TEORIA Principio zero della termodinamica Se il corpo A è in equilibrio termico con il corpo C ed anche un altro corpo B è in equilibrio termico con il corpo C, allora i corpi A e B sono in equilibrio termico fra di loro CONSIDERAZIONI PREGRESSE: Trasformazioni quasistatiche (molto lentamente variabili): isobàre isocòre isoterme adiabatiche cicliche lavoro W = p Δ V chiamando Δh lo spostamento di un pistone che va da h 1 ad h 2 ossia h 2 h 1 W =F Δ h=(ps) Δ h=p (S Δ h)= p Δ V Il lavoro termodinamico compiuto dal sistema durante una trasformazione quasistatica è dato dall'area della parte del piano p-v contenuto fra l'asse dei volumi ed il grafico della trasformazione stessa. I principio della termodinamica U B -U A = ΔU = Q - W ISOCÒRE V = 0 U = Q ISOBARE U = Q p ΔV ISOTERME essendo U = (L/2)nRT ΔT = 0 ΔU = 0 W = Q = n R T ln(v f V i ) CICLICHE ΔU = 0 W = Q il lavoro (uguale al calore) è la differenza delle aree sottese dalla curva: positive se la funzione va verso destra e negative se va verso sinistra se ne deduce che un ciclo orario da un lavoro positivo e un ciclo antiorario un lavoro negativo. ADIABATICHE ( senza scambio di calore: ΔU = - W ) Mentre nei solidi e nei liquidi esiste un solo valore di calore specifico, nei gas ce n'è uno a volume costante: C V = L R ed uno a pressione costante: 2 M C P = L+2 R dove L è il coefficiente = 3 per i gas monoatomici, 5 per quelli 2 M biatomici, ecc; R e la costante universale dei gas; M è la massa molare. Per le adiabatiche è importante il rapporto fra questi due calori specifici: γ= C P = L +2 5 ossia C V L 3 per i monoatomici, 7 per i biatomici, ecc. 5 La formula fondamentale delle adiabatiche è p V γ T =( V 0 V ) (γ 1) T 0 e la Tp (1 γ γ ) ( =T 0 p 1 γ γ ) 0 = cost da cui derivano:
esercizio n 23 pagina 453 Un sistema termodinamico compie la trasformazione ciclica rappresentata nella figura. Individuare il tipo di trasformazione relativa a ciascun tratto del grafico. In quali di queste trasformazione si compie lavoro non nullo? Calcolare il lavoro complessivo prodotto nella trasformazione ciclica. [AB=CD: trasformazione isòbara ; BC=DA: trasformazione isocòra ; AB e CD ; 8,0 10 4 J] AB e CD : isòbare BC e DA: isocòre W = p Δ V =Δ p Δ V =[(100 80) 10 3 ](5,0 1,0)=8,0 10 4 J esercizio n 24 pagina 454 Esaminare la trasformazione ciclica rappresentata nella figura. Calcolare il lavoro compiuto, la variazione di energia interna e il calore assorbito. [2 10 2 J ; 0 J ; 2 10 2 J] W = p Δ V =Δ p Δ V =(2 1) 10 5 (3 1) 10 3 =2 10 2 J esercizio n 2 pagina 456 Un contenitore di forma cilindrica con una base mobile di sezione S = 120 cm 2, racchiude un gas alla pressione di 1,00 atm. Il gas riceve una quantità di calore Q = 480 cal e si espande a pressione costante per un tratto di 25,0 cm. Calcolare la variazione della energia interna del gas [1,63 10 3 J] Δ U =Q p Δ V =Q p S Δ h =480 4,186 1,00 1,013 10 5 0.0150 0,250=1,63 10 3 J esercizio n 4 pagina 456 Un gas perfetto è contenuto in un recipiente ermeticamente chiuso. Il gas occupa inizialmente il volume del recipiente alla pressione di 10 5 Pa ed alla temperatura di 300 K. Il gas subisce una trasformazione a volume costante passando da stati successivi in cui la pressione vale 2,0 10 5 Pa, 3,0 10 5 Pa, 4,0 10 5 Pa. Calcolare la temperatura del gas in questi tre stati [6,0 10 2 K ; 9,0 10 2 K ; 1,2 10 3 K ]
