ezione n. Il metodo dell equilibrio Effetti delle variazioni termiche nelle strutture e variazioni termiche che agiscono sulle strutture possono essere classificate in: variazioni che producono solo spostamenti e deformazioni, variazioni che producono anche o solo stati di coazione (sollecitazioni interne). Si consideri un corpo libero nello spazio e lo si sottoponga ad una variazione di temperatura T. Per effetto della variazione termica, il corpo subisce in ogni punto una deformazione ε t, la cui entità è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura T. a costante di proporzionalità è nota come coefficiente di dilatazione termica e si indica con il simbolo α t (o, più semplicemente, con α). Si può pertanto scrivere: ε t = α T. Per materiali come l acciaio ed il calcestruzzo α assume il valore di 0 5 C. Essendo il corpo libero di deformarsi in una qualunque direzione dello spazio, perché privo di vincoli, la variazione termica produce solo spostamenti e deformazioni senza fare insorgere nessuno stato di sollecitazione all interno del corpo. Quando si passi a considerare gli effetti di una variazione termica su una trave o su un sistema di travi soggette ad un assegnato numero di vincoli, gli effetti che si registrano variano in funzione del numero e della disposizione dei vincoli. In particolare, si possono registrare: solo deformazioni e spostamenti (come nel caso del corpo libero), deformazioni, spostamenti e sollecitazioni interne, solo sollecitazioni interne. Per fissare le idee si consideri una trave semplicemente appoggiata, con una cerniera fissa nell estremo e un carrello nell estremo B: Se la si sottopone ad una variazione termica costante, ossia tutte le fibre della trave sono sottoposte alla stessa variazione di temperatura, ad es. positiva, le fibre si allungano della quantità: = ε t = α T o stesso dicasi se la variazione termica è negativa, nel qual caso si registra un accorciamento della trave. Se la stessa trave viene sottoposta ad una variazione termica lineare a farfalla, con valore massimo all estradosso e minimo T all intradosso, allora le fibre superiori si allungano, quelle inferiori si accorciano e le fibre baricentriche (sull asse della trave) non subiscono alcuna deformazione; la trave si incurva verso l alto assumendo la configurazione deformata ad arco di cerchio rappresentata nella figura seguente: B B Revisione //0
ezione n. pag. II. B nche in questo caso la presenza dei vincoli non ostacola gli spostamenti e le deformazioni prodotti dalla variazione termica, che pertanto non produce altri effetti se non quelli descritti. Si osservi che nel caso di variazione termica uniforme, la possibilità di spostamento è garantita dalla presenza dell appoggio scorrevole in B, mentre nel secondo caso variazione termica a farfalla le deformazioni e gli spostamenti termici sono permessi dall assenza di vincoli di rotazione ad entrambi gli estremi della trave. Da questo si può immediatamente dedurre che se si sostituisce il carrello in B con una cerniera, il nuovo vincolo comporterà l insorgere di uno stato di sollecitazione interno nel caso della variazione termica uniforme, mentre non comporterà alcun cambiamento nel caso di variazione termica a farfalla, perché la cerniera alla stregua del carrello lascia libera la rotazione dell estremo B: Vediamo di quantificare lo stato interno di sollecitazione che nasce nel caso della trave incernierata ad entrambe le estremità soggetta ad una variazione termica uniforme positiva: in questo caso le fibre longitudinali della trave non possono allungarsi, perché le due cerniere fisse impediscono qualunque traslazione nel piano della trave, ed in particolare lo spostamento nella direzione dell asse. azione dei vincoli sulla trave si esplica attraverso le reazioni vincolari che essi trasmettono alla trave, e per effetto delle quali nasce all interno della trave uno stato di sollecitazione, che si è soliti indicare con il termine di stato di coazione termica. Per determinare le reazioni vincolari e le sollecitazioni interne si può utilizzare il metodo della congruenza. questo scopo scegliamo come sistema principale quello che si ottiene eliminando il vincolo alla traslazione orizzontale in B e sostituendolo (secondo il postulato fondamentale della meccanica) con la corrispondente reazione