Le disequazioni frazionarie (o fratte) Una disequazione si dice frazionaria (o fratta) se l'incognita compare al denominatore. Esempi di disequazioni fratte sono: 0 ; ; < 0 ; ; Come per le equazioni fratte, la prima cosa da fare quando l'incognita compare al denominatore è determinare quei valori che, assegnati all incognita, fanno perdere di significato alla disequazione. Occorre cioè stabilire le cosiddette condizioni di esistenza. Ricordate infatti che, ad esempio, non è possibile dividere per zero. Una volta fatto questo la risoluzione della disequazione fratta si riduce al confronto di due disequazioni non fratte. Vediamo come: Metodo risolutivo delle disequazioni fratte ) Data una disequazione fratta riconduciamola a una delle forme seguenti: ) Stabiliamo le condizioni di esistenza della disequazione ponendo: D ( ) 0 ) Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Questo significa porre il numeratore maggiore di zero (maggiore o uguale, se l'uguale compare anche nella disequazione), e il denominatore strettamente maggiore di zero (in modo da evitare i punti dove si annulla). In questo modo potremo capire dove numeratore e denominatore sono, separatamente, positivi, negativi o nulli. In sostanza dobbiamo risolvere sempre, indipendentemente dal verso del simbolo di disequazione fratta: N ( ) 0 o eventualemente N ( ) 0 e D ( ) 0 ) Otteniamo così delle soluzioni per le due disequazioni, sappiamo che queste soluzioni sono degli intervalli. Rappresentiamo graficamente tali soluzioni in una tabella di questo
tipo (stiamo supponendo che le soluzioni della prima disequazione sono nell intervallo, b, c, ): ] a] U [ [ mentre le soluzioni della seconda disequazione sono nell intervallo ] [ Nella prima riga abbiamo scritto le soluzioni della disequazione N ( ) 0 : la linea piena significa che il numeratore è positivo; mentre quella tratteggiata indica che è negativo, i pallini neri agli estremi degli intervalli di soluzione sono i punti dove il numeratore si annulla. Nella seconda riga della tabella abbiamo fatto lo stesso con il denominatore indicando con un puntino bianco il valore in cui si annulla che dobbiamo scartare per non dividere per zero. Infine nella terza ed ultima riga della tabella abbiamo confrontato numeratore e denominatore, infatti si ha: N ( ) / D( ) è positivo se N ( ) 0 e D ( ) 0 oppure N ( ) < 0 e D ( ) < 0 ovvero, la frazione è positiva se sia numeratore che denominatore sono concordi, cioè hanno lo stesso segno; N ( ) / D( ) è negativo se N ( ) 0 e D ( ) < 0 oppure N ( ) < 0 e D ( ) 0 ovvero, la frazione è negativa se numeratore e denominatore sono discordi, cioè hanno segno diverso. 5) Ora sappiamo dove la frazione N( ) / D( ) è positiva (linea continua), negativa (linea tratteggiata), nulla (pallini neri), quali valori sono da escludere dalle soluzioni (pallini bianchi). Quindi non resta che tornare alla disequazione fratta e secondo la sua richiesta dare le soluzioni: Le soluzioni sono gli intervalli con linea continua escludendo tutti i punti in cui N()/D() si annulla, e quelli con pallini bianchi.
Le soluzioni sono gli intervalli con linea continua includendo i punti con pallini neri ed escludendo quelli con pallini bianchi. Le soluzioni sono gli intervalli con linea tratteggiata escludendo tutti i punti in cui N()/D() si annulla e quelli con pallini bianchi. Le soluzioni sono gli intervalli con linea tratteggiata includendo i punti con pallini neri ed escludendo quelli con pallini bianchi. Esercizi svolti di disequazioni fratte Esercizio Consideriamo la seguente disequazione fratta: 0 abbiamo descritto sopra. e applichiamo il procedimento che ) Portiamo la disequazione fratta alla forma N ( ) / D( ) 0 0 0 ) Condizioni di esistenza: 0 ) Studiamo prima il segno del numeratore includendo il caso in cui si annulli: 0 e poi studiamo il segno il denominatore ponendolo strettamente maggiore di zero, per escludere i valori in cui si annulla: 0 ) Mettiamo i risultati nella tabella:
5) Vogliamo sapere dove 0 gli intervalli di soluzioni sono pertanto quelli dove la linea associata a N ( ) / D( ) (terza riga della tabella di sopra) è continua, includendo i valori contrassegnati con pallini neri perché la richiesta nella disequazione è di trovare dove è maggiore o uguale a zero. Occorre ricordare sempre di scartare i punti in cui si annulla il denominatore (quelli contrassegnati da pallini bianchi) a prescindere dalla richiesta della disequazione. In definitiva le soluzioni per la disequazione fratta sono: e 0 con la notazione degli intervalli: ] ] ] 0, [, U. Esercizio Proviamo a risolvere ora la seguente disequazione fratta: ) La disequazione è già nella forma N ( ) / D( ) ) Condizioni di esistenza: ) Studiamo il numeratore: risolviamo l'equazione associata: = = le soluzioni della disequazione sono:, U [, [ Studiamo il denominatore (ponendolo strettamente positivo):
le soluzioni sono: ], [ U ], [ Non solo Matematica www.carucci.ilbello.com ) Mettiamo in tabella i risultati: Nota bene: osservate come il valore fosse incluso nel numeratore, ma escluso nel denominatore. Quando consideriamo l'intera frazione dobbiamo ESCLUDERLO, infatti, anche se il valore annulla il numeratore, non possiamo permettere che annulli il denominatore! 5) Vogliamo sapere dove: cioè gli intervalli nella tabella in cui la linea associata a N ( ) / D( ) è tratteggiata e i valori contrassegnati da pallini neri: con la notazione degli intervalli si ha:,
Esercizi. 0 9. 0. 0. 0 < 5. 0 9 6. 0 6 5 7 7. 0 9 8. 0 < 9. 0 0. 0 5. 0. 0 7 6. 0 5 <. 0 5. 0 6