Funzioni o applicazioni composte

I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA n Funzioni o applicazioni composte n Composizione di funzioni matematiche n Funzioni limitate. Funzioni periodiche n Funzioni lineari a tratti Funzioni o applicazioni composte Dati i tre insiemi A, B, C, consideriamo un applicazione g da A a B e un applicazione f da B a C. Consideriamo un applicazione g che faccia corrispondere a un generico elemento x di A l elemento z ¼ gðxþ di B e un applicazione f che faccia corrispondere all elemento z ¼ gðxþ di B l elemento y ¼ f ðzþ ¼f ðgðxþþ di C (FIGURA 1). FIGURA 1 In questo modo si ottiene una applicazione tra A e C che associa a un generico elemento di A un elemento di C. Questa applicazione si chiama applicazione composta o funzione composta e si indica con la scrittura f g, che si legge «f composto g». Il simbolo è il simbolo di composizione di funzioni. Il concetto di composizione si estende facilmente al caso in cui vi siano più di due componenti. ATTENZIONE! La funzione che opera per prima è quella scritta a destra del simbolo di composizione di applicazioni. La f elag si dicono funzioni componenti di f g: ESEMPI 1 A, B e C sono tre insiemi di persone; in A vi sono dei ragazzi i cui padri costituiscono l insieme B; inc vi è poi un fratello di ciascuna delle persone che stanno in B. Siano g ed f due funzioni tali che g: x! z ¼ padre di x ¼ gðxþ x 2 A; z 2 B f: z! y ¼ fratello di z ¼ fðzþ z 2 B; y 2 C Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara 1

Risulta allora y ¼ f ðzþ ¼fðgðxÞÞ ¼ fratello del padre di x ðcioè zio di xþ e pertanto f g: x! y ¼ zio di x ¼ fðgðxþþ. 2 In un piano consideriamo due rette r e s, ad esempio come in FIGURA 2. Sia r la simmetria rispetto alla retta r, cioè r sia l applicazione (trasformazione) del piano in sé che a ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P 0, simmetrico di P rispetto a r. Sia s la simmetria rispetto alla retta s. Consideriamo un generico punto P del piano e consideriamo il punto P 0, immagine di P nella r, cioè il punto P 0 FIGURA 2 simmetrico di P rispetto a r. Applichiamo ora al punto P 0 la simmetria rispetto alla retta s, cioè la trasformazione s ; l immagine di P 0 in s è il punto P 00, simmetrico di P 0 rispetto a s. Detta t l applicazione composta s r, notiamo che il punto P viene trasformato da t nel punto P 00. Osserviamo che la trasformazione t ¼ x r non è una simmetria rispetto a una retta. Si potrebbe dimostrare, come è intuitivo dedurre dall esame della FIGURA 2, che nel nostro caso la trasformazione t è una rotazione attorno al punto O, punto di intersezione tra r e s. Composizione di funzioni matematiche Vediamo alcuni alcuni esempi di composizione di funzioni matematiche. ESEMPI 1 Analizziamo le componenti della funzione composta f: x! 2x þ 3 x 2 R La funzione data ha equazione y ¼ 2x þ 3. Per ottenere l immagine y di un x del dominio (FIGURA 3), occorre moltiplicare per 2 tale valore di x (è il valore iniziale, simboleggiato in figura con un piccolo rettangolo) e aggiungere 3 al risultato (simboleggiato in figura con un asterisco). FIGURA 3 Notiamo che la funzione f è composta da f 1 e f 2 ; f 1 è la funzione che opera per prima. La funzione f 1 opera moltiplicando per 2 l elemento in ingresso e quindi è f 1 : x! 2x La funzione f 2 opera aggiungendo 3 all elemento in ingresso (che genericamente è x ma in questo caso è 2x) e pertanto f 2 : x! x þ 3 In definitiva risulta f ¼ f 2 f 1 cioè f 2 f 1 : x! y ¼ fðxþ ¼f 2 ðf 1 ðxþþ 2 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara

