1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 1 ESERCIZI SVOLTI 1 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri Studiare la trave continua omogenea e a sezione costante rappresentata in figura, soggetta ai carichi ripartiti uniformi 1 = kn/m, = 15 kn/m e al carico concentrato P = 35 kn, e tracciare i diagrammi delle sollecitazioni. P 1 A A B C C l 1 =, l = 5, l 3 = 6, l 4 = 1,5 V 37,47 4,95 35, X 1 X - 4, - 37,53,5,86-5,5-47,5-4, - 4,17 Y 1 Y 1 Y Y 6,8 1,55 1,18 3,45 4,55 1,3 La trave è 1 volta iperstatica e l incognita iperstatica è rappresentata dal momento B. 1. Calcolo dei momenti flettenti sugli appoggi Si devono calcolare prima i momenti flettenti sugli appoggi A e C:, A = = 1 l 1 = 4, kn m C = P l 4 = 35 1,5 = 5,5 kn m Si applica ora l euazione dei tre momenti per calcolare il momento sull appoggio B. A l + B (l + l 3 ) + C l 3 = 6 (B* 1 + B*) 15 6, B* 1 = = 3 l 3 78,13 kn m 4 4 15 6, B * = = 3 l3 3 = 135, kn m 4 4 SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri Sostituendo si ha: 4,, +, B 5,5 6, = 6 (78,13 + 135,) e risolvendo si ottiene: B 4,17 kn m. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio Sbalzo AA V A = VA s = 1 l 1 =, = 4 kn VA d = B A 15 5, + l 4,17 + 4, = + + 37,47 kn 5, l V s B = V d A l =+37,47 15 5, = 37,53 kn VA V = per x A = d 37,47 =,5 m 15 VB d = C B 15 6, + l 3 5,5 + 4,17 = + + 4,95 kn 6, l 3 V s C = V d B l 3 =+4,95 15 6, = 47,5 kn VB V = per x B = d 4,95 =,86 m 15 Sbalzo CC VC d =+P =+35 kn V C =+35 kn V C = 3. Calcolo dei momenti flettenti in campata 15,5 X1 = A + VA d x A = 4, + 37,47,5 x A = +6,8 kn m Si ha = in due sezioni che si ottengono con l euazione: Y1 = A + VA d y 1 y 1 = 4, + 37,47 y 1 7,5 y 1 = 7,5 y 1 37,47 y 1 + 4 = e risolvendo si ha: y 1 1,55 m y 1 3,45 m 15,86 X = B + VB d x B = 4,17 + 4,95,86 l 3 = +1,3 kn m Si ha = in due sezioni: Y = B + VB d y y = 4,17 + 4,95 y 7,5 y = E risolvendo si ottiene: y 1,18 m y 4,55 m SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 3 4. Calcolo delle reazioni vincolari R A = VA d VA s = 37,47 + 4, = 77,47 kn R B = VB d VB s = 4,95 + 37,53 = 8,48 kn R C = VC d VC s = 35, + 47,5 = 8,5 kn 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri Studiare la trave continua e a sezione costante rappresentata nella figura a pagina seguente, soggetta ai carichi ripartiti uniformi 1 = kn/m, = 1 kn/m, 3 = 15 kn/m, tracciare i diagrammi delle sollecitazioni e determinare la freccia in mezzeria della campata BC nell ipotesi che la trave venga realizzata con il profilato HE 1. La trave è volte iperstatica. 1. Calcolo del momento di incastro e del momento sugli appoggi 15 1,5 C = = 3 l 3 16,88 kn m A l 1 + B l 1 = 6 A* A l 1 + B (l 1 + l ) + C l = 6 (B* 1 + B*) ed essendo: 4, A* = B* 1 = = 3 1 l1 3 53,33 kn m 4 4 1 5, B * = = 3 l 3 5,8 kn m 4 4 sostituendo si ha: 8, A + 4, B = 6 53,33 4, A + 18, B 5, 16,88 = 6 (53,33 + 5,8) 8, A + 4, B = 319,98 4, A + 18, B = 548,6 e risolvendo si ottiene: A 7,87 kn m B 4,5 kn m. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio VA d = B A 4, + 1 l 1 4,5 + 7,87 = + + 4,91 kn 4, l 1 V s B = V d A 1 l 1 = 4,91 4, = 39,9 kn VA Si ha V = per x A = d 4,91 =,5 m VB d = C D 1 5, + l 16,88 + 4,5 = + + 6,47 kn 5, l 1 V s C = V d B l = 6,47 1 5, = 3,53 kn VB Si ha V = per x B = d 6,47 =,65 m 1 SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 4 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri 1 3 A B C l 1 = 4, l = 5, l 3 = 1,5 4,91 V 6,47,5 X 1 X,5-3,53-39,9,65-7,87-4,5-16,88 Y 1 Y 1 Y Y 13,97 1,78,86 1, 3,3 4,1 Sbalzo VC d = 3 l 3 = 15 1,5 =,5 kn 3. Reazioni vincolari R A = 4,91 kn R B = 6,47 + 39,9 = 65,56 kn R C =,5 + 3,53 = 46,3 kn 4. Calcolo dei momenti flettenti in campata X1 = A + VA d x A 1 x A = 7,87 + 4,91,5,5 13,97 kn m Uguagliando a zero l euazione del momento si ottengono le distanze y 1,86 m e y 1 3,3 m delle sezioni dove si verifica =. X = B + VB d x B x B 1 = 4,5 + 6,47,65,65 