DIDATTICA DELLA MATEMATICA. 4 Lezione 9/10/2017

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1 DIDATTICA DELLA MATEMATICA 4 Lezione 9/10/2017

2 Sussidi didattici e metafore concettuali Ci si può a tal punto interrogare sui sussidi alla luce delle metafore sopra esposte: si può dire che funzionano anche perché in qualche modo le realizzano materialmente? Tentiamo una associazione: Regoli Sussidio Metafora Costruzione di oggetti e asta di misurazione Contafacile Linea del 20 Abaco Linea dei numeri Collezione e costruzione di oggetti Collezione e costruzione di oggetti Collezione e costruzione di oggetti Moto lungo un percorso N.B.: il fatto che sussidi diversi attualizzino metafore diverse ci può far concordare con il suggerimento contenuto nell articolo di Locatello-Meloni-Sbaragli di utilizzare criticamente i sussidi, senza fossilizzarsi su uno solo di essi.

3 Il Contafacile

4 VIDEO Contafacile atch?v=fodwyqm4vh0

5 Il metodo analogico e la linea del 20 di Bortolato

6 Il metodo analogico può essere definito un metodo non concettuale, perché a differenza delle proposte didattiche che promuovono un apprendimento di tipo concettuale, non si interessa inizialmente dei numeri scritti, ma pone l attenzione alle immagini interne della mente che lavora in modo intuitivo. L obiettivo principale è, quindi, quello che i bambini conoscano i numeri ed eseguano i primi calcoli senza preoccuparsi di sapere che cosa sono i numeri e senza bisogno di conoscere il significato delle operazioni aritmetiche. E fondamentale precostituire una struttura d ordine su cui appoggiare gli oggetti, le quantità. Sistemando le quantità sempre nello stesso ordine, un ordine che deve essere semplice, conforme alle caratteristiche della nostra mente e replicabile in tutte le dimensioni, il bambino sarà in grado di leggerle istantaneamente (subtizing) basandosi sulla posizione considerata in se stessa, evitando i conteggi parziali e finali.

7 VIDEO Linea del 20 atch?v=7vptdqnhxhw

8 Numeri e numerali Il numero è un concetto, il numerale è la scrittura simbolica del numero; nell aritmetica innata, ovviamente, ci sono i numeri, ma non i numerali. Confrontando i numerali romani con quelli indo-arabi, si nota che lo stesso numero è rappresentato da numerali diversi. Si può verificare che alla base di entrambe le scritture ci sono le stesse metafore fondanti, ma la logica di simbolizzazione è diversa.

9 Come ci sono diversi modi di rappresentare il numero con modelli concreti, così nella storia ci sono stati molti e diversi modi di rappresentare il numero con simboli. Fin dalla classe prima si possono proporre alcune modalità di scrittura dei numeri e lavorare con esse. Una attività di questo tipo può aiutare a far crescere la consapevolezza della differenza tra il numero e la sua rappresentazione. Di seguito propongo alcuni esempi.

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11 Proviamo a scrivere:

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14 La scrittura posizionale dei numeri Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale decimale decimale perché le cifre sono dieci posizionale perché ogni cifra del numero assume un valore in funzione della posizione. Es.: migliaia centinaia decine unità

15 Ogni numero, quindi, viene espresso da più cifre affiancate, ciascuna delle quali ha peso diverso a seconda della posizione che occupa. Il peso di ciascuna cifra è espresso da una potenza che ha per base la base del sistema, quindi 10, e per esponente la posizione della cifra rispetto alla prima cifra di destra che ha posizione 0. cioè: 6743= (scrittura polinomiale del numero) Quindi: il valore associato a ciascuna cifra è dato dal prodotto del peso per il numero della cifra il valore associato al numero è dato dalla somma del valore di ciascuna cifra.