I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA 2 Date le funzioni f : x! x þ 1 x 2 R g: x! x 2 determinare le funzioni composte f g e g f. n La determinazione di f g è schematizzata in FIGURA 4: dapprima opera g che trasforma l elemento x in ingresso nel suo quadrato, poi opera f che trasforma l elemento in ingresso (che qui è x 2 ) aggiungendo 1; pertanto risulta f g: x! x 2 þ 1 ossia fðgðxþþ ¼ x 2 þ 1 FIGURA 4 n Determiniamo ora g f (FIGURA 5): per prima opera f che trasforma l elemento x in entrata aggiungendo 1; poi sul risultato ðx þ 1Þ opera g trasformandolo nel suo quadrato ðx þ 1Þ 2. U10. FUNZIONI COMPLEMENTI FIGURA 5 Possiamo quindi concludere che g f: x!ðx þ 1Þ 2 ossia gðf ðxþþ¼ðx þ 1Þ 2 Osserviamo ora che, se consideriamo un generico x, la sua immagine per mezzo di f g odig f non è la stessa. Ad esempio, per x ¼ 3siha fðgð3þþ ¼ 3 2 þ 1 ¼ 10 e gðfð3þþ¼ð3 þ 1Þ 2 ¼ 4 2 ¼ 16 Pertanto risulta fðgðxþþ 6¼ gðfðxþþ cioè f g 6¼ g f l operazione di composizione di funzioni non è commutativa. Funzioni limitate. Funzioni periodiche DEFINIZIONE FUNZIONE LIMITATA Una funzione si dice limitata se il suo codominio è un intervallo limitato o può essere contenuto in un intervallo limitato. Le funzioni costanti sono esempi di funzioni limitate. In FIGURA 6 vi è il grafico di funzione limitata e in FIGURA 7 quello di una funzione non limitata. Come vedremo, le funzioni circolari seno e coseno di un angolo, che si studiano in trigonometria, sono esempi di funzioni limitate. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara 3

FIGURA 6 FIGURA 7 DEFINIZIONE FUNZIONE PERIODICA Una funzione di equazione y ¼ f ðxþ si dice periodica di periodo T (T > 0), se risulta f ðx þ ktþ ¼f ðxþ per qualsiasi numero k intero relativo (k 2 Z). Dalla definizione deduciamo che il valore della funzione non cambia se si sostituisce al posto di x il valore x þ kt, con k 2 Z: questo implica che il grafico della funzione ha lo stesso andamento negli infiniti intervalli adiacenti di ampiezza uguale al periodo. In FIGURA 8 è rappresentato il grafico di una funzione periodica di periodo 2. Le funzioni trigonometriche sono tutte periodiche. Funzioni lineari a tratti Sono dette funzioni lineari a tratti quelle il cui grafico è costituito da segmenti, da semirette o da segmenti e semirette. ESEMPI 1 Tracciamo il grafico della funzione definita da x per x < 1 y ¼ x 5 per 0 x < 6 e individuiamo il dominio e il codominio della funzione. La relazione precedente può anche essere scritta nella forma equivalente y ¼ x y ¼ x 5 _ x < 1 0 x < 6 A n Le relazioni A definiscono una semiretta aperta, cioè privata della sua origine, contenuta nella retta di equazione y ¼ x (bisettrice del 2 o -4 o quadrante): per ottenerla occorre considerare solo i punti della retta la cui ascissa è minore di 1 (FIGURA 9). B 4 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara

