DIDATTICA DELLA MATEMATICA 5 Lezione
Perché fare i calcoli è difficile? Le scienze psicologiche mostrano che si tratta di un fenomeno cognitivo complesso che richiede l attivazione di diversi processi mentali. Quali sono le competenze cognitive necessarie per essere abili esecutori di calcoli? Accenniamo sinteticamente a due modelli Modello semantico di McCloskey Modello del triplo codice di Dehaene
Modello semantico di McCloskey McCloskey ha elaborato un modello modulare sui meccanismi del calcolo. Il modello presuppone tre sottosistemi: il sistema della comprensione, il sistema del calcolo e il sistema della produzione. Il sistema di comprensione prevede un modulo per la comprensione verbale, un modulo per la comprensione dello scritto con sottomoduli per la comprensione delle cifre arabiche, del testo o dei numeri romani. Il sistema di produzione è analogo al sistema di comprensione con l'ovvia differenza che la comprensione verbale diventa produzione verbale e la lettura diventa scrittura. Il sistema di calcolo prevede la memorizzazione delle operazioni, cioè un sistema per il recupero in memoria dei risultati dei calcoli, nel caso sia possibile e l'applicazione delle procedure di calcolo precedentemente apprese.
Modello semantico di McCloskey Le conoscenze delle procedure di calcolo prendono il nome di "conoscenze procedurali" mentre le conoscenze che si recuperano direttamente in memoria sono le "conoscenze dichiarative". Per eseguire delle semplici operazione è necessario che il bambino capisca cosa gli viene chiesto e traduca quanto richiesto in una rappresentazione semantica con la quale deve essere in grado di applicare le procedure. I bambini usano sia le conoscenze dichiarative che quelle procedurali per arrivare a rispondere correttamente ad un quesito di calcolo. Una volta applicate le procedure e trovato il risultato il bambino deve essere in grado di trasformare quanto prodotto in un output fatto in modo che possa essere interpretato dagli altri ai quali viene comunicato.
Nel modello di McCloskey la via semantica risulta quindi essere l unico accesso alla produzione numerica: l elaborazione di un numero comporta sempre una rappresentazione concettuale attraverso la quale vengono identificate le informazioni relative alla quantità. I meccanismi semantici regolano tale comprensione della quantità (3= ), concetto che viene astratto dal codice specifico in cui viene presentato il numero.
Il modello del triplo codice di Dehaene Tre diversi codici sono rappresentati in tre diverse aree cerebrali processamento codice arabico (aree occipitotemporali ventrali bilaterali) codifica verbale dei numeri (aree perisilviane sx) rappresentazione analogica delle quantità (aree intraparietali bilaterali) Tra i codici è possibile una comunicazione che non richiede di trasformare la forma numerica in un codice semantico astratto, in una rappresentazione astratta di quantità
Il codice arabico visivo richiede la padronanza dei sistemi di notazione posizionale delle cifre (sintassi) e viene utilizzato per eseguire operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. Il codice verbale /uditivo consente la numerazione e il recupero in memoria delle operazioni aritmetiche semplici di addizione e di moltiplicazione. Il codice della rappresentazione analogica dei numeri, di natura preverbale, elabora i numeri sotto forma di grandezze e fornisce le basi per il confronto numerico, le stime e le operazioni di subitizing.
Si possono rintracciare le influenze di tali modelli in tecniche o metodi o strumenti didattici in uso nella pratica didattica attuale. Il modello del triplo codice è, ad esempio, alla base del metodo analogico di Bortolato.
Affrontiamo ora due contenuti basilari Il sistema posizionale decimale Le frazioni e i numeri decimali
Nella lezione compaiono alcuni percorsi didattici documentati anche con immagini scannerizzate: tutto ciò è preso dal testo FARE MATEMATICA Dall esperienza al concetto: sviluppare il pensiero matematico passo dopo passo. di Barbieri, Davoli, Gorini, Longo, Radaelli, Sorgato, Visconti ; Edizioni Pearson Questo testo non figura tra i libri consigliati per il Corso di Didattica della matematica perché è uscito molto di recente; ritengo comunque che sia un testo che non può mancare nella biblioteca di un'insegnante della scuola primaria. I docenti autori del testo fanno parte dell associazione Ma.P.Es. ( Matematica, Pensiero, Esperienza) nata dall incontro di storie, esperienze e ricerche differenti ma originate dalla stessa tensione educativa.