16 Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini sono raggruppati di tre in tre (unità, decine e centinaia) formando le classi, che assumono nomi particolari (unità, migliaia, milioni, miliardi). miliardi milioni migliaia unità c d u c d u c d u c d u Dieci unità di un ordine formano l unità dell ordine successivo. N.B.: con lo stesso metodo si può scrivere un numero in qualunque base

17 La numerazione romana Il sistema di numerazione romano è un sistema di tipo additivo, dove ad ogni simbolo è associato un valore e il numero rappresentato è dato dalla somma dei valori dei simboli. Al termine della loro evoluzione, i simboli di questo sistema di numerazione,

18 La numerazione romana: le regole All'interno di un numero romano i simboli I, X, C e M possono essere ripetuti consecutivamente, di norma, al massimo tre volte, mentre i simboli V, L e D non possono essere mai inseriti più di una volta consecutiva. Esistono, però, anche forme con quattro simboli, come ad esempio il quattro IIII, che viene riportato in alcune epigrafi antiche del Lazio (come ad esempio nei 76 degli 80 ingressi del Colosseo destinati al pubblico) e dell'etruria (soprattutto) ed in altre zone. Va comunque sottolineato che alcune epigrafi ritrovate a Pompei presentano il quattro nella forma medioevale IV. Una sequenza (ovvero una stringa) di simboli che non presenta mai valori crescenti denota l'intero ottenuto sommando i valori dei simboli indicati (principio di sommazione per giustapposizione); esempi : II = 2, XI = 11, XVIII = 18, CXV = 115, DLII = 552, MMVII = 2007.

19 La numerazione romana: le regole Quando si incontra un simbolo seguito da un secondo simbolo di valore maggiore si ha come risultato la differenza tra i due (principio di differenza); esempi: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900. Sono accettabili anche stringhe formate da coppie del tipo precedente e simboli, purché si passi da una coppia a una coppia di valore inferiore, da un simbolo a una coppia di simboli entrambi inferiori e da una coppia a un simbolo inferiore di entrambi i membri della coppia. Solo I, X e C possono essere usati in senso sottrattivo.

20 Sistemi di numerazione e calcoli Da un punto di vista cognitivo la lettura di un numerale romano richiede una attività cognitiva più intensa rispetto a quando si usa la notazione decimale; tanto più quando si deve calcolare: un sistema di calcoli basato sui numerali romani richiederebbe uno sforzo cognitivo proibitivo. Per tale ragione si può parlare di superiorità del sistema numerico posizionale: usando gli algoritmi possiamo eseguire calcoli efficienti, operando sui numerali, senza necessariamente attivare il livello della comprensione. Potremmo eseguire calcoli corretti senza avere nessuna idea del loro significato! Per tale ragione è necessario, nelle operazioni, stimolare continuamente la consapevolezza. Si tornerà su tale punto in seguito.

21 Il sistema del calcolo Secondo le più recenti ricerche il sistema del calcolo sembra essere organizzato secondo tre livelli, che si attivano in relazione alle richieste: Segni delle operazioni: consente di attribuire al segno algebrico le relative procedure di calcolo Fatti aritmetici: tabelline, calcoli semplici, altri risultati memorizzati Procedure del calcolo: regole di esecuzione degli algoritmi

22 Perché fare i calcoli è difficile? Le scienze psicologiche mostrano che si tratta di un fenomeno cognitivo complesso che richiede l attivazione di diversi processi mentali. Quali sono le competenze cognitive necessarie per essere abili esecutori di calcoli? Secondo alcuni ricercatori l uso dei numeri e l esecuzione dei calcoli presuppongono la loro comprensione, mentre secondo altri la codifica semantica non è strettamente necessaria. Accenniamo sinteticamente a due modelli: Modello semantico di McCloskey Modello del triplo codice di Dehaene

23 Modello semantico di McCloskey McCloskey ha elaborato un modello modulare sui meccanismi del calcolo. Il modello presuppone tre sottosistemi: il sistema della comprensione, il sistema del calcolo e il sistema della produzione. Il sistema di comprensione prevede un modulo per la comprensione verbale, un modulo per la comprensione dello scritto con sottomoduli per la comprensione delle cifre arabiche, del testo o dei numeri romani. Il sistema di produzione è analogo al sistema di comprensione con l'ovvia differenza che la comprensione verbale diventa produzione verbale e la lettura diventa scrittura. Il sistema di calcolo prevede la memorizzazione delle operazioni, cioè un sistema per il recupero in memoria dei risultati dei calcoli, nel caso sia possibile e l'applicazione delle procedure di calcolo precedentemente apprese.

