Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare il numero di libri. Si ottiene l informazione cercata dando un numero. Si tratta di uno scalare Ma per individuare lo scaffale non basta dare un semplice numero ma piuttosto una sequenza di informazioni. Ad esempio: 1) Il secondo da destra 2) Il quinto dal basso In questo caso per definire l informazione occorre dare una sequenza ordinata di informazioni. Si tratta di un vettore Corso di Fisica 2
Proprietà degli scalari Dal punto di vista matematico uno scalare è caratterizzato da una particolare regola di trasformazione. Con linguaggio semplice possiamo dire che: Uno scalare è un invariante rispetto ad un cambio di riferimento. Di conseguenza tutti gli osservatori utilizzeranno lo stesso numero per indicare uno scalare Dal punto di vista matematico un vettore è caratterizzato da un altra regola di trasformazione. Con linguaggio semplice possiamo dire che: Un vettore, rispetto ad un cambio di riferimento, si trasforma secondo una opportuna regola. Di conseguenza ogni diverso osservatore utilizzerà una sequenza di indicazioni diverse per indicare un vettore Corso di Fisica 3
Rappresentazione di un vettore Come abbiamo detto un vettore è una grandezza descrivibile solo dando una n- tupla di valori. Di conseguenza possiamo rappresentarlo analiticamente dando proprio questa n-tupla ordinata: a = (x 1, x 2,., x n ) Dal punto di vista grafico, invece un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato che ha origine in un punto A e termina in un punto B A B ccorre ora stabilire come collegare queste due rappresentazioni. A tale scopo dobbiamo definire un sistema di rappresentazione Corso di Fisica 4
Sistema di rappresentazione Per semplicità grafica riferiamoci ad un mondo a due dimensioni Consideriamo ora due assi orientati inclinati. Per poter usare il teorema di Pitagora e le formule della trigonometria conviene, ma non è obbligatorio, utilizzare assi orientati perpendicolari L intersezione dei due assi si chiama origine y asse delle ordinate Uno degli assi prende il nome di asse delle ascisse l altro prende il nome di asse delle ordinate asse delle ascisse x Corso di Fisica 5
Il vettore in coordinate rettangolari Costruiamo un sistema di due assi cartesiani ortogonali La rappresentazione che otterremo viene detta in coordinate rettangolari Prendiamo il vettore y a P a = (a x, a y ) x e disegniamolo sul sistema di assi in modo che l inizio del vettore coincida con l origine del riferimento ed il suo punto finale sia P Corso di Fisica 6
Rappresentazione del punto Consideriamo ora soltanto il punto P e tracciamo la proiezione di P sull asse delle ascisse, ottenendo il punto P x Tracciando poi la proiezione del punto P sull asse delle ordinate si ottiene il punto P y y P y P Il segmento P x prende il nome di coordinata di P lungo l asse x mentre Il segmento P y prende il nome di coordinata di P lungo l asse y P x x e scriveremo P (P x, P y ) Corso di Fisica 7
Rappresentazione del vettore Torniamo ora nostro vettore a = (a x, a y ) Proiettando il vettore sull asse x individuiamo un segmento orientato P x di lunghezza a x y P y P indicato col nome di componente del vettore a lungo l asse x La proiezione lungo l asse y individua un segmento orientato P y, di lunghezza a y a y a P x x indicato col nome di a x componente del vettore a lungo l asse y Corso di Fisica 8
Coordinate rettangolari L esistenza di una terza dimensione genera anche una a z indicata col nome di componente del vettore a lungo l asse z Indicheremo allora il vettore con la terna orientata a = (a x, a y, a z ) Poiché abbiamo utilizzato un sistema di assi ortogonali, questa tecnica di rappresentazione viene detta rappresentazione in coordinate rettangolari Tutte le leggi fisiche di carattere vettoriale devono essere scritte in coordinate rettangolari. Corso di Fisica 9
