UIVERSITA DEGLI STUDI DI BASILICATA FACOLTA DI ECOOMIA Corso di laurea in Economia Aziendale anno accademico 2012/2013 Lezioni di Statistica del 15 e 18 aprile 2013 Docente: Massimo Cristallo
LA RELAZIOE TRA FEOMEI In molte applicazioni pratiche si è interessati a stabilire se determinate circostanze influenzano un certo carattere statistico e, nel caso in cui l influenza esista, indagare i modi e l intensità con cui essa si manifesti. Se vi è assenza di qualsiasi legame tra due caratteri X e Y, cioè X è indipendente da X, allora qualunque valore di X non modifica la distribuzione di Y. ESEMPIO (dipendenza tra due caratteri) A) Relazione del carattere reddito con la spesa per consumi.
AALISI DELLA REGRESSIOE Fase 1- Diagramma di dispersione Una relazione fra due caratteri quantitativi si rappresenta ponendo la variabile indipendente sull' asse delle ascisse (simbolizzato da una x) e la variabile dipendente sull'asse delle ordinate (simbolizzata da una y) di un diagramma a dispersione. In corrispondenza di ogni intensità xi, con i = 1, 2,,, si dispone delle manifestazioni di una certa circostanza concomitante. Ogni punto (xi, yi) rappresenta la coppia di valori relativa ad un singolo caso osservato..
AALISI DELLA REGRESSIOE Fase 2 Scelta del tipo di funzione - La rappresentazione grafica dei dati osservati potrà orientarci sulla scelta del tipo di funzione da utilizzare nei casi concreti, salvo che disponiamo di una conoscenza specifica riguardo alla relazione che lega i due caratteri quantitativi in esame. - Per questioni di semplicità, ci limiteremo al caso di una funzione lineare (cioè ad una retta, poiché si dispone di due caratteri quantitativi x e y).
AALISI DELLA REGRESSIOE Fase 3 Stima dei parametri della retta yˆ = α + β x ove si dimostra (con il metodo dei minimi quadrati) che : β = n i = 1 x y i i x y Var ( x) è il coefficiente di regressione di y da x α = y β x è l'intercetta della retta in cui x e y sono, rispettivamente, la media dei caratteri x e y.
AALISI DELLA REGRESSIOE Fase 4 Verifica della bontà di adattamento del modello Esistono una serie di indici che permettono di stabilire se il modello stimato presenta, o meno, un buon adattamento ai dati osservati. L indice più usato al riguardo è l indice di determinazione: R 2 i= 1 i= 1 ( yˆ y ) ( y y ) 2 2 che varia tra 0 (caso di indipendenza) e 1 (caso di perfetto legame funzionale tra i due caratteri). = i i Se il modello è buono, può essere utilizzato per fare previsioni oggetto di indagine. sul fenomeno
AALISI DELL ITERDIPEDEZA In molte situazioni in cui vengono rilevati due caratteri quantitativi x e y non è possibile stabilire quale dei due caratteri sia quello antecedente, pur essendoci tra gli stessi un certo grado di associazione. Si parla in questi casi di analisi dell interdipendenza. Anche in tale analisi, per poter stabilire il tipo di relazione tra i due caratteri, può risultare utile rappresentare i dati osservati, cioè gli punti di coordinate (xi,yi), su un sistema di assi cartesiani ortogonali.
ASPETTI DELL ITERDIPEDEZA Aspetti dell interdipendenza sono la concordanza e la discordanza. Si ha concordanza tra due caratteri quantitativi se ai valori più piccoli di un carattere corrispondono generalmente valori più piccoli dell altro, e se a quelli più grandi corrispondono in genere i valori più grandi. In caso contrario, cioè se ai valori più piccoli di un carattere corrispondono generalmente valori più grandi dell altro, e se a quelli più grandi corrispondono in genere i valori più piccoli, parleremo di discordanza..
UA MISURA ASSOLUTA DELL ITERDIPEDEZA - La Codevianza E evidente che nel caso di concordanza, gli scarti delle diverse modalità dei caratteri x e y rispetto alle rispettive medie saranno, per la maggior parte, entrambi positivi o entrambi negativi, quindi il loro prodotto sarà senz altro positivo. Viceversa, nel caso di discordanza, gli scarti delle diverse modalità dei caratteri x e y rispetto alle rispettive medie saranno, per la maggior parte, di segno contrario, quindi il loro prodotto sarà senz altro negativo. Una misura dell interdipendenza si ottiene, allora, nel modo seguente: ( )( ) Codev(x, y) = x x y y = x y x y i i i i i= 1 i = 1 che, ovviamente, assume valori positivi o negativi, a sec onda che vi sia, rispettivamente, concordanza o discordanza.
UA MISURA DELL ITERDIPEDEZA - La Covarianza Un indicatore più utile è la covarianza, ottenuta rapportando la codevianza al numero delle unità rilevate, in modo da eliminare l influenza della numerosità delle osservazioni. Per le cose dette si ottiene, allora, la seguente formula: ( )( ) xi x yi y xi yi i= 1 i= 1 Cov (x, y) = = x y cheassume valori positivi o negativi a seconda che vi sia, rispettivamente, concordanza o discordanza..b. Si noti la similitudine della formula della covarianza con quella della varianza.infatti,se i caratteri x e y sono coincidenti si ottiene esattamente la formula della varianza.
UA MISURA RELATIVA DELL ITERDIPEDEZA - Il coefficiente di correlazione di Bravais - Pearson La covarianza misura l associazione lineare tra due caratteri quantitativi. Tale misura, però, ha il difetto di essere influenzata dal grado di variabilità dei caratteri esaminati. Per avere un indicatore dell associazione lineare tra due variabili x e y, che risulti indipendente dalla loro variabilità, si ricorre al coefficiente di correlazione r di Bravais Pearson: Cov ( x, y) Codev ( x, y) r = = Var ( x) Var ( y) Dev ( x) Dev ( y) ove il denominatore rappresenta il massimo valore che può assumere il numeratore, e quindi r può assumere valoricompresi tra -1(massima discordanza) e +1 (massima concordanza).
Interpretazione del coefficiente di correlazione di Bravais - Pearson L interpretazione del coefficiente di correlazione è in alcuni casi complicata dalla circostanza che altri fattori variabili influiscono più o meno fortemente quelli presi in considerazione. In questi casi la correlazione tra x e y è per la maggior parte dovuta a quella esistente tra ciascuna variabile e una o più altre variabili. Esempio La correlazione positiva tra la produzione nel tempo di alcune coppie di prodotti agricoli, come ad esempio il grano e il vino, potrebbe essere dovuta all influenza esercitata dalle condizioni meterologiche su entrambi i prodotti considerati.