I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA n Le relazioni B definiscono un segmento, privato di un estremo, contenuto nella retta di equazione y ¼ x 5: per ottenerlo occorre considerare solo i punti della retta le cui ascisse soddisfano la condizione 0 x < 6(FIGURA 10). Come sappiamo, per tracciare la retta di equazione y ¼ x 5 basta individuare due suoi punti qualsiasi: in questo caso, però, è opportuno considerare proprio i due punti della retta la cui ascissa è 0 e6. Il grafico della funzione data è in FIGURA 11 e si ottiene riunendo la semiretta e il segmento prima considerati. Dall esame della figura possiamo dedurre il dominio e il codominio richiesti: D ¼fx 2 Rjx < 1 _ 0 x < 6g ¼ ð 1 ; 1Þ[½0 ; 6Þ C ¼fy 2 Rj 5 y < 1 _ y > 1g U10. FUNZIONI COMPLEMENTI 2 Tracciamo ora il grafico della funzione parte intera: tale funzione associa a ogni numero reale x il più grande intero relativo minore o uguale a x. La parte intera di un numero x si indica con uno dei seguenti simboli: intðxþ ½xŠ floorðxþ ðin ingleseþ Dalla definizione data possiamo scrivere, ad esempio, intð 3Þ ¼ 3 intð4þ ¼4 intð0þ ¼0 intð2;9987þ ¼2 intð 7;1Þ ¼ 8 int 5 2 ¼ intð 2;5Þ ¼ 3 intð ffiffiffi 3 p Þ¼intð 1;732:::Þ ¼ 2 int 17 3 ¼ intð5;666:::þ ¼5 Il grafico della funzione y ¼ intðxþ è in FIGU- RA 12: esso è costituito da infiniti segmenti paralleli all asse x, di misura 1, chiusi a sinistra e aperti a destra. Basta infatti ricordare l equazione dell asse x e delle sue parallele e che, per la definizione data, si ha ::: per 2 x < 1! y ¼ intðxþ ¼ 2 per 1 x < 0! y ¼ intðxþ ¼ 1 per 0 x < 1! y ¼ intðxþ ¼0 per 1 x < 2! y ¼ intðxþ ¼1 per 2 x < 3! y ¼ intðxþ ¼2 ::: Il dominio della funzione parte intera è R e il codominio è Z, cioè l insieme dei numeri interi relativi. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara 5

3 Tracciamo ora il grafico di un altra funzione lineare a tratti, la funzione parte frazionaria: tale funzione, che indicheremo con f, associa a ogni numero reale la differenza tra il numero stesso e la sua parte intera fðxþ ¼x intðxþ Su alcuni testi si trova, per la parte frazionaria di un numero x, la scrittura ðxþ ¼x intðxþ: Dalla definizione data possiamo ad esempio scrivere fð 5Þ ¼0 fð0þ ¼0 fð132þ ¼0 f ð2;34þ ¼2;34 2 ¼ 0;34 fð5;1þ ¼5;1 5 ¼ 0;1 f ð 2;4Þ ¼ 2;4 ð 3Þ ¼0;6 fð 0;8Þ ¼ 0;8 ð 1Þ ¼0;2 Come puoi notare, la parte frazionaria di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero: x intðxþ 0 8 x 2 R Ad esempio per 2 x < 1! y ¼ fðxþ ¼x ð 2Þ ¼x þ 2 per 1 x < 0! y ¼ fðxþ ¼x ð 1Þ ¼x þ 1 per 0 x < 1! y ¼ f ðxþ ¼x 0 ¼ x per 1 x < 2! y ¼ f ðxþ ¼x 1 per 2 x < 3! y ¼ f ðxþ ¼x 2 e così via. Il grafico della funzione, in FIGURA 13, èco- stituito da infiniti segmenti, tutti inclinati di 45 sull asse x: sek è il generico numero intero relativo, la funzione ha equazione y ¼ x k per tutti gli x dell intervallo ½k ; k þ 1Þ. La funzione è limitata ed è periodica di periodo T ¼ 1. Il dominio di f è R e il codominio è l intervallo ½0 ; 1Þ. 6 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara

