1a. Un triangolo isoscele AB di base AB = 5 cm è inscritto in un cerchio di raggio R = 5 cm e centro in O. In A e B sono poste due cariche positive uguali q A = q B = 6 ; la carica in, q, è tale che il campo in O si annulla. Il valore di q è circa pari a (in ) (A) 7.2 (B) 10.4 () 9.6 (D) 8.5 (E) 6.0 Si calcola il cateto OH dal triangolo rettangolo AOH (dove AO =R, AH = AB /2). La componente verticale del campo dovuto a q A è Si impone A O H E A B E A 1b. Un triangolo isoscele AB di base AB = 5 cm è inscritto in un cerchio di raggio R = 5 cm e centro in O. In A e B sono poste due cariche positive uguali q A = q B = 6 ; il campo nel punto vale in modulo circa (in N/) (A) 1.12 10 7 (B) 1.14 10 7 () 1.17 10 7 (D) 1.21 10 7 (E) 1.25 10 7 Si calcola il cateto OH dal triangolo rettangolo AOH e l ipotenusa A dal triangolo AH. Le componenti orizzontali dei campi E A ed E B si elidono e la risposta è A O H B 2a. Ai vertici del rettangolo ABD della figura vi sono quattro cariche, q A, q B, q, q D. Quattro superfici sferiche 1,2,3,4 con centro nel piano di ABD intersecano il piano nelle circonferenze indicate con i 1 numeri 1,2,3,4. I flussi di E uscenti dalle superfici sferiche valgono: 1 = 113 V m, 2 = 226 V m, 3 = 339 V m D 4 = 113 V m. La carica q nel punto vale 2 (A) 2 n (B) 1 n () 0 n A (D) 1 n (E) 2 n x B Poichè il flusso è proporzionale alla carica contenuta, il disegno si traduce nel sistema di equazioni 3 4 Per sostituzioni progressive si ricava q. 1
2b. Una carica Q 1 = 2 si trova al centro di un cubo di lato l = 10 cm. Una carica Q 2 è a distanza d = 35 cm dal centro del cubo come indicato in figura. Se il flusso del campo elettrico generato da Q 1 e Q 2 attraverso la faccia ombreggiata del cubo indicata in figura è nullo, la carica Q 2 vale all incirca (si tenga conto del fatto che d>>l). (A) 19 (B) 38 * () 57 (D) 75 (E) 113 Q 1 Q 2 Il flusso di Q 1 attraverso la faccia è un sesto del flusso attraverso la superficie del cubo (Q 1 / 0 ) e diretto verso destra. Se Q 2 è positiva, il suo flusso attraverso la faccia è diretto verso sinistra e può compensare il flusso di Q 1. Si noti che la distanza tra Q 2 e la faccia (30 cm) è molto maggiore di l/2 (5 cm) per cui il flusso di Q 2 è praticamente uguale al campo al centro del cubo moltiplicato per l 2 3a. Una carica q = 5 m è posta nell origine O di un sistema di assi cartesiani; un altra carica Q = 3 m è posta nel punto A(5 m,0) dell asse delle x. L ascissa x del punto P della retta y = a con a = 4.6875 m in cui il potenziale elettrico si annulla vale circa (in metri) (A) 18.96 (B) 7.75 () 2.81 (D) 7.81 (E) 12.75 y O,q P(x,a) A,Q x Sinteticamente: lungo l asse delle x, il potenziale si annulla nei punti di ascissa OA 5/8 e OA 5/2; il luogo dei punti P del piano xy dove il potenziale si annulla è un ellisse determinato dall equazione Fissata l ordinata y=a di P, l equazione dell ellisse diventa un equazione di secondo grado in P(x) che può avere due soluzioni distinte (discriminante >0), due soluzioni coincidenti (discriminante nullo) e nessuna soluzione (discriminante <0) a seconda del valore di a. Poiché viene indicata una sola soluzione, il valore di a è stato scelto in modo da annullare il discriminante e la soluzione si trova a metà tra i punti dell asse delle x dove il potenziale si annulla (125/16 m). Analiticamente: 3b. Nel piano x,y vi è un campo elettrico uniforme, i potenziali dei punti A,B, della figura (coordinate in metri) sono: V A = 6 V, V B = 2V, V = 4V. La componente E y del campo elettrico vale (A) 0.75 V/m (B) 1 V/m () 0 V/m (D) 0.75 V/m (E) 1 V/m y A(0,4) x Si deve calcolare il potenziale nell origine (punto di mezzo tra e B) 2 ( 3, 0) B(3, 0)
