Corso di Fisica Generale 1 corso di laurea in Ingegneria dell'automazione ed Ingegneria Informatica (A-C) 21 lezione (15 / 12 /2015) Dr. Laura VALORE Email : laura.valore@na.infn.it / laura.valore@unina.it Pagina web : www.docenti.unina.it/laura.valore Ricevimento : appuntamento per email studio presso il Dipartimento di Fisica (Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) stanza 2M13 Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0
Moto armonico semplice -xm xm 0 x Moto armonico : qualsiasi movimento che si ripeta ad intervalli regolari Moto armonico semplice : lo spostamento della particella rispetto all'origine in funzione del tempo t è di tipo sinusoidale puo' quindi essere descritto attraverso una funzione seno o coseno fase x(t) = xmcos(ωt + φ) spostamento angolo di fase o costante di fase ampiezza pulsazione o frequenza angolare
Moto armonico semplice : spostamento in t=0, la particella si trova in x = +xm (estremità destra dell'asse x) negli istanti successivi, la particella inizia a spostarsi nel verso negativo delle x in t = T/2, la particella sarà arrivata in x = -xm (estremità sinistra dell'asse x) l'argomento della funzione coseno oscilla tra -1 e +1 x(t) oscilla tra -xm ed xm xm rappresenta l'ampiezza dell'oscillazione x(t) = xmcos(ωt + φ) spostamento ampiezza proseguendo ancora, la particella riprende a muoversi nel verso positivo delle x fino a completare il ciclo tornando in x = xm in corrispondenza di t = T (periodo) durante il ciclo, la particella transita 2 volte per la posizione x = 0
Moto armonico semplice : grafici grafico dello spostamento x(t) in funzione del tempo t x(t) = xmcos(ωt + φ) la velocità istantanea è la tangente alla curva
Angolo di fase φ x(t) = xmcos(ωt + φ) l'argomento del coseno è detto fase del moto La costante φ è detta angolo di fase o costante di fase. fase Definisce la posizione della particella all'istante t=0 : per t = 0, x(t=0) = xmcos(φ) φ=π rad φ=0 rad -xm xm φ=1/2 π rad φ=3/2 π rad x
Pulsazione o frequenza angolare ω ω è legata alla frequenza (e di conseguenza al periodo) dell'oscillazione : ω = 2π/T = 2πƒ La posizione della particella deve essere la stessa in x(t) ed x(t + T) posta la costante di fase φ = 0 per semplicità, xmcos(ωt) = xmcos(ω(t + T)) la funzione coseno restituisce lo stesso valore ogni 2π, quindi affinché sia vera l'equazione di sopra deve valere : ω(t + T) = ωt + 2π siccome T = 1/ƒ ωt = 2π ω = 2π/T ω = 2πƒ
Velocità nel moto armonico semplice la velocità varia in modulo e direzione durante il moto : v = 0 nei punti estremi v massima nel punto centrale v(t) = dx/dt = d/dt [xmcos(ωt + φ)] ricordando che d/dx[cos(f(x))] = - f'(x)senf(x) v(t) = -ωxmsen(ωt + φ) la velocità nel moto armonico oscilla tra -ωxm e +ωxm. La quantità ωxm è detta estensione dell'oscillazione
Funzioni seno / coseno esempio, sen(ωt) = sen(2πt/t) ad 1= sen(π/2) sen(t/4) ¼T θ ½T T ¾T cos(ωt) = cos(2πt/t) periodo T uguale, ma le due funzioni sono sfasate di π/2 : la funzione seno ha valore massimo (in valore assoluto, in +π/2 e -π/2) dove la funzione coseno ha valore minimo