I LINGUAGGI DELLA MATEMATICA n Funzioni o applicazioni composte n Composizione di funzioni matematiche n Funzioni lineari a tratti n Autovalutazione on line n Laboratorio on line Puoi risolvere gli esercizi segnalati usando il software suggerito: C Cabri D Derive E Foglio Elettronico G Geogebra U10. FUNZIONI COMPLEMENTI Funzioni o applicazioni composte 1 Verifica che se si esegue nell ordine la composizione di una funzione biunivoca f : A! B con la sua inversa f 1 : B! A si ottiene la funzione identità, cioè la funzione che associa a ogni elemento x 2 A l elemento stesso x. Verifica cioè che f 1 f ¼ i dove i è la funzione identità, ossia che f 1 ð f ðxþþ ¼ x. 2 Considera i tre insiemi X ¼fxg, Y ¼fyg, Z ¼fzg e le funzioni f e g tali che f : x! y e g: y! z. Verifica che è possibile la composizione g f ma non la f g. 3 Sono dati gli insiemi A ¼fa ; bg, B ¼fc ; dg, C ¼fa ; eg e le funzioni f : A! B e g: B! C tali che f ðaþ ¼d fðbþ ¼c gðcþ ¼e gðdþ ¼a Verifica che gð f ðaþþ ¼ a gð f ðbþþ ¼ e fðgðdþþ ¼ d ma che f ðgðcþþ non è determinabile. Composizione di funzioni matematiche 4 Individua le componenti f 1 e f 2 delle funzioni composte aventi le seguenti equazioni ( f 1 è la funzione che opera per prima): a. y ¼ 4x 1 b. y ¼ x 3 þ 2 c. y ¼ðx þ 4Þ 2 ½a. f 1 : x! 4x; f 2 : x! x 1; :::Š 5 Individua le componenti f 1, f 2, f 3 delle funzioni composte aventi le seguenti equazioni (le tre funzioni operano nell ordine dato): a. y ¼ð2x 5Þ 2 b. y ¼ 1 3 x 2 þ 5 c. y ¼ð3x þ 1Þ 3 ½a. f 1 : x! 2x; f 2 : x! x 5; f 3 : x! x 2 ; :::Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara 7

D 6 Date le funzioni f : x! x 2eg: x! x 3, determina f g e g f. ½ f g: x! x 3 2; g f : x!ðx 2Þ 3 Š D 7 Considera le funzioni f e g tali che f ðxþ ¼2x 1egðxÞ ¼x 2. Calcola f gðxþ e g f ðxþ. ½ f ðgðxþþ ¼ 2x 2 1; gðf ðxþþ ¼ ð2x 1Þ 2 Š Funzioni lineari a tratti Traccia il grafico delle seguenti funzioni e determinane dominio e codominio. x þ 1 per x 0 D 8 y ¼ ½D ¼ R; C ¼ ð 1 ; 3Þ[½1 ; þ1þš x 3 per x > 0 2 per 5 x < 1 D 9 y ¼ ½D ¼½ 5 ; 1Þ[ð1 ; þ1þ; C ¼½2 ; þ1þš 2x per x > 1 D 10 y ¼ ½D ¼ð 2 ; 0Š[½1 ; 3Þ; C ¼ð 5 ; 1Š[½6 ; 10ÞŠ D 11 y ¼ ½D ¼ ð 1 ; 1Š[½1 ; 3Þ; C ¼½2 ; þ1þš 8 3 per x < 3 2 " >< D 12 y ¼ 1 x per 3 x 2 D ¼ R; C ¼ 32 # ; 1 2 >: 1 per x > 2 8 < x per x 3 D 13 y ¼ x þ 3 per 3 < x < 0 ½D ¼ ð 1 ; 3Þ; C ¼ R þ ¼ð0 ; þ1þš : x þ 3 per 0 x < 3 ( x 1 per x 1 ½D ¼ R; C ¼ R þ 0 ¼½0 ; þ1þš 2x þ 12 per 6 < x < 4 D 15 y ¼ jxj per 4 x < 8 D ¼ð 6 ; 8Þ[ð8 ; þ1þ; C ¼½0 ; 8Š : 8 per x > 8 2x 1 1 2x D per 2 < x 0 per x 1 14 y ¼ 0;5x þ 0;5 per 1 < x < 1 2x þ 4 x þ 1 per 1 x < 3 per 1 x < 3 x per x 1 8 < 16 Il grafico in figura è quello di una funzione lineare a tratti. Determina il dominio, il codominio e una possibile legge matematica che definisca la funzione. ½D ¼ R f0 ; 3g; C ¼ R þ ¼ð0 ; þ1þ; :::Š 8 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi Q 2010 De Agostini Scuola SpA Novara