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25 Modello semantico di McCloskey Le conoscenze delle procedure di calcolo prendono il nome di "conoscenze procedurali" mentre le conoscenze che si recuperano direttamente in memoria sono le "conoscenze dichiarative". Per eseguire delle semplici operazione è necessario che il bambino capisca cosa gli viene chiesto e traduca quanto richiesto in una rappresentazione semantica con la quale deve essere in grado di applicare le procedure. I bambini usano sia le conoscenze dichiarative che quelle procedurali per arrivare a rispondere correttamente ad un quesito di calcolo. Una volta applicate le procedure e trovato il risultato il bambino deve essere in grado di trasformare quanto prodotto in un output fatto in modo che possa essere interpretato dagli altri ai quali viene comunicato.

26 Nel modello di McCloskey la via semantica risulta quindi essere l unico accesso alla produzione numerica: l elaborazione di un numero comporta sempre una rappresentazione concettuale attraverso la quale vengono identificate le informazioni relative alla quantità. I meccanismi semantici regolano tale comprensione della quantità (3= ), concetto che viene astratto dal codice specifico in cui viene presentato il numero.

27 Il modello del triplo codice di Dehaene Tre diversi codici sono rappresentati in tre diverse aree cerebrali processamento codice arabico (aree occipitotemporali ventrali bilaterali) codifica verbale dei numeri (aree perisilviane sx) rappresentazione analogica delle quantità (aree intraparietali bilaterali) Tra i codici è possibile una comunicazione che non richiede di trasformare la forma numerica in un codice semantico astratto, in una rappresentazione astratta di quantità.

28 Il codice arabico visivo richiede la padronanza dei sistemi di notazione posizionale delle cifre (sintassi) e viene utilizzato per eseguire operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. Il codice verbale /uditivo consente la numerazione e il recupero in memoria delle operazioni aritmetiche semplici di addizione e di moltiplicazione. Il codice della rappresentazione analogica dei numeri, di natura preverbale, elabora i numeri sotto forma di grandezze e fornisce le basi per il confronto numerico, le stime e le operazioni di subitizing.

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30 In questo modello il codice grandezza, che costituisce un passaggio obbligato in alcuni compiti aritmetici come la stima e il calcolo approssimato, non risulta indispensabile per il calcolo scritto e i fatti aritmetici. La via semantica sarebbe quindi una via indiretta, che viene attivata solo per alcuni compiti. Il fatto che alcuni bambini con deficit cognitivo in prove di codifica semantica abbiano ottime prestazioni nel sistema del calcolo sembra, almeno in parte, dare ragione all esistenza di una via indiretta.

31 In sintesi: differenze tra i due modelli di calcolo Ogni compito numerico o aritmetico, nel modello di McCloskey deve passare attraverso una rappresentazione interna astratta, che impone la codifica semantica del materiale elaborato. Questo accadrebbe per qualunque compito, cioè sia che si tratti di numeri sia che questi vengano utilizzati per eseguire calcoli aritmetici. Nel modello del triplo codice di Dehaene invece, il codice grandezza, che come la rappresentazione interna astratta permette di determinare le caratteristiche degli stimoli trattati, costituisce un passaggio obbligato in alcuni compiti numerici e aritmetici, in particolare la stima e il calcolo approssimato, ma non risulta di per sé indispensabile per altre attività, tra cui il calcolo scritto e i fatti aritmetici. La relazione tra l elaborazione e l utilizzo del materiale numerico e la sua elaborazione semantica non costituirebbe quindi un passaggio diretto, quanto piuttosto una via indiretta, che viene attivata solo per alcuni compiti e non necessariamente per altri.