come V O =(V +V B )/2 e scrivere 4a. Due cariche di segno opposto e di valore assoluto q = 6 n sono poste nel vuoto a distanza D = 5 cm. Il punto P è posto a distanza L = 3 D dal centro del dipolo, mentre l angolo ϑ è di 20. Il rapporto tra il potenziale elettrico esatto e quello approssimato creato dal dipolo nel punto P vale circa (A) 0.22 (B) 0.43 () 1.02 (D) 3.53 (E) 32.16 O D L ϑ P Posta l origine cartesiana O nel centro del dipolo, i potenziali in P(Lcos, Lsin ) esatti e approssimati sono ( ) 4b. Due dipoli elettrici uguali D = 10 9 m di piccole dimensioni sono posti sullo stesso asse a distanza L = 1.5 cm. La forza con cui attraggono vale circa (in N) (A) 0.14 (B) 1.07 () 5.40 (D) 33.75 (E) 86.4 Indichiamo con <<L la distanza tra le cariche q del dipolo D =q. Il campo elettrico approssimato del primo dipolo a distanza L lungo l asse del dipolo stesso posto nell origine è (vedi l esercizio precedente) La forza di attrazione è ( ) 5a. Un protone nel vuoto (m = 1.67 10 27 kg, q = 1.6 10 19 ) con velocità iniziale v 0 = 3 10 6 m/s penetra per una distanza d = 0.2 m in un campo elettrico uniforme prima di arrestarsi. L'intensità media del campo elettrico E che lo frena è di (A) 67 kv/m (B) 157 kv/m () 235 kv/m (D) 470 kv/m (E) 3
5b. Un protone (e=1.6 10 19, m=1.67 10 27 kg) si trova inizialmente nel punto O(0,0) tra due cariche fisse positive uguali q = 1.6 10 19 poste lungo l asse delle y a distanze d = 2 nm. Il protone si muove nel verso positivo dell asse delle x con velocità iniziale v x (0) = 1 m/s. Nel punto P distante a = 10.50 nm dall origine la sua velocità sarà di circa (A) 5 km/s (B) 10 km/s () 15 km/s (D) 20 km/s (E) km/s 2d q q y v x (0) a P v x? Si uguagliano le energie potenziale+cinetica nei punti O e P L energia cinetica iniziale è trascurabile. 6a. Una carica puntiforme q = 0.2 e massa m = 2 10 6 kg si trova inizialmente a distanza d 0 = 2 m dal centro di una sfera isolante uniformemente carica di raggio R = 1 m e carica Q = 10 4 e si dirige verso essa con velocità iniziale v 0 = 232 m/s. La massima distanza raggiunta dalla carica rispetto al centro della sfera vale circa (in m) (A) 2.0 (B) 3.0 () 3.6 (D) 4.0 (E) 5.0 La carica puntiforme accelera sino al centro della sfera e poi decelera allontanandosi da questa. A distanza uguale a quella di partenza (ma dalla parte opposta) ha l energia cinetica iniziale che poi consuma allontanandosi sino al punto d arresto a distanza x>r (la sfera carica si considera puntiforme). Si ha Si noti che il prodotto qq è negativo e che non vi è soluzione se la velocità iniziale supera la velocità di fuga data da 6b. Una carica puntiforme q = 0.2 e massa m = 2 10 6 kg si trova inizialmente a distanza d 0 = 2 m dal centro di una sfera isolante uniformemente carica di raggio R = 1 m e carica Q = 10 4 e si dirige verso essa con velocità iniziale v 0 = 232 m/s. Al centro della sfera la velocità raggiunta dalla carica vale circa (in m/s) (A) 424 (B) 459 () 469 (D) 475 (E) 484 L energia cinetica finale è la somma dell energia cinetica iniziale e del lavoro fatto da E(Q) nel portare q da d a R (campo coulombiano) e da R al centro della sfera (campo proporzionale a x<r) 4
