forma algebrica e in forma trigonometrica tutte le radici cubiche nel campo complesso del numero z 8i 8i cos π + i sin π Le tre radici cubiche di 8i avranno modulo ed argomento rispettivamente Quindi esse sono: cos π + i sin π i, cos 7π 6 + i sin 7π 6 π, π + π 7π 6, π + 4π π 6 i, cos π π + i sin i 6 6 Scrivere in forma algebrica e in forma trigonometrica tutte le radici cubiche nel campo complesso del numero z 7i 7i cos π + i sin π Le tre radici cubiche di 7i avranno modulo ed argomento rispettivamente Quindi esse sono: cos π 6 + i sin π + i 6 π 6, π 6 + π 5π 6, π 6 + 4π π, cos 5π 6 + i sin 5π 6 + i, cos π + i sin π i
Problema di Cauchy ISTITUZIONI { y Risolvere il problema di Cauchy: 5y ln 6 ln ye 0 5 A meno di una costante, ln d 5 ln ln ln ln 5, e lnln5 ln 5, quindi { } { } y ln 5 c 6 ln 4 d ln 5 c 6 ln ln 5 { c + ln } dalla condizione iniziale si ottiene c la soluzione cercata è: y ln ln 5 { y Risolvere il problema di Cauchy: 5y ln + 7 ln ye 0 5 A meno di una costante, ln d 5 ln ln ln ln 5, e lnln 5 ln 5, quindi { ln 6 } y ln 5 c + 7 d ln 5 { c + ln 7 } dalla condizione iniziale si ottiene c la soluzione cercata è: y ln ln 5 0a FUNZIONE INTEGRALE ANALISI Disegnare su [, ] il grafico di F f t dt dove f ha il grafico riportato in figura, e dire in quali punti F ha massimi e minimi relativi e in quali ha flessi - - 05 - - 0-05 - -5, F f t dt 0 F è derivabile in tutti punti in cui f è continua ed in questi punti è F f In 0 F ha un punto angoloso con semiderivata sinistra nulla e destra negativa F cresce quando f > 0 decresce quando f < 0, è convessa quando f cresce, concava quando f decresce, quindi: F cresce in, 0, decresce in 0,, ha un massimo relativo in 0, i punti di minimo relativo sono in e in F presenta punti di flesso in e in quest ultimo a tangente orizzontale; è convessa in, e in 0,, concava in, 0 e in,,
Disegnare su [, ] il grafico di F f t dt dove f ha il grafico riportato in figura, e dire in quali punti F ha massimi e minimi relativi e in quali ha flessi - - - - - -, F f t dt 0 F è derivabile in tutti punti in cui f è continua ed in questi punti è F f In 0 F ha un punto angoloso con semiderivata sinistra negativa e destra nulla F cresce quando f > 0 decresce quando f < 0, è convessa quando f cresce, concava quando f decresce, quindi: F decresce in, 0, cresce in 0,, ha un minimo relativo in 0, i punti di massimo relativo sono in e in F presenta punti di flesso in a tangente orizzontale e in ; è convessa in, e in 0,, concava in, 0 e in,, a EQUAZIONE CON PARAMETRO ANALISI Stabilire per quali valori del parametro reale α l equazione ln + + α ha soluzioni positive Per 0 la funzione ln + è crescente, concava verso il basso e passa per l origine con retta tangente di coefficiente angolare La famiglia di funzioni + α è una famiglia di parabole convesse, passanti per l origine con retta tangente di coefficiente angolare α e, per + tendono a + con un ordine di grandezza maggiore più velocemente rispetto a ln + Il grafico della parabola incontrerà quello del logaritmo in un punto ad ascissa positiva se e solo se α < cioè se partendo dall origine il grafico della parabola sta sotto a quello del logaritmo, perché per abbastanza grande le posizioni si invertiranno Si può anche procedere in questo modo: Posto f ln + α risulta f 0 0, f e, per > + : f + α, f 4 + f è concava, f 0 α quindi l equazione f 0 ammette soluzioni positive se e solo se α < cioè se f cresce in un intorno dell origine
Stabilire per quali valori del parametro reale α l equazione ln + α ha soluzioni negative Per 0 la funzione ln è decrescente, concava verso il basso e passa per l origine con retta tangente di coefficiente angolare La famiglia di funzioni + α è una famiglia di parabole convesse, passanti per l origine con retta tangente di coefficiente angolare α e, per tendono a + con un ordine di grandezza maggiore più velocemente rispetto a ln Il grafico della parabola incontrerà quello del logaritmo in un punto ad ascissa negativa se e solo se α > cioè se in un opportuno intorno sinistro dell origine il grafico della parabola sta sotto a quello del logaritmo, perché per fortemente negativo le posizioni si invertiranno Si può anche procedere in questo modo: Posto f ln α risulta f 0 0, f e, per < : f α, f 9 f è concava, f 0 α quindi l equazione f 0 ammette soluzioni negative se e solo se α > cioè se f decresce in un intorno dell origine