Dinamica dei fluidi Fino ad ora abbiamo arlato della statica dei fluidi, cioè dei fluidi all equilibrio. Il moto reale dei fluidi è estremamente comlesso: noi ci occueremo soltanto di liquidi in moto laminare, cioè senza turbolenze; quando un liquido si muoe in questo modo i suoi strati scorrono l uno sull altro senza forze di attrazione reciroche (senza iscosità). La descrizione del moto uò aenire in due modi: metodo lagrangiano: orre un osseratore su ogni articella: tale osseratore fornisce istante er istante la osizione e la elocità della articella metodo euleriano: orre tanti osseratori fissi (al limite uno er ogni unto dello sazio) che istante er istante forniscono la elocità (ettoriale) delle articelle che in quel momento transitano nel loro unto di osserazione. Per descriere in modo sintetico le informazioni fornite dagli osseratori, si introduce la cosiddetta linea di flusso. La linea di flusso è tale che unto er unto il ettore elocità è tangente alla linea di flusso (dal unto di ista matematico si arla di iniluo) e ha la sua direzione. Nella figura a fianco è raresentata una linea di flusso iniluo di tutte le direzioni dei ettori elocità rileati dagli osseratori O, O, ecc nello stesso istante t. In generale la linea di flusso non è una traiettoria, noi studieremo erò solo i cosiddetti moti stazionari, er i quali coincidono le linee di flusso e le traiettorie effettiamente seguite dalle articelle. Quando un fluido si muoe di moto stazionario er gli stessi unti transiteranno successiamente articelle aenti la stessa elocità. Si definisce tubo di flusso l insieme di tutte le linee di flusso. Nessuna linea di flusso uò uscire dal tubo di flusso: se così fosse due linee si intersecherebbero e questo imlicherebbe che nel unto intersezione esisterebbero due linee di flusso distinte e di conseguenza due distinte elocità er una sola articella di liquido. Nei moti stazionari linee di flusso e traiettorie coincidono: l affermazione recedente imlica allora che nessuna articella uò uscire da un tubo di flusso. In un tubo di flusso il numero di articelle che transitano attraerso una sezione S in un temo t è uguale al numero di articelle che transitano attraersano una sezione S nello stesso temo. Se dalla sezione S entrano n articelle allora dalla sezione S doranno uscirne n, altrimenti nel tratto S - S ci sarebbe un accumulo di articelle e un conseguente aumento di densità (mentre i liquidi sono raticamente incomrimibili). Questo fatto esrime la conserazione della massa. Se definiamo la ortata come la massa di liquido che nell unità di temo attraersa una sezione qualsiasi del condotto la conserazione della massa equiale a dire che la ortata di un tubo di flusso è costante. La ortata si misura in kg/s o, essendo la densità del liquido costante, anche in m /s. Se infatti è costante la massa che attraersa in n dato temo una sezione del liquido è costante anche il olume: m t O (t) P P d V V = cost. = cost. = cost. t t O (t) Sezione S O (t) P P 4 O 4 (t) 4 Sezione S
Equazione di continuità Consideriamo un tubo di flusso la cui sezione si restringa come nella figura seguente: S S S S t t Nel temo t attraerso la sezione S assa un olume di liquido V = S t ; questo olume nella figura corrisonde ad un cilindro che ha er base la sezione S e er altezza lo sazio ercorso dalle articelle nel temo t: s = t. Nello stesso interallo di temo un olume di liquido V = S t attraersa la sezione S. Per l incomrimibilità del liquido i due olumi doranno essere uguali: V = V S t = S t S = S La relazione ottenuta rende il mone di equazione di continuità: S = costante Equazione di continuità Quando la elocità del liquido aumenta la sezione del tubo di flusso diminuisce. Ne è un esemio eidente il tubo di flusso dell acqua che esce dal rubinetto: l accelerazione di graità fa aumentare la elocità dell acqua che cade e la sezione del tubo di flusso diminuisce isibilmente. Quando inoltre ogliamo aumentare la elocità di un liquido dobbiamo restringerne la sezione (come si fa quando si uole generare uno sruzzo iolento con un tubo di gomma da giardino). Problema : L acqua scorre in tubo con la elocità di 0 cm/s quando la sezione del tubo è 4 cm. quale sarà la sua elocità quando la sezione si riduce a cm? = 0cm / s =? S 4cm 0cm / s S cm s = S = = = 0 / S = 4cm S = cm S cm Problema : In un condotto di sezione costante scorrono 9,6 m di acqua ogni ora. L acqua scorre alla elocità costante di 70 cm/s. Calcolare la sezione del condotto. Il olume liquido che attraersa in un secondo la sezione del condotto è 9,6 m /600s =,667 0 - m /s Questo alore raresenta la ortata del condotto, ari al olume V - V,667 0 Sarà quindi S = = =,8 0 m t 70 0 = S t doe t ale secondo.