7a. Dati i quattro condensatori del disegno con 1 = 1 F, 2 = 2 F, 3 = 3 F, 4 = 5 F, il rapporto Q 1 /Q 2 tra le cariche su 1 e su 2 vale (A) 9/4 (B) 9/5 () 1/6 (D) 5/2 (E) 5/3 1 2 3 4 V La carica di Q 1 si divide tra 2 e 3 proporzionalmente ai valori dei condensatori in parallelo 7b. Due condensatori a facce piane e parallele, 1i e 2i, sono posti in serie e collegati a un generatore da V g = 1 kv; la caduta di tensione sul primo condensatore è V 1i = 250 V. Quando il primo condensatore perde il dielettrico la sua capacità diventa 1f = 1i / r ; la caduta di tensione ai suoi capi diventa V 1f = 333 V e attraverso il generatore fluisce complessivamente una carica Q i Q f = 1 m. 2i vale (A) 2.0 F (B) 2.4 F () 4 F (D) 5 F (E)12 F La carica iniziale Q i è legata alle cadute di potenziale da cui ossia e la capacità equivalente iniziale dei due condensatori in serie è In modo simile per le capacità finali ossia e la capacità equivalente finale è Il passaggio di carica pari in valore assoluto a 8a. Un voltaggio continuo V è applicato all istante iniziale al circuito della figura dove = 3 mf e R 1 = 2 R 2. Molto tempo dopo la chiusura dell interruttore l energia immagazzinata in è di 37.5 mj. Il voltaggio V del generatore vale (A) 6 V (B) 9 V () 10 V (D) 12 V (E) 15 V V R 1 R 2 Il voltaggio V di equilibrio su è quello del partitore 5
e l energia elettrostatica è 9a. on riferimento al problema precedente, la carica del condensatore è per metà completata un tempo t½ = 6.93 ms dopo il collegamento del generatore. La resistenza R 2 vale circa (A) 1 (B) 2 () 3 (D) 4 (E) 5 Durante la carica le due resistenze sono in parallelo a in quanto la somma algebrica delle loro correnti dà la corrente in. La costante di tempo è perciò Il tempo di dimezzamento è ( ) 8b. Su di un nastro isolante lungo d = 4 m e largo L = 3 cm è depositato uno strato di rame (u) alto h = 5 m. Agli estremi del nastro è applicata una differenza di potenziale V = 2 V (resistività di u a 20 = 1.6 10 8 m). La corrente che circola nel nastro a 20 vale circa (A) 0.25 A (B) 0.75 A () 1.34 A (D) 2.68 A (E) 4.69 A 9b. Un generatore con V = 6 V è applicato al tempo t = 0 alla rete R della figura dove il condensatore è inizialmente scarico e R 2 = 3R 1. All istante iniziale il generatore eroga W(0) = 4 W; dopo un secondo ( 1/2 ) eroga W(1) = 3 W e dopo 100 s eroga la potenza asintotica W( ) = 2 W. La resistenza R 3 vale R 1 (A) 1 (B) 4 () 9 (D) 16 (E) 25 Il parallelo tra R 1 e R 2 vale V R 2 R 3 La differenza di potenziale iniziale sulle resistenze in parallelo è il voltaggio del generatore (su scarico non vi è differenza di potenziale) e la potenza erogata dal generatore è A carica completa, non vi è corrente in e il generatore vede in serie a R 3 6