Il sistema posizionale decimale Addizione e sottrazione in colonna Moltiplicazione e divisione in colonna Moltiplicare e dividere per 10, per 100 Numeri con la virgola Equivalenze
Un esempio di strategia didattica per il sistema in base 10 (dal testo «Fare matematica») Per insegnare il sistema decimale, facendo in modo che i bambini comprendano la sintassi della scrittura simbolica del numero, è utile proporre esperienze che aiutino gli alunni a crearsi un immagine del modo in cui, nelle nostre convenzioni, i numeri vengono, per così dire, inscatolati secondo una regola ripetitiva. Si possono fare giochi con tappi, stecchini, cannucce, proponendo ai bambini di raggrupparli per cinque, per tre, per dieci per far capire il criterio che si segue per inscatolare i numeri in una certa base. Si possono utilizzare storie per favorire la formazione di immagini mentali forti. Vediamo alcuni esempi.
La città del dieci
Il gioco del caporale È opportuno, per uno stesso argomento, proporre diversi giochi che esemplifichino la stessa struttura in differenti contesti, per evitare che un modello occupi totalmente la fantasia dei bambini. Presentare una molteplicità di modelli favorisce l emersione di ciò che è essenziale trattenere e che accomuna tutti gli esempi.
Il pastore Questa storia fa capire che si può utilizzare un simbolo per indicare un oggetto, ma anche un gruppo di oggetti (un quadratino al posto di 10 pecore); questa idea non è banale, per i bambini è una conquista che richiede un notevole grado di astrazione
Dal sistema posizionale alle procedure di calcolo a) Le «nostre» ragioni
Addizione e sottrazione in colonna Perché in colonna?.. Perché il riporto?.
Moltiplicare e dividere per 10, per 100.. Come.. Perché..
L algoritmo della moltiplicazione a) Il metodo tradizionale b)la moltiplicazione a gelosia c) La moltiplicazione cinese
Moltiplicazione Ad una cifra 34 7 = 30 + 4 7 = = 210 + 28 = 238 3 4 7 4 7 2 8 + 30 7 2 1 0 = 2 3 8 A due cifre 34 27 = 34 (20 + 7) = = 34 20 + 34 7=680 + 238 = 918 3 4 2 7 34 7 2 3 8 + 34 20 6 8 0 = 9 1 8
Il metodo a gelosia per la moltiplicazione 135 47 Confrontiamo con la normale procedura 1 3 5 4 7 = 9 4 5 5 4 0 0 6 3 4 5
La moltiplicazione cinese
divisione 1241: 7? Iniziamo con le centinaia: 12c. = 7 1c. +5c. Ora le decine: 54d. = 7 7d. +5d. Ora le unità: 51u. = 7 7u. +2u. 1 2 4 1 7 7 1 7 7 5 4 4 9 5 1 4 9 2 1241 = 7 177 + 2 Analogamente si procede con due cifre.
Le procedure di calcolo descritte funzionano in ogni sistema posizionale, qualunque sia la base. Verifichiamolo operando in un altra base: 243 5 + 332 5 = 511 6 252 6 = 112 3 201 3 = 642 7 5 7 =
Dal sistema posizionale alle procedure di calcolo b) Si possono «reinventare» le procedure?
Addizione e sottrazione in colonna
La moltiplicazione in colonna
Nel video di cui si da il riferimento si può vedere come vengono trattate le operazioni in colonna nel metodo Bortolato https://youtu.be/qwnf5fb3mjq
Le frazioni problemi Numeri decimali percentuali Misure
Perché le frazioni sono difficili? Si possono rappresentare in vari modi Possono avere molti significati Sono in rapporto con tipi differenti di situazioni «Per superare la difficoltà occorre costruire itinerari ragionevoli., partire da esperienze ricche e da problemi perché ciascun allievo possa esplorare i significati, formare immagini mentali e schemi di riferimento» (Anna Paola Longo Le frazioni nella struttura moltiplicativa: nodi concettuali ed ostacoli ; l articolo è allegato alla presente lezione)
NOTA BENE Due prerequisiti da controllare: - Concetto di intero e non intero (es. La tua merendina è intera? La cancellina che stai usando è intera?) - Concetto di frazionare in parti uguali fare molti esercizi concreti sulla differenza tra dividere a caso (es. un piatto che si rompe) e dividere in parti uguali. N.B.: Parti uguali: può essere ambiguo. Cosa deve essere uguale?