vincolare: la soluzione si trova determinando lo spostamento orizzontale w B ( T) prodotto dalla variazione termica e quello w B (H B ) prodotto dall incognita iperstatica, ed imponendo che la loro somma sia uguale a 0, affinché sia rispettata la congruenza nella sezione B della struttura di partenza. equazione di congruenza risulta quindi: w B =w B ( T) w B (H B ) = 0 B B B H B SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. B B H B si ha: w B ( T) = α T (positivo perché verso destra) mentre w B (H B ) si ricava immediatamente dal problema del De SaintVenant: w B (H B ) = H B / (E); (negativo perché verso sinistra) sostituendo nell equazione di congruenza si ottiene: α T H B / (E) = 0 da cui si ricava il valore di H B : H B = α T E a trave è pertanto soggetta ad uno sforzo normale di compressione pari a H B. N.B. Si osservi come il valore di H B e quindi dello sforzo normale dipenda dalla sezione trasversale e dal modulo di elasticità del materiale. Pertanto lo sforzo normale sarà tanto maggiore quanto maggiore è la rigidità assiale E della trave, ossia quanto maggiore è il modulo di elasticità (materiale più rigido) e/o quanto maggiore è la sezione trasversale. Gli spostamenti e le deformazioni sono invece nulle, infatti il concio elementare di lunghezza dz della trave per effetto della variazione termica tenderebbe ad allungarsi di ε t = α T dz, mentre per effetto dello sforzo normale si accorcia di ε HB = H B dz / (E) = α T dz. e due deformazioni sono uguali e contrarie, pertanto la deformazione totale del concio è nulla e la trave non si deforma. Sulla base degli esempi visti sopra possiamo concludere che: ogni qualvolta la variazione termica produce spostamenti e deformazioni compatibili con i vincoli, la variazione termica non fa insorgere alcuno stato di sollecitazione all interno della struttura (in questo caso la variazione termica si dice congruente); quando la variazione termica tende a produrre spostamenti non compatibili con i vincoli, allora all interno della struttura insorge uno stato di sollecitazione (variazione termica non congruente). Sulle strutture si considerano di solito variazioni termiche costanti o a farfalla, o più in generale variazioni termiche lineari di forma trapezia. Queste ultime si possono sempre ricondurre alla somma di una variazione termica costante e di una a farfalla, secondo il seguente schema: = ( T )/ ( T T )/ ( T T )/ pertanto negli esempi che seguono si considerano solo variazioni termiche uniformi o a farfalla. SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. Esempio Risolviamo la seguente struttura simmetrica, formata da tre piedritti ed un traverso, tutte di lunghezza e rigidità flessionale EJ/ costante, e soggetta ad una variazione termica a farfalla sul traverso. Considerazioni preliminari sulla simmetria della struttura e dello schema di carico Prima di procedere alla soluzione della struttura con il metodo dei vincoli ausiliari, possiamo utilizzare la simmetria della struttura e dello schema di carico (*) per ricavare alcune informazioni sulle caratteristiche di sollecitazione nella mezzeria del traverso e nel piedritto centrale. questo scopo si consideri dapprima una struttura simmetrica caricata simmetricamente, dove sull asse di simmetria non ci sia nessun piedritto. Per rispettare le condizioni di simmetria le caratteristiche di sollecitazione nella mezzeria del traverso devono avere i versi indicati nella figura. Del resto, affinché sia soddisfatto l equilibrio alla traslazione verticale del concio a cavallo della sezione di mezzeria, il taglio deve essere necessariamente nullo. 5 Nel caso in cui sull asse di simmetria ci sia invece un piedritto (come nell esempio che stiamo per studiare), sulle due facce del concio di mezzeria del traverso può esserci oltre a N t e M t anche un taglio T t. Difatti in questo caso l equilibrio alla traslazione verticale del concio e la simmetria sono garantite dalla presenza dello sforzo normale nel piedritto centrale: M t T t N t N t T t M t (*) prima vista, la condizione di carico sembrerebbe antimetrica, e questo a causa della rappresentazione grafica utilizzata per le variazioni termiche. In realtà la situazione in esame rappresenta una condizione di carico simmetrica per la struttura, come ci si può facilmente rendere conto pensando alla deformazione che nella struttura nasce a causa della variazione termica a farfalla. a parte di sinistra, se libera di deformarsi, tenderebbe infatti ad assumere una deformata in cui le fibre si allungano all estradosso e si accorciano all intradosso, incurvandosi quindi verso l alto. o stesso si può dire per la parte di destra, ottenendo quindi una situazione simmetrica. SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II.5 N p = T t. Nel piedritto centrale, inoltre, per evidenti ragioni di simmetria, sia il taglio che il momento flettente devono essere nulli. 