p T f =T f i p i p T 1 =T 1 2,0 105 0 =300 =6,0 10 2 K p 0 10 5 p 2 3,0 105 =T 0 =300 =9,0 10 2 K p 0 10 5 p T 3 =T 3 4,0 105 0 =300 =1,2 10 3 K p 0 10 5 esercizio n 5 pagina 456 Tre moli di gas biatomico si trovano ad una temperatura iniziale di 300 K. Successivamente vengono riscaldate a pressione costante e si espandono, occupando un volume pari a 5/2 di quello iniziale. Calcolare: il valore della temperatura finale del gas; il calore fornito durante la trasformazione; la variazione di energia interna. [750 K ; 3,39 10 4 J ; 2,81 10 4 J] 5 T 1 =T 0 V 1 V 0 =T 0 2 V 0 = 5 V 0 2 T = 5 0 2 300=750 K da Δ U =Q W =Q p Δ V =Q n R Δ T ed essndo Δ U = 5 2 n R Δ T si ha: Q=Δ U +n R Δ T = 5 2 n R Δ T +n R Δ T = 7 2 n R Δ T = 7 3,00 8,3145(750 300)=3,93 104 2 Δ U = 5 2 n R Δ T = 5 2 3,00 8,3145 (750 300)=2,81 104 J esercizio n 7 pagina 457 Un serbatoio metallico cubico ha pareti sottili, con spigolo di lunghezza 10 cm, esso contiene un gas monoatomico, assimilabile ad un gas perfetto, alla pressione di 1,5 atm ed alla temperatura di 10 C. Posto all'aperto, per prolungata esposizione al sole, l'intero sistema si porta alla temperatura di 65 C. Il volume del serbatoio durante il riscaldamento non viene modificato in modo sensibile. Calcolare: la pressione finale del gas (in Pa); la variazione della energia interna del gas; la quantità di calore assorbita dal gas. [1,8 10 5 Pa ; 44 J ; 44 J] p V =n R T p f p i = T f T i p V =n R T n R= p V T Δ U = 3 2 n R Δ T = 3 2 Q=Δ U= 44 J p f = p i T f T i =1,5 1,013 10 5 10+273 65 +273 =1,8 105 Pa p i V Δ T = 3 1,5 1,013 10 5 10 3 T i 2 283 55=44 J
TEORIA II principio della termodinamica Primo enunciato di lord Kelvin 1) É impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di assorbire una determinata quantita di calore da un'unica sorgente e trasformarla integralmente in lavoro Secondo enunciato di Rudolf Clausius 2) È impossibile portare calore da bassa ad alta temperatura senza che intervenga del lavoro esterno a consentirlo Terzo enunciato del rendimento 3) dal 1 enunciato si trae che Q 2 = W + Q 1 e quindi che W = Q 2 - Q 1 ed essendo η= W Q 2 = Q 2 Q 1 Q 2 =1 Q 1 Q 2 da cui la definizione: é impossibile progettare una macchina tecnica che abbia un rendimento uguale ad 1. TRASFORMAZIONI REVERSIBILI Una trasformazione è reversibile se è possibile riportare sia il sistema, sia l'ambiente esterno nello stato iniziale, ripercorrendo la trasformazione a ritroso. Per questo la trasformazione deve essere "lenta" ed omogenea. TEOREMA DI CARNOT: il rendimento η R di una macchina reversibile è sempre maggiore o uguale del rendimento η S di un altra macchina, ed i due rendimenti sono uguali soltanto se anche la macchina S è reversibile. CICLO DI CARNOT: è costituito da 4 fasi consecutive che in sequenza sono: un'espansione isoterma - un'espansione adiabatica - una compressione isoterma una compressione adiabatica. Dal fatto che i rapporti di compressione ed espansione dei volumi nelle isoterme sono identici si ricava che: η=1 Q 1 Q 2 =1 T 1
Si noti in questo ciclo l'improvviso aumento della pressione fra gli stati C e D dovuto all'esplosione innescata dalla scintilla della candela. Il volume non ha il tempo di cambiare che tutto il combustibile è stato bruciato. CICLO OTTO E DIESEL In questo caso la combustione si autoinnesca a causa del fatto che la pressione arriva ad un punto limite. Qui il passaggio C D è verticale perchè come conseguenza della combustione il volume ha il tempo di espandersi. Si nota una diminuzione del rendimento essendo l'area compresa nel ciclo (che corrisponde al lavoro svolto) minore. CICLO FRIGORIFERO Conseguenza diretta dell'enunciato di Clausius. Non si parla più di rendimento come per le macchine termiche convenzionali. Qui l'effetto utile è il prelevamento di una quantità di calore a bassa temperatura e quello che si è obbligati ad introdurre per poterlo ottenere è lavoro, quindi il coefficiente di prestazione è: COP = Q 1 W i suoi valori sono normalmente compresi fra 2 e 6. CONDIZIONATORE Il principio ed il rendimento sono identici a quelli dell'impianto frigorifero solo che qui l'interno del frigorifero è sostituito dalla stanza che si vuole refrigerare e l'esterno del frigorifero con dispersori di calore è l'ambiente esterno alla stanza.