Problema : Una gomma er innaffiare ha raggio ari a cm. Alla fine della gomma è aitato uno sruzzatore con 5 fori, ciascuno del diametro di mm. Saendo che l acqua nel tubo scorre alla elocità di 0,5 m/s determinare la elocità dell acqua quando esce dallo sruzzatore. La sezione del tubo è S =4πcm. La sezione totale di uscita è S = 5 π (0,5mm) = 5 π (0,5 0 cm) = 5 π 5 0 cm S 4π 0,5m / s La elocità di uscita sarà = = = m / s S 65π 0 m / s Paradosso idrodinamico Ci chiediamo ora qual è il alore della ressione all interno di un fluido in moto. Studiamo searatamente due casi: caso: condotto orizzontale a sezione costante Poiché la sezione del condotto è costante anche la elocità del fluido è costante. Consideriamo un qualsiasi elemento di fluido : esso muoe di m.r.u. e erciò non accelera, quindi la somma delle forze agenti su di esso è uguale a zero. Sarà quindi F = F e, oiché la sezione è costante, anche F F = In un condotto orizzontale a sezione costante la ressione è ounque la stessa. S S caso: condotto orizzontale a sezione ariabile F S S F S S x x Rirendiamo la situazione già esaminata recedentemente: quando il rimo olumetto d acqua aanza singe aanti il secondo olumetto di liquido. Dall equazione di continuità saiamo che la elocità aumenta assando da S a S, e che quindi > Per rodurre tale ariazione di elocità è necessario che la forza F sueri la forza F : F > F Per troare il raorto che lega la ressione alla elocità (e quindi alla sezione) usiamo il teorema dell energia cinetica: Ltot = E k Il laoro totale è dato dalla somma dei laori comiuti dalle forze F e F : F x F x = m tot m tot i
Osseriamo che ai fini della ariazione di energia cinetica la massa di fluido che conta è rorio quella contenuta nel olumetto V in quanto la orzione centrale (quella comresa tra S e S ) è resente sia nella orzione finale che in quella iniziale. Scriiamo inoltre le forze F e F come rodotto della ressione in quel unto er la sezione su cui la forza agisce: S x S x = d V d V I rodotti S x e S x algono entrambi V, erciò ossiamo scriere: V ( ) = d V d V Semlificando V doo un assaggio si ottiene: + d = + d quindi in un condotto orizzontale a sezione ariabile rimane costante la quantità + d Ne consegue che la ressione è minore doe la elocità è maggiore, cioè doe la sezione è minore. Conseguenze del aradosso idrodinamico: Funzionamento dello sruzzatore: L aria, assando nella strozzatura, aumenta la elocità e di conseguenza diminuisce la sua ressione. L acqua dentro al tubo si troa sottoosta alla ressione atmosferica dal basso e ad una ressione minore dall alto, quindi risale. (è lo stesso meccanismo con cui funziona l aereosol). aria a atm strozzatura aria a < atm Fogli che si aicinano: Teniamo due fogli in erticale alla distanza di un aio di centimetri oi soffiamo dall alto erso il basso nello sazio tra i due fogli: edremo che essi si aicinano erché sono sosinti dall esterno erso l interno. atm Sorasso Quando un automezzo assa eloce icino ad un altro (come un camion icino ad un auto o un treno icino ad una ersona) anche l aria tra i due oggetti iene trascinata nel moto e di conseguenza ha una elocità minore che nelle regioni esterne ai due oggetti, i quali engono erciò sinti l uno contro l altro. int < atm atm Pallina in un getto s aria. Questo semlice eserimento consiste nel soffiare erso l alto con un asciugacaelli e orre una allina da ing ong nel getto. Si ede come la allina non solo resta sosesa ma resiste anche risetto a iccoli sostamenti. Portanza dell aerolano L ala dell aereo è sagomata in modo che l aria che la ercorre da sora comie nello stesso temo un ercorso iù lungo dell aria che la ercorre da sotto. A elocità minore corrisonde una ressione maggiore. > < < >
