I NUMERI IMMAGINARI X + = 0 X = - I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata iniialmente per consentire di trovare tutte le soluioni delle equaioni polinomiali. Ad esempio, l'equaione X + = 0 non ha soluioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
L unità immaginaria in matematica i - Si definisce: i = unità immaginaria, i = - è un nuovo numero!! è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!!.
L unità immaginaria in elettrotecnica = - Si definisce: = unità immaginaria - 3
I NUMERI COMPLESSI a = parte reale b = coefficiente parte immaginaria = parte reale = coefficiente parte immaginaria a, b,, sono tutti numeri reali!! I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione: a + b + oppure 4
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA NUMERI COMPLESSI diagramma di Argand Gauss I due numeri, Sono chiamati complessi coniugati. Cambia solo il segno della parte immaginaria!! 5
DIAGRAMMA DI GAUSS SIGNIFICATO DEI SIMBOLI = numero complesso = parte reale ascissa di = parte immaginaria ordinata di r = = modulo di è la lunghea del vettore che parte dall origine e arriva a angolo formato tra il vettore r e il verso positivo delle ascisse è chiamato fase o argomento 6
RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO = r cos = r sen r = + r r r sen cos sen cos tg arctg 7
ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase = + = 3 + 4 Modulo: r = + = 9 + 6 =5 r = 5 Fase: = arctg / = arctg 4/3 = arctg,5 = 5,34 8
ESEMPI DI CALCOLO Passaggio da numero complesso a modulo e fase complesso coniugato Modulo: = - = 3-4 r = + = 3 +- 4 =5; r = 5 Fase: = arctg / = arctg - 4/3 = arctg-,5 = - 5,34 Nota: cambia solo la fase 9
ESEMPI DI CALCOLO: quadrante Im = - 3 + 0 Modulo: r + 0 r = + = -3 + 0 r = 9 + 00 = 09 r = 0,44 Fase: = arctg / - - 3 Re = arctg [0/- 3] = arctg- 3,33 = - 73,8 = 80 - = 80-73,8 = 06,7 0
- 0 Im r 3 ESEMPI DI CALCOLO : 4 quadrante Re = 3-0 Modulo: r = + = 3 + -0 r = 9 + 00 = 09 r = 0,44 Fase: = arctg / = arctg [-0/ 3] = arctg- 3,33 = - 73,8 Nota: negli ultimi due esempi cambia solo la fase si calcola sempre con il verso positivo dell asse reale
ESEMPI DI CALCOLO : 3 quadrante - 3 Im Re = - 3-0 Modulo: r = + = -3 + -0 r = 9 + 00 = 09 r = 0,44 r - 0 Fase: = arctg / = arctg [-0/- 3] = arctg 3,33 = 73,8 = - 80 - = - 80 + 73,8 = - 06,7
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI SOMMA = + = + + = + + + + = + + + Per effettuare la somma di due numeri complessi, come e, si sommano tra loro le parti reali + e le parti immaginarie + 3
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della somma + + + 4
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIFFERENZA = + = + - = + - + - = - + - Per effettuare la differena di due numeri complessi, come e, si sottraggono tra loro le parti reali - e le parti immaginarie - 5
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI significato geometrico della differena - - - 6
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI Esercii SOMMA DIFFERENZA = + = + 5 = + = 8 + + = + + + + =+8+5+ + = 0+7 = + = + 5 = + = 8 + - = - + - - =-8 + 5- - = - 6 + 3 7
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercii precedenti SOMMA 7 + 5 8 0 8
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI grafici degli esercii precedenti DIFFERENZA Im 5-3 Re - 6 8-9
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO = + ; = + * = + * + * = * + * + * + * * = * + * + * + * * = * + * + * + -* * Continua /. 0
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI PRODOTTO * = * + * + * - * * = * - * + * + * Parte reale Parte immaginaria Esempio: = + = -3+4; = + = 5 7 * = -3+4*5 7 = =-3*5+-3*- 7+4*5+4*-7= -5++0+8= = -5+8++0=3+4
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso, quindi con una parte reale ed una immaginaria. Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operaione chiamata raionaliaione.
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE = + ; = + L operaione di raionaliaione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la fraione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della fraione con il segno della parte immaginaria cambiata 3
4 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI DIVISIONE O FRAZIONE ] [ ]
5 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ] DIVISIONE O FRAZIONE Parte reale Parte immaginaria
6 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZI DIVISIONE O FRAZIONE 0 7 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 6 4 6 5 4 5 3 4 3 4 4 4 5 3 4 5 3 4 5 3 ; ;
7 LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI ESERCIZIO IMPORTANTE!!!!! da ricordare!!!