5 Possiamo quindi concludere che nella mezzeria del traverso, grazie alla presenza del piedritto sull asse di simmetria, possiamo avere tutte e tre le caratteristiche di sollecitazione N, T e M, mentre nel piedritto centrale può esserci per simmetria solo uno sforzo normale. Soluzione della struttura con il metodo dei vincoli ausiliari dottando la seguente convenzione per i versi positivi degli spostamenti e delle reazioni vincolari: M t T t N t T p M p convenzione per i versi positivi degli spostamenti e delle forze occorre innanzitutto individuare i movimenti indipendenti della struttura. Mettendo in conto tutti i contributi deformativi (incluso quello dello sforzo normale) e prescindendo per il momento dalla simmetria della struttura e dalla simmetria del carico, si ha che ogni nodo superiore (, e ) può sia traslare in direzione orizzontale sia in direzione verticale nonché ruotare, e pertanto i movimenti indipendenti sono i seguenti 9: nodo : w v ϕ nodo : w v ϕ nodo : w v ϕ dove con w sono state indicate le traslazioni orizzontali, con v quelle verticali e con ϕ le rotazioni dei nodi. Se introduciamo l ipotesi di indeformabilità assiale di tutte le aste, si ha che: v, v e v sono nulli, per l indeformabilità assiale dei piedritti, w =w =w per l indeformabilità assiale del traverso, riducendo così il numero di movimenti indipendenti da 9 a, w ϕ ϕ ϕ dove si è indicato con w il valore comune di w, w e w. Infine, tenendo conto della simmetria della struttura e della simmetria del carico, si può concludere che: il nodo, trovandosi sull asse di simmetria di una struttura simmetrica caricata simmetricamente, non può traslare orizzontalmente, e pertanto w=0, ossia il traverso non trasla orizzontalmente; il nodo non può ruotare, per lo stesso motivo del punto precedente (w=0); la rotazione del nodo e quella del nodo sono uguali e contrarie (ϕ =ϕ ). Quindi i movimenti indipendenti si riducono alla sola rotazione del nodo ovvero del nodo. N p T t N t M t SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. Fase I Nella fase I si inseriscono nella struttura dei vincoli ausiliari che bloccano i movimenti indipendenti; data la simmetria della struttura possiamo limitarci a studiare metà struttura (ad es. la parte posta alla sinistra dell asse di simmetria). Per quanto detto sopra, il nodo non può né traslare né ruotare, pertanto nel nodo è come se ci fosse un incastro. a parte sinistra della struttura in fase I, a movimenti indipendenti bloccati, è rappresentata nella figura seguente, dove la linea trattopunto ci ricorda la presenza del piedritto centrale. asta risulta in fase I incastrata ad entrambi gli estremi e soggetta ad una variazione termica a farfalla. Per effetto di questa variazione termica nell asta insorge uno stato di sollecitazione, in quanto gli estremi dell asta, a differenza di quanto accadeva nell esempio dell asta incernierata ad entrambi gli estremi, non possono ruotare e pertanto l asta non è libera di inflettersi verso l alto. I vincoli di incastro impediscono la rotazione di e di, attraverso due coppie uguali e contrarie (per simmetria), il cui valore può essere determinato con il metodo della congruenza. questo scopo, sopprimiamo i vincoli di rotazione in e in e sostituiamoli (secondo il postulato fondamentale della meccanica) con le corrispondenti reazioni vincolari, che indichiamo con : = ϕ () ϕ () ϕ ( T) ϕ ( T) Il valore di si ricava imponendo la condizione di congruenza alla rotazione in o in, ossia imponendo che la somma della rotazione prodotta dalla variazione termica e di quella prodotta da sia uguale a 0: ( T) φ () 0 (equazione di congruenza) φ = = SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II.7 Calcolo di ϕ ( T) Per il calcolo di ϕ ( T) è sufficiente ricorrere al PV: ϕ ( T) S.S.D. ϕ ( T) * * * S.F.S.