Accelerazione nel moto armonico semplice a(t) = dv(t)/dt = d/dt [-ωxmsen(ωt + φ)] ricordando che d/dx(senf(x)) = f'(x)cosf(x) a(t) = -ω2xmcos(ωt + φ) l'ampiezza dell'accelerazione è ω2xm nella figura accanto sono messi a confronto spostamento, velocità ed accelerazione nel moto armonico semplice, ponendo per semplicità φ=0 x(t) = xmcos(ωt + φ) v(t) = - ωxmsen(ωt + φ) a(t) = - ω2xmcos(ωt + φ) a(t) è massima quando v(t) = 0, x(t) si trova ad uno dei due estremi ed il senso del moto si inverte
Accelerazione nel moto armonico semplice a(t) = -ω2xmcos(ωt + φ) x(t) = xmcos(ωt + φ) a(t) = -ω2x(t) nel moto armonico semplice, l'accelerazione della particella è sempre di segno opposto allo spostamento x(t) il rapporto tra accelerazione e spostamento è una costante : a(t)/x(t) = -ω2 nel moto armonico semplice, l'accelerazione è proporzionale allo spostamento (ma di segno opposto) e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione x(t) max valore positivo a(t) max valore negativo
Forza nel moto armonico semplice usando la 2 legge di Newton : F = ma = (-mω2)x la forza esercitata sulla particella agisce in verso opposto allo spostamento : è una forza di richiamo. Abbiamo già incontrato una forza di richiamo molla forza elastica F = -kx dove k = mω2 il moto armonico semplice è il moto di una particella di massa m soggetta ad una forza proporzionale allo spostamento della particella ma di segno opposto F = -mω2x ω = k/m pulsazione (rapidità di oscillazione) T = 2π m/k periodo
Esercizi 15.1 e 15.2
Esempio di conservazione dell'energia meccanica e bilancio tra energia cinetica e potenziale durante l'oscillazione del pendolo K ed U variano al variare dell'altezza del peso, ma Emec si conserva. In a) ed in e) l'energia è tutta cinetica : il peso ha velocità massima e passa per il punto piu' basso della traiettoria. In c) e g) all'opposto il peso è nel punto piu' alto della sua traiettoria, la velocità si è azzerata e l'energia è tutta potenziale (gravitazionale) Negli stati intermedi, metà dell'energia è cinetica e metà è potenziale Nel caso reale, in presenza di attrito, quest'ultimo dissiperebbe l'energia meccanica ed il pendolo alla fine si fermerebbe
Moto armonico semplice : energia cinetica e potenziale sistema molla + blocco : Energia potenziale : U = ½ kx2 Energia cinetica : K = ½ mv2 U(x) = ½kx2 = ½kxm2cos2(ωt+φ) da x(t) = xmcos(ωt+φ) K(x) = ½mv2 = ½m(-ωxm)2sen2(ωt+φ) da v(t) = -ωxmsen(ωt+φ) ricordando che per l'oscillatore armonico semplice lineare vale k/m = ω2 K(x) = ½mω2xm2sen2(ωt+φ) = ½m(k/m)(xm)2sen2(ωt+φ) = ½ kxm2sen2(ωt+φ)
Moto armonico semplice : energia meccanica U(x) = ½kxm2cos2(ωt+φ) K(x) = ½ kxm2sen2(ωt+φ) Emec = ½kxm2 Emec = U + K = ½ kxm2 [cos2(ωt+φ) + sen2(ωt+φ)] = ½ kxm2 costante =1 Se non ci sono attriti, ed agiscono solo forze conservative, Emec si conserva K ed U si alternano nel tempo, l'energia si trasforma da un tipo all'altro a seconda della posizione.
Verifica Il sistema molla + blocco in figura, quando si trova nel punto x = + 2,0 cm ha un'energia cinetica di 3 J e la molla ha un'energia potenziale elastica di 2 J. a) qual è l'energia cinetica in x = 0? b) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -2,0 cm? c) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -xm?