32 Si possono rintracciare le influenze di tali modelli in tecniche o metodi o strumenti didattici in uso nella pratica didattica attuale. Il modello del triplo codice è, ad esempio, alla base del metodo analogico di Bortolato.

33 Laurent Lafforgue, Il calcolo nella scuola primaria L intimità con i numeri si costruisce: mediante l acquisizione di automatismi (una perfetta conoscenza delle tavole dell addizione e della moltiplicazione, oltre alla pratica degli algoritmi di calcolo scritto e mentale delle quattro operazioni); mediante la diversificazione delle situazioni (la manipolazione dei numeri e le operazioni su di essi, sia in diversi contesti concreti dove intervengono grandezze fisiche, che in astratto); mediante una molteplicità di esempi di applicazioni (come la conoscenza di un buon numero di formule di superfici e di volumi), dei quali vengono messe in evidenza analogie e differenze; mediante la diversificazione degli approcci (per esempio, il calcolo mentale e il calcolo in colonna come due modalità di calcolo); mediante la creazione di una rete di collegamenti (per esempio, la corrispondenza tra la scrittura decimale e i sistemi di multipli e sotto multipli delle unità di misura usuali, oppure l equivalenza tra le due scritture di un numero decimale, quella con la virgola e quella come frazione con denominatore una potenza di 10).

34 Tipologie di calcolo Calcolo mentale Calcolo semiscritto Calcolo scritto

35 Tipologie di calcolo e Indicazioni Nazionali Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo. Conoscere con sicurezza le tabelline della moltiplicazione dei numeri fino a 10. Eseguire le operazioni con i numeri naturali con gli algoritmi scritti usuali. Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice a seconda delle situazioni. Eseguire la divisione con resto fra numeri naturali; individuare multipli e divisori di un numero. Stimare il risultato di una operazione.

36 Il calcolo mentale Già in età prescolare è possibile rilevare l utilizzo di strategie più o meno avanzate. Siegler e Mitchell hanno individuato alcuni tipi di strategie che usano i bambini per eseguire semplici operazioni mentali: il conteggio esplicito con le dita la «strategia delle dita» senza evidente conteggio Il conteggio verbale ad alta voce senza il supporto delle dita o di altri referenti specifici. In altri casi, dal comportamento dei bambini non si riesce a desumere una strategia specifica.

37 Il calcolo mentale Quando i numeri del calcolo diventano più grandi si può ipotizzare una progressiva evoluzione delle strategie utilizzate dai bambini: si passa dalle strategie di conteggio a strategie basate sul recupero dei fatti aritmetici e delle procedure del calcolo, cioè sul recupero mnemonico dei risultati dei calcoli e delle procedure tipiche delle operazioni. Questa evoluzione può essere favorita, sostenuta e sviluppata con opportuni interventi didattici. Alcuni studiosi di didattica suggeriscono di forzare l utilizzo del calcolo mentale prima di passare al calcolo scritto. Vediamo, di seguito, alcuni esempi.

38 Strategie per il calcolo mentale I seguenti materiali sono in uso in molte scuole primarie di Bolzano: Materiali Scatoline e operazioni Muretti Numeri al termine della seconda classe Calcolo mentale al mille

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40 Il camaleonte

41 Strategie per il calcolo mentale Si possono poi organizzare delle attività per scoprire dei trucchi (utilizzando le proprietà delle operazioni), come ad es.: per sommare 9, si somma prima 10 poi si toglie 1 per sommare 99 si somma 100 e si toglie = ( ) + ( ) = ( ) + (8 + 5) = = = ( ) ( ) = = = (5 2) 7 = = (45 2) 4 = 90 4 = 360

