ESERCITAZIONE: CALCOLO APPROSSIMATO ED ERRORI

ESERCITAZIONE: CALCOLO APPROSSIMATO ED ERRORI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei

Esercizio 1 Se 2 x 2.5 e 5 y 6, fra quali limiti sono compresi i numeri x + y, y x, x y e y/x? 7 x + y 8.5 2.5 y x 4 1 3 x y 1 2 2 y x 3

Esercizio 2 È stato trovato un esemplare di lombrico ed è stata misurata la sua lunghezza; la misurazione è stata ripetuta per 4 volte ottenendo le seguenti misure in cm: 8.52, 8.51, 8.57, 8.56. Che cosa si può dire sulla lunghezza effettiva del lombrico? Come valore stimato della lunghezza del lombrico possiamo utilizzare la media aritmetica delle misure: 8.52 + 8.51 + 8.57 + 8.56 l s = = 34.16 = 8.54 4 4 Essendo le misurazioni comprese nell intervallo [8.51, 8.57], possiamo asserire che la lunghezza del lombrico è l = l s ± ɛ a = 8.54 ± 0.03 con un errore relativo pari a ɛ r = ɛa l s = 0.03 8.54 0.35%

Esercizio 3 Calcola il valore stimato e l errore assoluto della velocità media mantenuta percorrendo una distanza di 200 ± 5 km in un tempo di 4.0 ± 0.2 h. Ricorda che la velocità media è data dal rapporto tra la distanza percorsa ed il tempo impiegato a percorrerla: V = d t ɛ d r = ɛd a vs d = 5 200 = 2.5% ɛ t r = ɛt a vs t = 0.2 4 = 5% v V s = 200 4 = 50 Km/h ɛ V r = ɛd r + ɛt r = 7.5% ɛ V a = vv s ɛv r = 3.75 Km/h

Esercizio 4 L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa, espressa in Kg, e l altezza, espressa in m, al quadrato. Sapendo che Lucio ha massa 81 ± 3 Kg ed è alto 1.80 ± 0.03 m, determina valore stimato, errore assoluto ed errore relativo del suo IMC. IMC = m h 2, v IMC s = vm s 81 81 100 100 (vs h = = = 25. )2 1.802 180 180 Gli errori relativi della massa e dell altezza sono e m r = 3 81 = 1 27 3.70% eh r = 0.03 1.80 = 3 10 2 18 10 1 = 1 60 1.67%. ( e IMC 1 r = 27 + 2 ) 20 + 18 = = 19 7.04% = 3.70% + 2 1.67% 60 540 270 Poiché l errore relativo è il rapporto tra l errore assoluto ed il valore stimato e r = ea v s, l errore assoluto dell IMC si ottiene moltiplicando il valore stimato per l errore relativo: e IMC a = v IMC s e IMC 19 r = 25 270 = 95 54 1.76

Esercizio 5 Un certo batterio ha il corpo approssimativamente cilindrico con raggio di base r b = 1 ± 0.3 µm e volume V = 8 ± 2 µm 3. Determina valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della lunghezza del batterio. La lunghezza del batterio è data da l = V A b dove A b = π rb 2 ; quindi il suo valore stimato è Per gli errori relativi si ha l s = V s A s = 8 2.55 µm π b ɛ r r b = 0.3 1 = 0.3 ɛr V = 2 8 = 0.25 da cui (per un errore di stampa gli errori relativi sono alti, ma per semplicità risolviamo come se non lo fossero) ɛ r l = ɛr V + 2 ɛr r b = 0.85 L errore assoluto della lunghezza è allora ɛ a l = ls ɛ r l 2.17 µm

Esercizio 6 Una parte di tessuto adiposo estratta da un bisonte ha una forma approssimativamente cubica e la misura del suo volume vale 27 ± 0.3 cm 3. Calcola valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della misura delle dimensioni lineari. L errore assoluto nella misura del volume del tessuto adiposo del bisonte vale ɛ a V = 0.3 cm3, mentre l errore relativo ɛ r V = ɛa V V s = 0.3 27 = 3 270 = 1 90 Indicata con l la misura del lato del cubo il volume vale V = l 3, quindi il valore stimato di l (in cm 3 ) è L errore relativo della misura di l vale quindi l errore relativo di l 3 = V vale 3 ɛ r l ɛ r V = ɛr l 3 = 1 l s = 3 27 = 3 ɛ r l = ɛa l l s da cui 90 = 3 ɛr l = ɛr l = 1 270 Trovato l errore relativo della misura di l è facile ricavare l errore assoluto: ɛ a l = ls ɛ r l = 3 1 270 = 1 90

Prodotti notevoli I prodotti notevoli sono identità che consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all usuale applicazione delle regole del calcolo letterale; risultano inoltre molto utili nella risoluzione di equazioni e disequazioni. Differenza di quadrati Quadrato di un binomio Somma e differenza di cubi Cubo di un binomio a 2 b 2 = (a b) (a + b) (a ± b) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a 3 ± b 3 ) = (a ± b) (a 2 a b + b 2 ) (a ± b) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3

Esercizio 7 La somma di due numeri è 21 ed il loro prodotto è 7. Trova a) la somma dei loro quadrati; b) la somma delle loro quarte potenze; c) la somma dei loro reciproci. Una possibile soluzione sarebbe quella di cercare i due numeri soddisfacenti le condizioni del testo impostando un sistema di due equazioni (attenzione non è lineare!) e successivamente calcolare le quantità richieste: metodo lecito, ma non troppo rapido. Sappiamo che dove a e b sono i due numeri. a + b = 21 a b = 7 a, b R a) Per calcolare la somma dei quadrati di a e b possiamo procedere nel seguente modo: a 2 + b 2 = (a + b) 2 2 a b = 21 2 2 ( 7) = 441 + 14 = 455 b) Per calcolare la somma delle quarte potenze si adotta un metodo simile a quello del punto precedente: a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) 2 2 a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 2 (a b) 2 = 455 2 2 49 = 207025 98 = 206927 c) Per ottenere la somma dei reciproci si opera un semplice passaggio algebrico trasformando la somma di due frazioni in un unica frazione: 1 a + 1 b = a + b a b = 21 7 = 3

Esercizi 8-9-10 Considera quattro numeri reali a, b, c, d scelti a caso; se a > b e c > d quale delle seguenti disuguaglianze è corretta? a) a + d > b + c b) a d > b c c) a d > b c d) a/d > b/c Due numeri positivi x e y sono nel rapporto a/b con 0 < a < b. Se x + y = c, quanto vale il più piccolo tra x e y? Senza calcolatrice: è più grande 3 + 17 o 7 + 10? è più grande 2 ( 2 + 6) o 3 2 + 3? è più grande 5 992 o 2 + 5 31?

Esercizio 11 Supponi che a e b siano due numeri uguali. Allora a = b, da cui moltiplicando ambo i membri per b ricaviamo a b = b 2 Sottraendo a 2 ad entrambi i membri ricaviamo Raccogliendo (b a) si ha a b a 2 = b 2 a 2 a (b a) = (b + a) (b a) e semplificando si ha a = b + a. Ma a = b, quindi si ha a = 2 a e, semplificando, 1 = 2. Dov è l errore?