10a. Una batteria da V = 12 V e resistenza interna r = 0.1 alimenta un trenino elettrico con motore che assorbe una potenza pari a W = 2 W e ha resistenza maggiore di r. Se la batteria ha una carica pari a Q = 1 A h si scarica in un tempo circa pari a (A) 21570 s (B) 14310 s () 10740 s (D) 4000 s (E) 3600 s Una soluzione approssimata si ha trascurando la resistenza interna e la potenza su questa dissipata; questo permette di eguagliare la potenza W assorbita dal trenino (resistenza equivalente R) a quella emessa dal generatore La soluzione esatta si ha risolvendo il circuito nelle incognite I,R ottenendo un equazione di secondo grado in R e prendendo in considerazione solo la radice positiva maggiore Il tempo esatto è 10b. Quando all'impianto elettrico di casa (V h = 220 V e W h =3 kw) è attaccata la lavatrice in fase di riscaldamento (W wm = 2 kw) e il ferro da stiro l'impianto elettrico salta. La corrente elettrica efficace assorbita dal ferro da stiro è di almeno (A) 1.4 A (B) 3.6 A () 4.5 A (D) 9.1 A (E) 10.0 Le correnti efficaci dei dispositivi attaccati in parallelo si sommano sino a raggiungere il limite di potenza W h =I max 220V. Poiché la massima potenza disponibile per il ferro da stiro è 1kW, la corrente nel ferro da stiro non deve superare 1kW/220V. 11a. Tre lunghi fili perpendicolari al piano del disegno lo incontrano nei punti A(0,a), B(b,0), (0, a) dove a = 3 m e b = 6.5 m. I tre fili sono percorsi dalle correnti I A =I B =I = 1 A, tutte e tre uscenti dal piano del disegno. L ascissa di un punto P dell asse delle x dove il campo B prodotto dalle tre correnti si annulla vale circa (in metri) (A) 0,87 e 3,47 (B)1.8 () 2.8 (D) 3.1 (E) 4.0 y A B x a B x Per ascisse x positive, la risultante del campo B prodotto dalle correnti in A e è diretta nella direzione positiva dell asse della y e vale due volte la proiezione di B sull asse y (vedi figura) Per x<b, il campo B prodotto dalla corrente in B è diretto nella direzione negativa dell asse delle y; imponendo che BB sia uguale a si ha L equazione ha due radici positive (eventualmente coincidenti) oppure nessuna soluzione. 7
11b. Un solenoide di 300 spire avvolte su un cilindro di rame ( r 1) lungo L = 40 cm con una sezione S = 8 cm 2 porta una corrente I = 1.2 A. Il flusso di B attraverso una sezione del solenoide vale (A) 0.9 Wb (B) 5.0 Wb () 43.0 Wb (D) 130 Wb (E) 415 Wb 12a. In due conduttori cilindrici identici molto lunghi di raggio R, paralleli tra loro e a notevole distanza l uno dall altro, scorrono con densità omogenea le correnti I 1 e I 2 di verso opposto, con I 1 entrante nel piano del foglio e I 2 uscente. La circuitazione del campo magnetico lungo i percorsi chiusi 1 e 2 indicati in figura vale rispettivamente 0 e 20 π 10-7 T m. I 2 vale circa in valore assoluto (in A) (A) 16 (B) 32 () 64 (D) 128 (E) R Poiché la circuitazione lungo 1 è nulla e la sezione del conduttore a sinistra coperta da 1 è doppia rispetto alla sezione coperta del conduttore a destra, la densità di corrente del conduttore a sinistra è la metà del conduttore di destra, ossia I 2 =2I 1. La circuitazione lungo 2 si calcola sommando algebricamente le correnti concatenate nei due conduttori, proporzionali alle aree racchiuse da 2 R I 1 I 1 R/2 R/2 1 2 I 2 I 2 [ ( ) ] 12b. Un solenoide toroidale ideale è costituito da 200 spire circolari di sezione S = 0.28 m 2 percorse da una corrente I = 10 A. Il centro di ogni spira dista R m = 40 cm dal centro del solenoide. Il campo magnetico B a distanza r = 12.75 cm dal centro del toroide vale circa in modulo (A) 3.14 mt (B) 4.8 mt () 6.28 mt (D) 8.00 mt (E) 9.81 mt La sezione del toroide è 2R m r Dalla relazione tra circuitazione di B lungo una circonferenza di raggio r e corrente concatenata (200 I) si ha NB. Nel testo era scritto S=0.28cm, corrispondenti a un raggio di spira di circa 3 mm anziché di 30 cm. Il percorso circolare concatenava corrente solo per r 40cm e la risposta corretta per gli altri 8