42 Strategie per il calcolo mentale: facciamo una gara Si può organizzare un gioco dove i ragazzi sono i protagonisti: inventano espressioni calcolabili a mente (facendo ricorso alle strategie di calcolo note) e trovano i risultati attivando le competenze di calcolo mentale acquisite. Si divide la classe in gruppi che hanno il compito di inventare espressioni con una struttura analoga a quelle viste. Svolgimento della gara I gruppi elaborano, in un tempo stabilito dal docente, gli esercizi e scrivono le espressioni su un foglio che viene piegato in due parti Il docente, dopo aver verificato la congruenza tra l esercizio elaborato dagli allievi e la consegna data, mette ciascun foglietto in una cesta Ultimata la raccolta dei foglietti, l insegnante dà il via alla gara che si può svolgere a livello individuale o per gruppi L insegnante estrae un foglietto e scrive alla lavagna l esercizio Il gruppo che per primo dà la risposta esatta conquista un punto Esauriti i fogli depositati nella cesta, si procede al conteggio dei punti totalizzati Si proclama il vincitore o i vincitori Il gioco può essere riproposto a distanza di qualche settimana, lasciando ai ragazzi il tempo di sedimentare le conoscenze acquisite.

43 Il calcolo semiscritto Nelle scuole tedesche o di lingua tedesca, oltre al calcolo mentale e al calcolo scritto, si lavora con una procedura di calcolo chiamata halbschriftliches Rechnen letteralmente calcolo semiscritto. In questo tipo di calcolo i conteggi eseguiti mentalmente vengono sostenuti da annotazioni scritte; si parla infatti di calcolo mentale con appoggio. Vengono annotate passo passo tutte le operazioni che si svolgono fino al risultato finale. È importante sottolineare che i bambini che utilizzano l Halbschriftliches Rachnen tengono conto di tutto il numero e non delle singole cifre.

44 Questo modo di calcolare è contraddistinto dalle seguenti caratteristiche: le vie del calcolo non sono date a priori, a differenza di quanto avviene per gli algoritmi scritti; anche il modo di annotare non è stabilito a priori; i bambini possono non annotare tutti i passaggi parziali; la strategia risolutiva più adeguata dipende dai valori numerici presenti nell esercizio. In allegato riporto alcuni esempi

45 Il calcolo scritto Tralascio, nelle slide, di riprendere le procedure note, invitando comunque ognuno a ritrovare e approfondire le ragioni di ogni singola procedura. Riporto invece di seguito alcune procedure per la moltiplicazione non note o meno note, invitando a capire perché funzionano, cioè qual è la loro logica. Un lavoro di questo tipo aiuta a focalizzare meglio la differenza che c è tra significato dell operazione e algoritmo di risoluzione.

46 Moltiplicazione a gelosia =

47 Metodo degli incroci o moltiplicazione cinese = 6908

48 Moltiplicazione per scapezzo o per spezzato Consiste nel ridurre entrambi i fattori in numeri più piccoli e meglio trattabili, applicando cioè la proprietà distributiva. Nell esempio si esegue l operazione 12 15; i due fattori 12 e 15 vengono frantumati rispettivamente in 10 e 2, e 10 e 5 e disposti a lato del rettangolo. Alla fine vengono sommati tutti i risultati.

49 Moltiplicazione per crocetta o casella Si scrivono i due fattori incolonnati spaziando un po le cifre; si uniscono a due a due le cifre in alto con quelle in basso: questo creerà una serie di incroci ; si considerano le intersezioni con la linea mediana (in rosso); moltiplicando n cifre per m cifre gli incroci intersecano la linea mediana in n + m - 1 punti; in corrispondenza di ciascuno di questi punti si considerano i prodotti delle cifre agli estremi dei segmenti che convergono in quel punto (in rosso nell esempio) e si scrive sotto ogni incrocio la cifra delle unità del numero che si ottiene sommando i prodotti di quell incrocio (in blu nell esempio); le decine si riportano al punto successivo = Provate con numeri a due cifre e vedrete che non è difficile.