* * * = * φ( T) φ( T) K t (z)dz 0 nell espressione precedente K t (z) rappresenta la curvatura prodotta dalla variazione termica nel sistema S.S.D. (di spostamenti e deformazioni), e può essere determinata ricorrendo alla definizione di curvatura, che esprime la rotazione relativa tra due sezioni poste a distanza unitaria, ovvero è la derivata della rotazione ϕ(z). questo scopo consideriamo un concio di trave di lunghezza unitaria ed altezza h, supponiamo fissa la faccia di sinistra e valutiamo di quanto ruota la faccia destra rispetto ad essa per effetto della variazione termica a farfalla: α T h K t α T le fibre superiori del concio si allungano di α T, mentre quelle inferiori si accorciano della stessa quantità, la deformazione delle altre fibre segue lo stesso andamento lineare della variazione termica, pertanto la rotazione relativa K t, ossia la curvatura termica, è pari a: α T α T K t = = h h dove il segno meno deriva dal fatto che K t (rotazione della faccia di destra rispetto a quella sinistra) è oraria, mentre nella convenzione adottata nella linea elastica le rotazioni sono antiorarie; sostituendo nell equazione dei lavori virtuali, e sfruttando inoltre per simmetria l uguaglianza dei moduli delle rotazioni di e di, si ottiene: * φ ( T) = 0 * α T dz h * α T φ( T) = h α T φ ( T) = h il fatto che ϕ ( T) sia positiva significa che essa è concorde con il verso adottato nella figura, ossia è antioraria. h/ * SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II.8 Se esprimiamo questa rotazione secondo la convenzione scelta per gli spostamenti positivi dobbiamo cambiare segno: α T φ ( T) = convenzione spostamenti positivi h Calcolo di ϕ () Il valore di ϕ () può essere agevolmente calcolato sfruttando risultati già noti in precedenza. e rotazioni di estremità di una trave incernierata ad entrambi gli estremi ed ivi soggetta a due coppie uguali e contrarie è infatti pari a: φ () = (rotazione oraria) EJ ϕ () ϕ () Valutazione di Sostituendo i valori di ϕ ( T) e ϕ () nell equazione di congruenza si ricava: φ ( T) φ() = 0 ossia α T = 0 h EJ α T EJ = h asta è quindi soggetta ad un momento costante positivo pari a, ed il diagramma del momento flettente in Fase I è il seguente: =( α T EJ)/h dove M' = e M' =. N.B. Per effetto della variazione termica a farfalla, l asta in fase I, con entrambi gli estremi incastrati, non subisce alcuna deformazione! Questo risulta evidente se si calcola la curvatura prodotta dalle reazioni iperstatiche e la si confronta con quella prodotta dalla variazione termica: SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II.9 curvatura prodotta da : curvatura prodotta da T: M(z) α T EJ K (z) = = = = EJ EJ EJ h α T K t (z) = h α T h al variare di z (ascissa lungo l asse della trave) le due curvature rimangono costanti e pari l una all opposto dell altra, pertanto la curvatura totale è nulla lungo tutta la trave, ossia in questa fase la trave non si deforma! Fase II Nella seconda fase, per ripristinare l equilibrio nei nodi in cui sono stati introdotti i vincoli ausiliari, occorre eliminare i vincoli ausiliari ed applicare alla struttura le loro reazioni cambiate di segno. Nel presente caso l unico vincolo ausiliario è il morsetto in, pertanto è sufficiente applicare nel nodo la reazione del morsetto (oraria e pari a =( α T EJ)/h) cambiata di segno (antioraria): a coppia nel nodo, si ripartirà tra l asta e l asta ; per determinare il valore della coppia assorbita da ciascuna asta, procediamo al calcolo dei coefficienti di ripartizione. Per fare questo occorre innanzitutto determinare il valore della rigidezza alla rotazione della sezione dell asta e della sezione dell asta : per l asta si ha k = R: anche per l asta si ha k = R: ϕ = k =R k =R ϕ = R R la rigidezza alla rotazione k del nodo è data dalla somma di k e k : k = k k = R R = 8R; e si può calcolare i coefficienti di ripartizione delle due aste: SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II.0 k R ρ = = = k 8R k R ρ = = = k 8R i due coefficienti di ripartizione sono entrambi pari a 0.5, pertanto le coppie applicate nella sezione di ciascuna asta sono pari a: M = ρ = M = ρ = N.B. questo risultato si poteva arrivare immediatamente osservando che le due aste hanno la stessa rigidezza alla rotazione nella sezione, perché