CIRCONFERENZA E CERCHIO
Definizione di circonferenza La circonferenza è una linea chiusa i cui punti sono tutti equidistanti da un punto fisso detto CENTRO
Definizione di cerchio Si definisce CERCHIO la porzione di piano racchiusa da una circonferenza
Raggio Si definisce RAGGIO di una circonferenza il segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza
Corda e diametro Si definisce CORDA qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce DIAMETRO una corda che passa per il centro della circonferenza È facile vedere che : d = 2r
Rapporto fra circonferenza e diametro Qualunque sia il cerchio (da quello di un bicchiere a quello di una grande piazza), il rapporto fra circonferenza e diametro è sempre costante: c/d = costante Se un cerchio ha il diametro doppio del primo anche la circonferenza sarà doppia e così via. Vediamo con Excel...
Rapporto fra circonferenza e diametro Questa costante è un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate.. d/l = 2 Nel nostro caso abbiamo che: C d p p 3,14
Formule C = p x d Ma d = 2 x r allora C = p x 2r Circonferenza uguale a p greco per il diametro Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio d C p r C 2 p
Problemi Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo diametro misura 12 cm c = p x d c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio r = c/2p r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm c = 2 x p x r c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro d = c/ p d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm
Arco di circonferenza Prendiamo una circonferenza e mettiamo su di essa due punti Si definisce arco di circonferenza ciascuna delle parti in cui la circonferenza risulta suddivisa dai due punti I punti B e C individuano l arco c e l arco d
Arco e angolo al centro Se degli estremi di un arco di circonferenza traccio i due raggi si forma un angolo al centro a Tale angolo prende il nome di angolo al centro Si dice che l arco AB sottende un angolo a e l angolo a è sotteso da un arco AB Cosa succede se in una circonferenza aumento l ampiezza dell arco? Cosa succede all angolo a? Vediamo che esso aumenta e questo aumento è proporzionale all ampiezza dell arco
Calcolo della lunghezza dell arco Se il valore dell angolo al centro arriva a 360 il corrispondente valore dell arco sarà l intera circonferenza Quindi possiamo scrivere: l : = C : 360 = (l 360 ) : C C = (l 360 ) : C 360 l = C = x 360 l = p x 2r l x 360
Area del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 lati Un poligono a 10 lati Un poligono a 24 lati... La formula per calcolare l area di questi poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 dove a è l apotema (celeste) 2P = n x l (n = numero dei lati l lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio Osserviamo cosa succede al poligono all aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l apotema con il raggio Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull apotema Si nota che nella prima figura la differenza è percettibile ma nell ultima essa diventa trascurabile
Conclusioni Nella formula Formula della lunghezza di una circonferenza segue A = (2pr x r) : 2 infine
Formula inversa
Problemi Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del cerchio c = 2 p r A = p r 2 c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm A = 3,14 x (10 cm ) 2 = 314 cm 2 Un cerchio ha l area di 1256 cm 2 trovare raggio, diametro e circonferenza del cerchio r = (A/p) d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm r = (1256 cm 2 /3,14) = 400 cm = 20 cm c = p d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm
Formule Inverse c = l x 360 = l x c 360 d = l x 360 p x = l x 360 p x d r = l x 2 p x 360 = l x 360 2 p x r
Settore circolare Prendiamo un cerchio e un suo arco BC Tracciamo i due raggi che uniscono gli estremi dell arco con il centro Otteniamo cosi una porzione di cerchio Si dice settore circolare la porzione di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza. Cosa succede se aumento a?
Calcolo dell area settore circolare L area del settore circolare è proporzionale al valore dell angolo al centro Se il valore il valore dell angolo al centro arriva a 360 il corrispondente settore circolare coinciderà con l area del cerchio Questo rapporto e quello precedente saranno uguali Da questa constatazione posso impostare la proporzione per calcolarmi l area de settore circolare La cui soluzione mi darà l area del settore circolare
Formule Inverse
Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare ciascuna delle due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda
Se il segmento non contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l area del settore circolare a l area del triangolo A sc = A s - A t
Se il segmento contiene il centro In questo caso debbo considerare il settore circolare il cui arco sottende al corda AB e il triangolo ABO L area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l area del settore circolare a e l area del triangolo Asc = As + At Se non diversamente specificato il segmento circolare si riferisce all angolo convesso
Corona circolare Consideriamo due circonferenze concentriche di raggio r1 ed r2 con r1 > r2 fra le due circonferenze si trova una porzione di piano Chiamiamo questa porzione di piano corona circolare Si definisce corona circolare la porzione di piano racchiusa fra due circonferenze
Area della corona circolare L area della corona circolare si ottiene sottraendo all area del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = πr 2 2 πr 2 1 Acc = π (r 2 2 r 12 )