POMPA DI CALORE Serve per riscaldare la stanza. Funzione al contrario del frigorifero. Qui si ha il coefficiente di guadagno: K = Q 2 W ed i suoi valori sono normalmente compresi fra 5 e 6. esercizio n 1 pagina 495 Un braccio meccanico, che consente di sollevare dei pesi, viene alimentato con benzina il cui potere calorifico è 0,460 10 8 J/kg. Per sollevare 500 kg fino ad una altezza di 16,0 m si bruciano 5,17 10-3 kg di benzina. Qual è il rendimento della macchina in percentuale? [33,0%] η= W Q = m g h Q = 500 9,80 16,0 0,460 10 8 5,17 10 =0,32966 33,0 % 3 esercizio n 2 pagina 495 Una valvola termoionica eroga una potenza (P) pari a 2,0 10 4 W con un rendimento del 65%. Il sistema di raffreddamento per mantenere l'efficienza è ad acqua. L'incremento di temperatura dell'acqua del sistema di raffreddamento non deve superare i 10 C. Calcolare la portata dell'acqua. [2,6 10-4 m 3 /s] Dalla Q 1 =c m Δ T =Q 2 m=d V Q 1 =c d V Δ T = W η (1 η) W = W η W = W η (1 η) da cui in per ogni secondo: V = W (1 η) η c d Δ T = 2,0 104 (1 0,65) 0,65 4186 1000 10 =2,6 m 3 10 4 s SPIEGATO PIÙ APPROFONDITAMENTE: Per poter spiegare, con una descrizione meno sintetica, quello che avviene veramente e motivare l'utilizzo di certe formule, abbandoniamo la simbologia collegata al lavoro utile svolto di W (dall'inglese) usata anche per evitare confusioni con il momento angolare che, a suo tempo, abbiamo indicato con L ed usiamo, invece quest'ultimo simbolo per il lavoro. Così facendo evitiamo confusione anche fra la grandezza lavoro e l'unità di misura della potenza che viene utilizzata nel problema proposto. In ingresso si ha la quantità di calore totale fornita Q 2 che deve considerarsi il 100 %. Di essa il 65% dà il lavoro utile L ed il restante 35% è Q 1 necessariamente (II principio) viene sprecato ed è necessario smaltirlo. Si definisce rendimento percentuale la frazione costituita da: 1. un numeratore in cui è presente il lavoro utile ed 2. un denominatore che rappresenta il totale dell'energia fornita 3. il tutto moltiplicato 100. Quindi il rendimento percentuale è η % = L Q 2 x 100 che nel nostro caso vale al 65 %.