Verifica Il sistema molla + blocco in figura, quando si trova nel punto x = + 2,0 cm ha un'energia cinetica di 3 J e la molla ha un'energia potenziale elastica di 2 J. Emec = U + K = 5J a) qual è l'energia cinetica in x = 0? è il punto in cui la velocità è massima K = 5J b) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -2,0 cm? è la posizione simmetrica rispetto a x = +2,0 cm, U = 2J c) Qual è l'energia potenziale elastica in x = -xm? è una delle due estremità v=0 K=0 U = 5J
Oscillatore armonico semplice angolare E' la versione rotazionale dell'oscillatore armonico semplice lineare. Il dispositivo a lato è detto PENDOLO DI TORSIONE La componente elastica è rappresentata dalla torsione di un filo. Il disco oscilla sul piano orizzontale; se ruotiamo il disco di un angolo θ rispetto alla sua posizione di equilibrio (angolo 0) e lo lasciamo libero, questo inzierà ad oscillare attorno a questa posizione. La rotazione del disco di un angolo θ genera un momento torcente di richiamo che tende a constrastare la rotazione : τ = -kθ k = costante di torsione versione rotazionale della legge di Hooke F = -kx se T = 2π m/k per l'oscillatore armonico semplice lineare, T = 2π I/k per l'oscillatore armonico semplice angolare
Pendolo semplice Il pendolo semplice è costituito da un'asta appesa di massa trascurabile, che puo' ruotare attorno al suo perno (aggangio superiore) e dotata di un peso (ipotizzato puntiforme) agganciato alla sua estremità inferiore. E' sempre un oscillatore armonico, ma la sua componente elastica è legata alla forza di gravità anzichè ad una molla o ad un filo che si torce. consideriamo una massa puntiforme m appesa ad un filo, insestensibile e di massa trascurabile, di lunghezza L. Il corpo è libero di oscillare avanti e indietro su un piano, a sinistra e a destra della linea verticale passante per il punto di sospensione del filo.
Pendolo semplice Le forze agenti sul corpo puntiforme di massa m sono : la tensione T nel filo e la forza peso Fg componente radiale Fgcosθ componente tangenziale Fgsenθ La componente della forza peso tangente all'arco di circonferenza descritto dal corpo puntiforme tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio il momento torcente di richiamo è : τ = r F = -LFgsenθ il segno indica che è una forza di richiamo : il momento è sempre di segno opposto allo spostamento
Pendolo semplice approssimazione per piccole oscillazioni il momento torcente di richiamo è : τ = -LFgsenθ ma per la 2 legge di Netwon per il moto rotatorio, τ = Iα, da cui -Lmgsenθ = Iα I momento d'inerzia del pendolo rispetto al perno α accelerazione angolare del pendolo Per angoli piccoli, è valida l'approssimazione senθ θ (ad esempio, se θ = 5 = 0.0873 rad senθ = 0.0872 la differenza tra i due è dello 0.1%, quindi trascurabile) In questo caso, possiamo scrivere : -Lmgsenθ = Iα -Lmgθ = Iα α = -(mgl/i)θ che è l'equivalente rotazione dell'accelerazione per il moto armonico semplice lineare a(t) = -ω2x(t)
Pendolo semplice : accelerazione angolare e pulsazione α = -(mgl/i)θ l'accelerazione è proporzionale allo spostamento angolare cambiato di segno Data l'ipotesi di angolo piccolo fatta al principio, possiamo dire che : Un pendolo semplice che oscilla su un angolo piccolo approssima un oscillatore armonico semplice ovvero, l'ampiezza angolare θm (massimo angolo di spostamento rispetto alla posizione di riposo) deve essere piccola facendo il parallelo tra a = -ω2x ed α = -(mgl/i)θ possiamo dire che la pulsazione ω è : ω = mgl/i
Pendolo semplice : periodo del pendolo Se la pulsazione ω è : ω = mgl/i il periodo del pendolo sarà : T = 2π/ω = 2π I/mgL La massa nel pendolo semplice è tutta concentrata nel corpo puntiforme che si trova a distanza L dal perno : il suo momento d'inerzia sarà allora I = mr2 = ml2 sostituendo, T = 2π I/mgL = 2π ml2/mgl T = 2π L/g valida per il pendolo semplice, per piccole oscillazioni
Pendolo reale Il pendolo semplice per piccoli angoli oscilla di moto armonico semplice. Cosa succede per un pendolo reale, in cui la distribuzione della massa non è tutta concentrata nell'estremità puntiforme? Differenza tra pendolo semplice e reale : la forza di gravità agisce sul centro di massa del corpo, posto a distanza h dal perno di rotazione Il momento della forza di richiamo è τ = -(Fgsenθ)(h) Per piccole oscillazioni, troviamo ancora che il pendolo reale si muove di moto armonico semplice Il periodo del pendolo è T = 2π I/mgh il momento d'inerzia I stavolta dipende dalla forma del corpo.