Ma si deve iniziare dalla solita torta? Il testo Fare matematica (già citato) propone un approccio diverso. 1) Suddividere in parti uguali Piero, presso una cartoleria, ha vinto 450 buoni validi per fare acquisti. Divide in parti uguali i 450 buoni e pone ogni parte dentro una busta. Li sfrutta tutti. Per l acquisto di quaderni spende l importo di 4 buste Per matite e penne spende l importo delle rimanenti 5 buste. Domande: Quante buste riempie Piero Quanti buoni mette in ciascuna busta? Quanti buoni spende per i quaderni? Quanti buoni spende per matite e penne? Il problema è lasciato ai bambini con bigliettini e buste, per dare loro la possibilità di cercare da soli le risposte alle domande, fornendo un modello che aiuti a comprendere bene la struttura della situazione
2) Prestare attenzione alla quantità iniziale Viene dato di nuovo il problema precedente, ma i buoni sono 270: si vuole mettere in evidenza che, al variare della quantità iniziale, varia il contenuto in ciascuna busta; nel linguaggio delle frazioni ( che si introdurrà in seguito) significa che ad 1 possono corrispondere varie 9 quantità al variare della quantità iniziale. Infatti, quando si lavora direttamente con le frazioni, questo fatto costituisce uno degli elementi di difficoltà per i bambini.
3) Esperienze propedeutiche alle frazioni equivalenti Viene dato lo stesso problema con lo stesso dato iniziale (450 buoni) ma questa volta le buste sono 18; le buste per i quaderni sono 8, quelle per matite e penne sono 10. Si vuole, in tal modo, che i bambini abbiano una base di esperienza che li aiuti a comprendere successivamente il concetto di equivalenza tra frazioni.
4) Una rappresentazione geometrica È immediato osservare che una parte del problema 1 corrisponde a due parti del problema 3. La rappresentazione geometrica può essere molto utile per visualizzare la struttura della situazione e quindi per comprenderla più a fondo.
5) L unità frazionaria e il simbolo della frazione Poiché abbiamo frazionato in parti uguali i 450 buoni ciascuna parte si può chiamare unità frazionaria e, man mano che i bambini prendono familiarità con le operazioni da svolgere, si può suggerire di rappresentare una busta su nove con 1 un nuovo simbolo: 9 e successivamente arrivare al multiplo dell unità frazionaria. Si può a questo punto riformulare il problema di partenza utilizzando il linguaggio delle frazioni. Piero, presso una cartoleria, ha vinto 450 buoni validi per fare acquisti.. Per l acquisto di quaderni spende 4 di 450 buoni 9 Per matite e penne spende 5 di 450 buoni 9 Domande: Quanto vale 1 di 450 buoni? 9 Quanti buoni spende per i quaderni? Quanti buoni spende per matite e penne?
Si può a questo punto anche dare i nomi alle parti che compongono a b : b denomina in quante parti è diviso l intero (denominatore), a indica il numero delle parti da prendere (numeratore). Il percorso proposto non ancora la frazione rigidamente ad un intero (la torta) e quindi, con opportuni nuovi problemi, non sarà difficile introdurre frazioni con il numeratore maggiore o uguale al denominatore. Inoltre questo approccio usa da subito la frazione come operatore su collezioni finite di oggetti e quindi, al momento opportuno i bambini potranno usarle anche per operare su grandezze continue come lunghezze, aree, capacità. Da ultimo il terreno è anche pronto per riconoscere come equivalenti quelle frazioni che esprimono la stessa quantità rispetto allo stesso intero.
Frazione come operatore: una precisazione Nel citato articolo leggiamo:
UNA ATTENZIONE A volte, per facilitare i propri alunni si è tentati di fornire degli schemi riassuntivi del tipo: «Per trovare una parte conoscendo l intero si divide per il denominatore e si moltiplica per il numeratore.» «Per trovare l intero conoscendo una parte si divide per il numeratore e si moltiplica per il denominatore» Non è assolutamente opportuno, a meno che non sia una sintesi a cui arrivano gli alunni stessi. Occorre comunque sempre evitare che si applichino schemi, senza che se ne sappiano dare chiare ragioni. Oltretutto gli schemi privi di significato si dimenticano con estrema facilità!!!!
Un interessante collegamento (ad uso dei docenti) Una frazione impropria contiene almeno un intero. 7 Es.: = 1 + 1 ; 15 = 3 + 3 6 6 4 4 Ritroviamo, in altra forma, la divisione con il resto! Infatti: 7 = 6 1 + 1 Dividiamo ambo i membri per 6 ( grazie ad una proprietà delle uguaglianze) 7 6 = 6 1 + 1 6 e applichiamo la proprietà distributiva: 7 6 = 6 6 + 1 6 7 6 = 1 + 1 6 N.B.: avere la consapevolezza delle relazioni che legano oggetti o contenuti diversi aiuta ad avere uno sguardo più acuto e una attenzione più consapevole ai passi e alle scoperte dei bambini
DALLE FRAZIONI AI NUMERI DECIMALI CON VIRGOLA
Riprendiamo un concetto importante Le frazioni e i numeri decimali (con o senza virgola) sono due modi diversi di esprimere lo stesso ente: il numero razionale. Un numero razionale può essere quindi rappresentato da: Infinite frazioni tra loro equivalenti Il numero decimale corrispondente alle frazioni Esempio: 0,6 = 3 5 = 6 10 = 9 15 =
Non è certamente questo un contenuto da spendere nella scuola primaria, ma è certamente una consapevolezza da avere quando si affronta la relazione fra le due scritture del numero razionale, per evitare l insorgere di dannosi misconcetti e soprattutto per fare emergere nel tempo la coscienza dell identità di significato delle due scritture. Ciò permetterà successivamente al ragazzo di utilizzare senza rigidità le due scritture, scegliendo la forma più adatta al contesto che si affronta.