Effetto Magnus aria Osseriamo innanzitutto che una allina in moto nell aria ferma si uò studiare come se fosse una allina fissa nell aria in moimento (è lo stesso rinciio su cui si basano le simulazioni nella galleria del ento. Come si comorta una allina da tennis lanciata orizzontalmente? aria Se iene lanciata senza rotazione ercorre la consueta traiettoria arabolica. Se la allina iene fatta ruotare in aanti (il termine tecnico è to-sin) lo strato limite di aria aderente alla allina, er il fenomeno della iscosità, trascina con sé gli strati d aria adiacenti. La elocità dell aria che ruota si somma settorialmente alla elocità dell aria che trasla, di conseguenza gli strati d aria sotto e sora alla allina hanno elocità dierse (e quindi ressioni dierse). aria trasl aria trasl tot su tot inf = ariatrasl ariatrasl = + aria rot aria rot tot su < tot inf su > inf Porta di calcio ista dall alto In articolare la elocità totale inferiore al di sotto della allina è maggiore di quella sora alla allina. Per il aradosso idrodinamico la ressione sueriore sarà quindi maggiore di quella inferiore (ricorda che a minori elocità corrisondono maggiori ressioni) e la allina cadrà rima risetto alla normale (e attesa) traiettoria arabolica. Analogo discorso ale er la rotazione all indietro (back-sin) nella quale la allina cade iù aanti risetto alla normale traiettoria arabolica. Nella allina da tennis la iscosità è aumentata dalla resenza dei eli sulla suerficie della allina (nel caso della allina da golf la suerficie è scabra er la resenza di buchi). L effetto Magnus iene alicato anche nel calcio er deiare la traiettoria erso destra o erso sinistra (nei tiri ad effetto si imrime una rotazione laterale). Oiamente è imossibile, er quanto detto, eseguire tiri ad effetto nel uoto (è rorio la resenza dell aria con le sue dierse elocità a generare l incuramento della traiettoria!). Barca a ela Anche la cura della ela, osta di taglio risetto alla elocità del ento, ermette di differenziare la elocità dell aria sui due lati della ela e quindi di creare una differenza di ressione che singerà la barca da una arte. L effetto è accentuato anche dalla resenza di due ele (il fiocco e la randa) : l aria che si incanala tra le due ele arà elocità sueriore (er l equazione di continuità) e caso: condotto non orizzontale a sezione ariabile sx dx > sx F S S x h h F S S h h = 0 x
Anche in questo caso alichiamo il teorema dell energia cinetica L = Ek ; risetto al caso recedente dobbiamo contare, nel assare dalla regione alla regione, anche il laoro comiuto er solleare l acqua di un altezza h: F x F x mgh = mtot mtot Come nel caso recedente ossiamo contare come massa d acqua solo la massa contenuta nel olume V m = d V. S x S x d Vgh = d V d V Esrimendo l altezza h come differenza delle altezze delle due sezioni (dei loro baricentri) risetto ad un liello zero, scriendo il rodotto della sezione er l altezza x come olume V e semlificando otteniamo dg( h h ) = d d da cui + dgh + d = + dgh + d. Questa relazione è nota come + dgh + d = cos t. teorema di Bernoulli Osseriamo che la quantità a I membro è dimensionalmente un energia er unità di olume. Il teorema di Bernoulli raresenta erciò la conserazione dell energia in un fluido in moimento. Osseriamo inoltre che: se il condotto è orizzontale allora h = 0 e l equazione si riduce alla legge troata nel unto recedente. se il condotto è a sezione costante anche la elocità è costante e la ressione è la stessa daertutto.