É ovvio però che, per effettuare i conti non serve il rendimento percentuale ma quello rappresentato dalla semplice frazione ossia il rendimento percentuale diviso 100 che d'ora in poi chiameremo semplicemente η. η= L Q 2 Quindi per passare dal lavoro a Q 2 si deve fare Q 2 = L η e per passare da Q 2 a Q 1 si deve fare Q 1 =(1 η)q 2 = 1 η η L Si poteva fare anche con le proporzioni ossia L : 0,65=Q 1 : 0,35 o anche L : η=q 1 : (1 η) da cui Q 1 = 1 η η L (A) Ma se L deve essere smaltito ogni secondo (dal problema viene fornita la potenza in Watt = J/s) anche Q 1 quindi si intende al secondo. Questo calore viene ceduto all'acqua di raffreddamento e la quantità di calore ceduto all'acqua si può calcolare anche (vedi primo volume studiato all'inizio dell'anno) come: Q 1 =c m Δ T (B) J dove c = 4186 è il calore specifico dell'acqua, m è la massa in kg dell'acqua kg K e ΔT = 10 C è l'incremento massimo di temperatura che deve avere l'acqua. Uguagliando i due valori di Q 1 (A) e (B) si ha: 1 η η L = c m Δ T risolvendolo rispetto ad m si ottiene la portata massica (kg/s). Ma il problema chiedendo la portata senza specificarne la tipologia, intende quella volumica. Vedi le possibili tipologie: Portata ponderale (espressa in Newton al secondo) Portata massica (espressa in chilogrammi al secondo) Portata molare (espressa in moli al secondo) Portata volumetrica (espressa in metri cubi al secondo) ed essendo la densità ρ= m V quella dell'acqua è ρ=1000 kg. m 3 [rò = massa (kg) diviso Volume (m 3 )] si ha V = m ρ (volume per unità di tempo quindi portata volumica o volumetrica) si ha la formula finale: dove occorre usare la potenza P (lavoro per unità di tempo) al posto del lavoro e si è usato il simbolo ρ al posto di d. V = 1 η η P 1 c Δ T ρ = 0,35 4 1 m3 2,0 10 =2,6 10 4 0,65 4186 10 1000 s esercizio n 3 pagina 495 Un frigorifero compie cicli reversibili, operando tra due sorgenti termiche, una alla temperatura di t 1 = -15 C, l'altra a t 2 = 20 C, per produrre ghiaccio. L'acqua si trova, inizialmente, alla temperatura di 20 C e il calore latente di fusione dell'acqua è 3,35 10 5 J/kg. A ogni ciclo il frigorifero compie un lavoro (negativo) pari a 100J. Quanti cicli sono necessari per trasfomare in ghiaccio almento 10,0 g d'acqua? [6] T 0 =273 K T 1 =t 1 +T 0 =258 K =t 2 +T 0 =298 K
Δ T r = T 0 =20 K Δ 1 = T 1 =35 K Δ T 12 =T 1 η=1 T 1 = T 1 = Δ T 12 1η = Δ T 12 η= W Q 2 = Q 2 Q 1 Q 2 Q 2 = W η Q tot = x Q 1 =m(l f c Δ T r ) x = m (L f c Δ T r ) Q 1 ed essendo Q 1 =Q 2 W = W η W =W ( 1 η 1)=W ( Δ T 12 x = m (L f c Δ T ) W ( Δ T 12 1) = m (L f c Δ T )Δ T 12 = m(l f c Δ T ) Δ T 12 W ( Δ T 12 ) W T 1 = 1) percui x diventa: 10,0 10 3 (3,35 10 5 +4186 20)35 =5,68 6 cicli 100 258 SPIEGATO PIÙ APPROFONDITAMENTE: (torniamo ad usare W per il lavoro) Si lavora operando fra due temperature T 1 =t 1 +T 0 =258 K e =t 2 +T 0 =293 K e quindi nel ciclo di Carnot si ha un rendimento η=1 T 1 = T 1. Questo rendimento esprime anche il rapporto fra il lavoro W e la quantità (ceduta) ad alta temperatura Q 2. Ossia: η= W Q (qui il lavoro W<0 : bisogna fornire lavoro al 2 sistema ed il calore ceduto ad alta temperatura Q 2 < 0 ed il loro rapporto é > 0). Si desume che Q 2 = W η ed essendo ad ogni ciclo Q 1 = Q 2 W = W η W. Q 1 totale è la somma di due quantità di calore: Quella necessaria a portare i 10,0 grammi di acqua da 20 C a 0 C Q A =c m Δ T e quella necessaria per il passaggio di stato da liquido a ghiaccio Q B =L f m. Ossia Q 1 =Q A +Q B =m (c Δ T +L f ). Per trovare il numero di cicli (N) è necessario dividere la quantità totale di calore che occorre prelevare a bassa temperatura per quanta se ne può prelevare ad ogni ciclo. N = m (c Δ T +L ) f = W η W m (c Δ T +L f ) W T 1 W = 0,01 (4186 20+3,35 105 ) 100 293 293 258 100 = 5,68 6 cicli