È possibile un percorso di reinvenzione guidata? Per guidare i bambini a reinventare i numeri decimali (con la virgola!) è necessario che il docente faccia per primo lui il percorso, trovi per primo lui le ragioni della necessità di tali numeri. Quella che segue è una proposta non sperimentata in classe
Prerequisito Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 10? Facendo prove ed osservazioni si arriva a riconoscere che al numero si aggiunge uno 0 come ultima cifra e quindi le cifre scorrono tutte di un posto verso sinistra Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 100? Facendo prove ed osservazioni si arriva a riconoscere che al numero si aggiungono due 0 come ultime cifre e quindi le cifre scorrono tutte di due posti verso sinistra Cosa accade al numero se moltiplichiamo per 1000?
E se dividiamo per 10? 150: 10 = 15 ; 1200: 10 = 120 Il numero perde uno zero e le altre cifre scorrono di un posto verso destra. Ma se non ci sono zeri? Approfondiamo il significato dell operazione
DIVIDERE PER 10: torniamo alle frazioni Prendiamo un bastoncino e dividiamolo per 10, cioè in 10 parti Se usiamo le frazioni ogni parte vale 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10
DIVIDERE PER 10: alla ricerca del numero 1: 10 possiamo scriverlo come numero? Riflettiamo: se dividendo per 10 le cifre si spostano verso destra, dovremmo creare qualcosa a destra della cifra dell unità. Mettiamo una virgola per separare e spostiamo 1: 10 0,1 Nel numero 0,1 la cifra 1 rappresenta la decima parte dell unità cioè è la cifra dei decimi Generalizzando: 1: 100 0,01 e così via
È un ipotesi che, per essere concretizzata, ha bisogno di essere implementata con la presentazione di problemi e situazioni con cui sollecitare la discussione e stimolare la capacità inventiva dei bambini. In alternativa si può sfruttare la necessità di fare misure più precise: dovendo utilizzare i sottomultipli del metro o del chilogrammo ci si porrà il problema di come scriverli.
N.B.: Il passaggio dalla frazione al numero decimale permette di guardare alla frazione come un quoziente. Nell articolo citato prima leggiamo:
CONSEGUENZE Corrispondenza tra numero decimale e frazione: 0,3 = 3 10 ; 0,43 = 4 10 + 3 100 = 43 100 ; 133 10 = 13,3;.. Notazione posizionale: es: 1214,543 1 2 1 4 5 4 3 migliaia centinaia decine unità decimi centesim i millesimi Moltiplicare per 10: spostare le cifre verso sinistra di un posto e quindi la virgola verso destra di un posto. Ciò vuol dire che ogni cifra acquisisce il valore di una unità di ordine superiore rispetto al valore precedente. Dividere per 10: spostare le cifre verso destra di un posto e quindi la virgola verso sinistra di un posto. Ciò vuol dire che ogni cifra acquisisce il valore di una unità di ordine inferiore rispetto al valore precedente.
Alcune rappresentazioni utili L abaco La linea dei numeri
Ordinamento e linea dei numeri E importante presentare occasioni che portino a fare esercizi di ordinamento: qual è il più grande tra due, o mettere in sequenza dal maggiore al minore o viceversa; rinforza l acquisizione del concetto di maggiore e aiuta il docente a riconoscere eventuali punti critici. Se un bambino scrive: 2,37 > 2,4 cosa non gli è chiaro? Probabilmente il sistema posizionale in relazione alle cifre decimali. Con la linea dei numeri riconoscere quale numero è maggiore o minore è più semplice.
Operazioni con i numeri con la virgola Se lo schema del sistema posizionale è stato ben acquisito ed è chiara la sua estensione ai numeri con la virgola, si potranno introdurre gli algoritmi delle quattro operazioni come estensione degli algoritmi già conosciuti, a cui si deve aggiungere una strategia per la gestione della virgola