hanno la stessa rigidità flessionale EJ/ e sono soggette alle stesse condizioni di vincolo, pertanto non possono che assorbire ciascuna la stessa aliquota della coppia. Tenendo presente che il coefficiente di trasmissione di entrambe le aste è pari a / si ottiene il seguente diagramma del momento flettente: M" = / M" = / M" = / M" = / Fase I Fase II Una volta definite le due fasi, la soluzione della struttura si ottiene per composizione degli effetti in fase I con quelli in fase II. d esempio, per ottenere il diagramma del momento totale è sufficiente sommare il diagramma ottenuto in fase I con quello della fase II, ottenendo il risultato riportato in figura: / / / M = M' M" = / = / M = M' M" = / = 5/ M = M" = / M = M" = / / / / 5/ / SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. Sfruttando la condizione di simmetria, è infine possibile disegnare il diagramma sull intera struttura: / / / / 5/ Deformata della struttura a deformata della struttura coincide con la deformata della fase II, perché, come già osservato, in fase I la struttura non si deforma: difatti in fase I i piedritti sono scarichi, mentre il traverso non si deforma per quanto detto sopra. Il tracciamento della deformata risulta pertanto alquanto agevole, perché in fase II ogni asta si trova nella situazione a noi già nota di asta incernierata ad un estremo, incastrata all altro e soggetta ad una coppia concentrata nell estremo incernierato. Così ad es. l asta avrà una rotazione antioraria della sezione (per effetto della coppia antioraria M" ) e un punto di flesso a una distanza di / dalla sezione incastrata. f f f 5 N.B. Da osservare come il diagramma del momento flettente sul traverso non sia dalla stessa parte delle fibre tese (il diagramma è in basso, mentre le fibre tese sono in alto). Questo è dovuto alla presenza della variazione termica a farfalla sul traverso (in presenza di soli carichi espliciti, questo sarebbe un errore!). 5 f / / SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. Diagramma del taglio e dello sforzo normale Noto il diagramma dei momenti flettenti, è possibile determinare quelli del taglio e dello sforzo normale. Innanzitutto procediamo con il calcolo dei tagli e degli sforzi normali agli estremi di tutte le aste, per fare questo sconnettiamo le aste in corrispondenza dei nodi e mettiamo in evidenza le azioni mutue che si scambiano (una forza orizzontale, una forza verticale e una coppia). Il valore delle forze mutue e delle coppie che le varie aste si scambiano nei nodi si ricavano dall equilibrio di ciascuna singola asta. Nella figura seguente sono rappresentate le forze e le coppie agenti agli estremi di tutte le aste: H / / H V H H V H 5/ 5/ V / 5 / V H V V V 5 / / bbiamo già visto che nel piedritto centrale 5 non può esserci né taglio né momento flettente, ma solo sforzo normale. e coppie sono già note (si ricavano dal diagramma dei momenti flettenti); le forze che agiscono in direzione ortogonale alle aste si ricavano dall equilibrio alla rotazione e da quello alla traslazione in direzione ortogonale all asta: ad es. per l asta, dall equilibrio alla rotazione intorno al nodo si ha: H = 0 H = e dall equilibrio alla traslazione orizzontale: H H = 0 H = H =. Dall equilibrio alla traslazione orizzontale dell asta si ricava che: H H = 0 H = H. Nella figura seguente sono indicate tutte le forze e coppie con il loro valore e verso: V H V H V SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. / 5/ / (/)/ (/)/ (/)/ (/)/ (/)/ (/)/ 5/ (/)/ (/)/ (/)/ / (/)/ / (/)/ / (/)/ (/)/ 5 (/)/ (/)/ (/)/ (/)/ (/)/ / Note le forze e le coppie agli estremi di tutte le aste, si può procedere con il tracciamento del diagramma dello sforzo normale e del taglio. /() /() Diagramma dello sforzo normale /() 5 /() SOGGETT REVISIONE
ezione n. pag. II. /() Diagramma del taglio /() 5 /() N.B. Nella figura seguente è indicato il verso di percorrenza adottato nel tracciamento dei diagrammi dello sforzo normale e del taglio sulla struttura: 5 Si ricorda che al variare del verso di percorrenza non varia il segno né di N né di T, ma cambia solo il lato dal quale si traccia il diagramma di N o di T. Viceversa per quanto concerne il diagramma di M, al variare del verso di percorrenza varia solo il segno di M, ma non il lato dal quale si traccia il diagramma. /() SOGGETT REVISIONE