Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo. Tr di esse determinre l prbol p che, con l su simmetric q rispetto llorigine O, delimit un regione di re. Consttto che, per l prbol p risult, clcolre lre del qudriltero convesso individuto dgli ssi di riferimento e dlle tngenti lle due prbole p, q nel loro punto comune di sciss positiv. Considerto infine il qudriltero convesso vente per vertici i punti medi dei lti del qudriltero precedente, dimostrre che si trtt di un prllelogrmm e clcolrne lre. ) L simmetric dell prbol rispetto ll origine è tle che: p : S ( ) ( ) ( ) ( ) 7 L prbol di equzione h vertice V, mentre l 6 7 prbol S ( ) h vertice V S, 6 L prbol di equzione intersec l sse delle scisse nelle scisse ± 7, mentre l prbol S ( ) intersec l sse delle scisse ± 7 nelle scisse S,,. Le due prbole si intersecno nei punti forniti dl seguente sistem: S ± er cui i punti di intersezione sono,,, Rppresentimo le prbole su un unico grfico: www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol www.mtemticmente.it L re dell regione di pino di interesse non è ltro che: 6 ricv si Or imponendo che 6 6 d d Clcolimo le due tngenti nel punto ( ),. L tngente ll prbol di equzione h equzione ( ) m con ( ) I m per cui l tngente h equzione : t L tngente ll prbol di equzione S h equzione ( ) m con ( ) I S m per cui l tngente h equzione : t Considerimo l figur sottostnte:
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Clcolo dei punti, Q ed R. unto : (,.) unto Q: 6 Q,. unto R: 6 Q,. Or si h: www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol OQ OR QR OR O * OR 6 * 6 QR T * QR 6 6 * Quindi OQ OR QR 6 96 Considerimo or l figur seguente: I punti O, Q,, per come definiti punti medi dei segmenti hnno coordinte: www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol www.mtemticmente.it ( ) ( ),,,,,,,, Q O Q O Q Q O O Q O Clcolo rett O : : O : Q : Q O ( ) : Il qudriltero O Q h i lti due due prlleli come evidenzino i medesimi coefficienti ngolri delle coppie di rette O, Q e O Q,. Mostrimo or come i lti sono due due congruenti. Inftti ( ) 9 O Q Q O er dimostrre completmente che il qudriltero è un prllelogrmm bst notre che le coppie di rette (O Q,Q ), (Q, ), (, O ) e ( O,O Q ) non sono tr loro perpendicolri, per cui il qudriltero non è certmente un rettngolo, ed inoltre sfruttre un teorem che dice che in un prllelogrmm le digonli hnno lo stesso punto medio. Inftti in tl cso
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Q Q 9 O O,,, Il clcolo dell re può essere effettuto con l formul cnonic per un prllelogrmm: b * h Nel nostro cso considereremo come bse O Q 9 e come ltezz l distnz del punto dll rett O Q di equzione : h 9 er cui l re cerct è b * h 9 * 9 www.mtemticmente.it 6
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), è ssegnt l curv k di equzione:. Dopo ver studito l funzione f( ) (dominio, eventuli zeri ed estremi, sintoti di k), disegnre lndmento di k. Indict con t l tngente k prllel llsse delle scisse distint dllsse stesso, clcolre lre dell regione pin delimitt d k e d t. completmento del problem, prendere in esme le due seguenti proposizioni: Un funzione rele di vribile rele non derivbile in un punto non è continu in quel punto. Un funzione rele di vribile rele non continu in un punto non è derivbile in quel punto. Dire di ciscun se è ver o fls e fornire un esuriente giustificzione dell rispost. ) Studio dell funzione Dominio: (, ) (, ) Intersezione sse : Intersezione sse : ositività: >, in tl cso ricordndo che nel dominio > R {} llor > > < per cui > (,) (, ) sintoti verticli: 6 6, lim, lim sintoti orizzontli:, lim ± sintoti obliqui: non ce ne sono Crescenz e decrescenz: I ( ) ( ) che nel dominio > ( ) 6 Inoltre ( ) ( 6) II ( ) www.mtemticmente.it ( )( ) ( ) >., per cui II ( ) > (,) è un minimo II ( ) <, è un mssimo 6 ( ) > < > visto 7