1,78 kn m Uguagliando a zero l euazione del momento si ottengono le distanze y 1, m e y 4,1 m delle sezioni dove si verifica =. SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 5 5. Calcolo della freccia in mezzeria della campata BC Dal sagomario si ricava il momento d inerzia I x = 1143 cm 4 del profilato. l f = f + 5 l ( B + C ) = + l 4 l l ( B + C ) = 16 E I 384 E I 16 E I 5 1 5 = 4 5 + ( 4,5 16,88) 1 5,713 cm 384 1 1 6 1143 16 1 1 6 1143 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri 3 Studiare la trave continua omogenea e a sezione costante su uattro appoggi e incastrata a un estremo riportata in figura, gravata di un carico concentrato P = 1 kn applicato in posizione asimmetrica nella campata CD; calcolare inoltre la freccia nella sezione di mezzeria della campata CD ponendo che la trave venga realizzata con il profilato IPE 33. SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 6 La trave è uattro volte iperstatica e si assumono come incognite i momenti sugli appoggi B, C, D e il momento di incastro in E, per cui il sistema di euazioni dei tre momenti risulta: A l 1 + B (l 1 + l ) + C l = 6 (B* 1 +B*) B l + C (l + l 3 ) + D l 3 = 6 (C* 1 +C*) C l 3 + D (l 3 + l 4 ) + E l 4 = 6 (D* 1 +D*) D l 4 + E l 4 = 6 E 1 * e poiché: A = B* 1 = B* = C* 1 = D* = E* 1 = C* = P a b 1, 3, (l + b) = (6, + 3,) = 16 kn m 6 l 3 6 5, D* 1 = P a b 1, 3, (l + a) = (6, +,) = 19 kn m 6 l 3 6 5, sostituendo si ottiene: 6, B + 7, C = 7, B + 4, C + 5, D = 6 16 5, C +18, D + 4, E = 6 19 4, D + 8, E = Risolvendo il sistema si ha: E = 8,88 kn m D = 57,76 kn m C = 45,55 kn m B = 1,5 kn m 1. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio B = A + V Ad l 1 V Ad = B A = 1,5,4 kn l 1 6, V Bs = V Ad,4 kn C = B + V Bd l 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri V Bd = C B 45,55 1,5 = 8,6 kn l 7, V Cs Campata CD D = C + V Cd l 3 P b V Cd = D C l 3 V Fs = V Cd = 69,56 kn V Fd = V Fs P = 69,56 1 = 5,44 kn V Ds = V Bd = 8,6 kn = V Fd = 5,44 kn + P b 57,76 + 45,55 1 3, = + = 69,56 kn l 3 5, 5, SEI - 1
1 Travi iperstatiche 1. Travi continue 7 Campata DE 1..4 Travi continue con sbalzi e con incastri E = D + V Dd l 4 V Dd = E D 8,88+ 57,76 = = 1,66 kn l 4 4, V Es = V Dd = 1,66 kn Data la presenza di un solo carico concentrato in corrispondenza della campata CD, il momento flettente massimo si verifica in corrispondenza della sezione F, ove è applicato il carico P, e il suo valore viene calcolato con l euazione: + F = max = C + V Cd a = 45,55 + 69,56, = 93,57 kn m. Calcolo delle reazioni vincolari R A = V Ad =,4 kn R B = V Bd V Bs = 8, 6, 4 = 1,3 kn R C = V Cd V Cs = 69,56 + 8,6 = 77,8 kn R D = V Dd V Ds R E = V Es = 1,66 kn Osservando il diagramma dei momenti, tracciato riportando i valori calcolati dei momenti flettenti, è possibile ricavare che per particolari situazioni di carico, come uella esaminata, i momenti sugli appoggi possono risultare positivi, contrariamente a uanto avviene in genere uando tutte le campate sono caricate, per cui tali momenti assumono segno negativo; inoltre, si può ancora osservare come le componenti verticali delle reazioni in B e in E risultino negative e uindi siano dirette verso il basso. In funzione del tracciato che presenta il diagramma del momento flettente e dei punti ove si annulla, che corrispondono ai punti di flesso della linea elastica, si è tracciata uest ultima, tenendo presente che uesta deve sempre risultare tangente agli appoggi. 3. Calcolo della freccia nella campata CD Dalle tabelle si ricava per il profilato IPE 33 il momento d inerzia massimo I x = 11 77 cm 4. Viene ora calcolato l abbassamento nel punto di mezzo della campata CD tramite la relazione [4] del paragrafo 1.1.6: f l = 1,66 + 5,44 = 7,1 kn = f l + ( C + D ) l 3 = P a 16 E I 48 E I (3 l 3 4 a ) + ( C + D ) l 3 = 16 E I 1 1 ( 45,55 1 = 3 (3 5 4 ) + 5 55,76 1 5 ) 5 =,5443 cm = 5,443 mm 48 1 1 6 11 77 16 1 1 6 11 77 SEI - 1