Verifica Cosa succede se il perno di un pendolo reale coincide con il suo centro di massa?
Misura di g E' possibile usare un pendolo reale per fare una misura dell'accelerazione di gravità g. Consideriamo un'asta omogenea di lunghezza L, sospesa ad un estremo : il suo centro di massa si troverà ad L/2 dal perno h = L/2 Il momento d'inerzia I di un'asta rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa è I = (1/12)mL2 Dal teorema degli assi paralleli : I = Icdm + mh2 = 1/12mL2 + m(½l)2 = (1/3)mL2 sapendo che nel pendolo reale, T = 2π I/mgh, dove h = L/2 e sostituendo g = 8π2L/3T2 ed I = (1/3)mL2 conoscendo L e T è possibile fare una misura di g. Per avere una buona misura, vanno ripetute piu' volte le misure la variare della lunghezza L e del periodo T.
Verifica Tre pendoli reali di masse m, 2m e 3m hanno stessa forma e dimensioni e sono sospesi per lo stesso punto. Mettete i pendoli in ordine decrescente secondo i valori del loro periodo.
Verifica Tre pendoli reali di masse m, 2m e 3m hanno stessa forma e dimensioni e sono sospesi per lo stesso punto. Mettete i pendoli in ordine decrescente secondo i valori del loro periodo. T = 2π I/mgh I è sempre proporzionale ad m tutti uguali
Moto armonico semplice e moto circolare uniforme Il moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge ovvero, il moto armonico semplice non è altro che un moto circolare uniforme visto di profilo La particella P' in figura si muove di moto circolare uniforme sulla circonferenza di raggio xm, a velocità angolare ω. Per qualsiasi istante t, la posizione angolare della particella è ωt+φ Proiettando P' sull'asse x, otteniamo il punto P. Durante il moto di P', la sua proiezione P oscilla avanti e indietro sull'asse x tra -xm ed xm.
Moto armonico semplice e moto circolare uniforme Il moto armonico semplice è la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge ovvero, il moto armonico semplice non è altro che un moto circolare uniforme visto di profilo La componente x del vettore posizione xm relativo a P' è x(t) = xmcos(ωt+φ) La proiezione della velocità è v(t) = -ωxmsen(ωt+φ) La proiezione dell'accelerazione è a(t) = -ω2xmcos(ωt+φ)
Moto armonico semplice smorzato Quando il moto di un pendolo viene rallentato da una forza impressa dall'esterno (come la resistenza dell'aria, o dell'acqua) si dice che l'oscillatore ed il suo moto sono smorzati L'energia meccanica Emec diminuisce nel corso delle oscillazioni perché forze esterne le ostacolano e trasformano l'energia meccanica in energia termica. Esiste quindi una forza smorzante Fsm = -bv v = velocità dell'oscillatore b = costante di smorzamento dipende dalle caratteristiche del liquido e della paletta La soluzione per la seconda legge di Netwon per le oscillazioni smorzate ci dice che : x(t) = xme-bt/2m cos(ωsmt+φ) dove la pulsazione per l'oscillatore smorzato è ωsm = k/m b2/4m2 se c'è smorzamento, Emec non è costante E(t) = ½ kxm2e-bt/m
Oscillazioni forzate e risonanza Se una forza esterna con pulsazione ωf agisce su un sistema oscillante a pulsazione naturale ω, il sistema oscillerà con frequenza angolare ωf Il valore che puo' raggiungere l'ampiezza dello spostamento dipenderà da una funzione di ω e ωf. L'ampiezza che puo' raggiungere la velocità delle oscillazioni raggiunge il valore massimo quando ω = ωf, che è la condizione di risonanza