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Inoltre II 6 ( ) ( 6) ( ) per cui lequzione divent sono le scisse dei due flessi t 6 t 6 t 6 risolvibile con l posizione t ( 7 ± ) ( 7 ± ) Il grfico è sotto rppresentto: L tngente prllel ll sse delle scisse distint dll sse stesso è l rett che pss per il punto di mssimo cioè è l rett di equzione t : er il clcolo dell re considerimo l figur seguente: www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol www.mtemticmente.it 9 Clcolimo i punti di intersezione tr l tngente t e l curv k: ( )( ), er cui l re richiest è ln ln ln ln d d d conclusione del problem prendimo in considerzione ognun delle due ffermzioni seguenti: ) Un funzione rele di vribile rele non derivbile in un punto non è continu in quel punto. Quest ffermzione è certmente fls dl momento che per funzioni reli di vribile rele l derivbilità l continuità per cui invertendo l ffermzione possimo dire che l non continuità l non derivbilità. ossimo portre un esempio lmpnte: l funzione è continu in dl momento che ( ) lim lim, mentre in l funzione non è derivbile dl momento che l derivt vle se > e (-) se < per cui lim lim
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol b) Un funzione rele di vribile rele non continu in un punto non è derivbile in quel punto. Quest ffermzione è ver e ne è stt dimostrt l sussistenz nel punto ), in cui bbimo evidenzito come per funzioni reli di vribile rele l derivbilità l continuità per cui l non continuità l non derivbilità. www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) Considerto il rettngolo CD, il cui lto D è lungo, dove è un lunghezz not, si M il punto medio del lto. Sull perpendicolre l pino del rettngolo condott per M, prendere un punto V in modo che il pino del tringolo VCD formi col pino del rettngolo un ngolo α tle che tg α /. Mostrre che l superficie lterle dell pirmide di vertice V e bse CD è costituit d due tringoli rettngoli e d due tringoli isosceli. Spendo che lre di tle superficie lterle è 9, clcolre l lunghezz di. Consttto che tle lunghezz è, condurre un pino σ prllelo ll bse dell pirmide e proiettre ortogonlmente su tle bse il poligono sezione di σ con l pirmide stess, ottenendo in questo modo un prism retto. Determinre l posizione di σ per l qule il volume di tle prism risult mssimo. completmento del problem, dimostrre che se i numeri reli positivi, vrino in modo che l loro somm si mnteng costnte llor il prodotto è mssimo qundo risult. Si consideri l figur sottostnte che present l geometri del problem: Innnzitutto, essendo M il punto medio del lto, ed essendo VM perpendicolre l lto stesso, llor ne consegue l congruenz dei tringoli rettngoli VM e VM d cui segue VV cioè il tringolo V è isoscele. Or : VM MHtg( α ) 6 VH VM MH 6 6 Fccimo or l seguente posizione :, > Si h: V VM M 6 www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol Il tringolo VMD è nch esso rettngolo per cui: ( M D ) VM ( 6 ) 6 VD MD VM Or notimo che: ( 6 ) 6 VD V D cioè il tringolo VD è rettngolo. nlogmente vle per l fcci oppost cioè VC è nch esso rettngolo. nche in tl cso dll congruenz dei tringoli rettngoli VD e VC discende VDVC cioè il tringolo VDC è isoscele. L re lterle è compost dll re dei tringoli VD, VC, V e VDC. L re dei tringoli VD e VC è l stess per le considerzioni ftte sopr e srà: V* D VD VC 6 L re di V è: L re di VDC è: er cui si h: * VM V 6 DC * VH VDC ( 6 ) 6 6 9 Or l soluzione dell equzione seguente: 6 si riconduce risolvere il sistem L equzione divent: ( 6 ) ( ) ( 6 ) ( ) > < www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol 6 9 ± 77 > 6 < 9 ( 9) ( ) 9 ± 6 er cui l soluzione ccettbile è d cui Si consideri or l figur seguente: onimo QM ET NS L limitzione goeometric impone VM 6. I tringoli VQL e VMH sono simili per cui: VQ : QL VM : MH ( 6 ) : QL ( 6 ) QL 6 : www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol nlogmente i tringoli ET e VM sono simili per cui: Il volume del prism retto srà: VM : M ET : T 6 : : T T ST MT ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) V b * h ( ST * T) * QM * * 6 9 9 con 6 Il volume così ricvto ssume vlore nullo gli estremi dell intervllo 6. Clcolimo or le derivte: 6 ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( 6)( ) > < > V I 6 9 I e con l limitzione 6 si h : V > < II V ( ) II V ( ) < er cui il volume mssimo è rggiunto qundo dell pirmide di cioè qundo il pino σ dist dll bse V 6 9 9 e tle volume mssimo vle ( ) L prte finle del problem consiste nell risoluzione del seguente sistem: > > z E vedere qundo viene mssimizzt l funzione z. Tle funzione può essere riscritt come: z ( ) www.mtemticmente.it
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol nche in tl cso ricvimo l derivt prim: z I > < > E poiché i due numeri sono positivi llor l funzione z è crescente per Clcolimo or l derivt second: z z II II 6 > D cui si evince che l funzione z ssume il vlore minimo per quindi il minimo lo si h se. >. d cui si ricv e www.mtemticmente.it