r era 0. Per qualunque r, si accettava come valida anche la risposta corrispondente a r=40cm olte a quella indicata nel problema corretto. 13a. Una bussola con ago ruotante in un piano orizzontale è posta a Ovest di un filo metallico verticale. Quando nel filo passano degli elettroni il polo nord della bussola va a puntare verso sud. La direzione del moto degli elettroni è (A) in giù (B) in su () verso est (D) verso sud (E) verso nord A ovest di un filo verticale percorso da corrente ascendente il suo campo B è diretto verso sud. Gli elettroni lungo il filo si muovono perciò lungo la verticale discendente (in giù) quando la bussola va a sud. 13b. Nel piano del disegno vi è un lungo filo diretto come l asse delle y e passante per l origine che porta una corrente I f = 250 A e una spira rettangolare di vertici ABD le cui coordinate espresse in metri sono date nel disegno. Se la spira è costituita da n = 150 spire percorse da una corrente I s = 40 A, la risultante delle forze magnetiche sulla spira è di I f D(1,2) (2,2) I s (A) 0.1 N (B) 0.2 N () 0.3 N (D) 0.4 N (E) N O(0,0) A(1,0) B(2,0) Indicata con L l altezza della spira (2m) con d 1 (=1m) la distanza del lato prossimo e d 2 (2m) del lato distante la forza lungo x sulla spira vale 14a. Un tratto di filo rettilineo lungo L = 3 m, giacente lungo l asse delle x e percorso da una corrente I = 0.5 A, è immerso in un campo magnetico uniforme B = 0.424i+0.212j+0.212k (componenti in tesla). Il tratto di filo è sottoposto a una forza che in modulo vale (A) 0.30 N (B) 0.45 N () 0.60 N (D) 0.71 N (E) 0.90 N 14b. Due spire circolari coassiali di raggio R= 50 cm sono poste in piani paralleli orizzontali distanti d = 3 mm. La spira superiore è appesa al giogo di una bilancia. Se nelle spire circola nello stesso verso una stessa corrente I = 9.7 A, per ristabilire l equilibrio occorre aggiungere sull altro piatto una massa m circa pari a (in mg) (A) 2.0 (B) 9.8 () 25.0 (D) 37.0 (E) 98.0 m R I d 9
Per d<<circonferenza spira, la spira stessa è assimilabile a un filo indefinito che crea un campo e una forza attrattiva sulla spira vicina (lunga 2 R) percorsa da corrente equiversa I pari a mg 15a. Un avvolgimento costituito da N=20 spire circolari di raggio R = 60 cm appartenenti al piano xy e percorse da una corrente I è immerso in un campo B uniforme di componenti cartesiane B x = 0.50 T, B y = 0.40 T, B z = 0.45 T. Se il momento torcente sull avvolgimento vale in modulo M = 15 Nm, la corrente I dell avvolgimento è pari a circa (A) 6.9 A (B) 3.5 A () 1.8 A (D) 1.0 A (E) A 15b. Una bobina circolare di raggio R = 17 cm è composta da N=13 spire ed è percorsa da una corrente I = 6.65 A. L asse della bobina forma un angolo di =30 con un campo magnetico di intensità B = 0.8 T. Il momento della forza che agisce sulla bobina vale circa (in N m) (A) 3.14 (B) 9.81 () 16.0 (D) 29.0 A (E) 47.0 10