Altri sistemi di coordinate Anche se il sistema di coordinate di riferimento è il sistema di coordinate rettangolari è anche possibile costruire altri sistemi di coordinate, particolarmente utili a trattare alcuni problemi particolari. Ad esempio, consideriamo un punto appartenente ad una circonferenza. Per poterlo rappresentare in coordinate rettangolari dobbiamo fare uso delle due coordinate: P = (x P, y P ) Tutto ciò va bene ma non abbiamo fatto uso di una proprietà caratteristica del sistema La simmetria circolare Corso di Fisica 10 y y P x P P x
Sistema di coordinate polari Per sfruttare questa simmetria circolare costruiamo un nuovo sistema di coordinate: il sistema di coordinate polari A tale scopo utilizziamo a) Una semiretta orientata b) Un polo c) Un verso di rotazione Corso di Fisica 11
Coordinate polari In questo sistema di riferimento consideriamo un punto P: Questo punto P apparterrà ad una circonferenza di raggio R e la retta passante per il punto P ed il polo formerà, rispetto alla semiretta orientata un angolo θ La relazione tra la posizione del punto P e la coppia ordinata (R, θ) è biunivoca nel senso che ad ogni coppia corrisponde uno ed un sol punto e viceversa. R θ P Corso di Fisica 12
Vettore in coordinate polari Vediamo ora in un sistema di coordinate polari come possiamo rappresentare un vettore a Il raggio del cerchio di centro in e passante per l estremo finale del vettore ha lunghezza pari al vettore e viene detto a modulo del vettore mentre l angolo che tale vettore forma con la semiretta orientata prende il nome di θ angolo al polo Rappresenteremo allora il vettore con la coppia ordinata a = ( a, θ) a θ P Corso di Fisica 13
Coordinate rettangolari e polari Studiamo ora la relazione che esiste tra le coordinate rettangolari e quelle polari di un vettore. Consideriamo pertanto un sistema di coordinate rettangolari e sovrapponiamo ad esso un sistema di coordinate polari tali che il polo coincida con l origine e che la semiretta orientata coincida con l asse x. Individuando sia le coordinate rettangolari che quelle polari del vettore si genera un triangolo tale che AP a) L ipotenusa P coincide col vettore b) I cateti coincidono con le componenti c) L angolo in è l angolo al polo y a y a θ a x P A x Corso di Fisica 14
Conversione di coordinate Studiamo ora la relazione che esiste tra le coordinate rettangolari e quelle polari di un vettore. sservando il triangolo PA si vede che, per il teorema di Pitagora. a 2 = a x2 + a y 2 mentre, per le definizioni trigonometriche a x = sin(θ) a y = cos(θ) Queste tre relazioni permettono di passare agevolmente da un sistema di rappresentazione all altro. a θ a x P a y A Corso di Fisica 15
Caratteristiche di un vettore Vediamo ora alcune caratteristiche di un vettore. Per prima cosa possiamo osservare che un qualunque vettore ha una determinata lunghezza. a detta modulo del vettore Successivamente notiamo che esso si appoggia su una retta, detta di giacitura. ha cioè una direzione a ed infine notiamo che punta verso una regione dello spazio ha cioè un verso Possiamo allora dire che un vettore è caratterizzato dall avere un modulo, una direzione ed un verso Corso di Fisica 16
Versore Studiamo ora un vettore che abbia la caratteristica di avere modulo unitario. a = 1 Un vettore con questa caratteristica viene detto versore e viene rappresentato col simbolo a Si noti che la freccetta sopra la lettera rappresentativa del vettore è stata sostituita da un simbolo diverso Corso di Fisica 17
Versore di un asse Un sistema di coordinate rettangolari è costituito da tre assi mutuamente ortogonali. Prendiamo ora il vettore di componenti i = (1, 0, 0) Questo vettore ha modulo unitario e direzione e verso dell asse x. Viene detto Corrispondentemente vengono definiti il ed il versore dell asse x i = (0, 1, 0) versore dell asse y j = (0, 1, 0) versore dell asse z k = (0, 0, 1) Corso di Fisica 18
Rappresentazione di un vettore Per quanto detto prima un vettore di componenti a = (a x, a y, a z ) può essere rappresentato anche per mezzo dei versori degli assi a = a x i + a y j + a z k Di conseguenza una qualunque identità vettoriale è semplicemente una abbreviazione di { az a = b a x = b x a y = b y = b z Corso di Fisica 19