Carte di cotrollo per attributi Il cotrollo per variabili o sempre è effettuabile misurazioi troppo difficili o costose troppe variabili che defiiscoo qualità di u prodotto le caratteristiche dei prodotti o soo misurabili I questi casi si utilizza il cotrollo per attributi che si basa sulla formulazioe di u giudizio qualitativo sulle uità prodotte che vegoo classificate i coformi oppure o coformi. Ilia Negri 1
Carta di cotrollo per frazioe di uità o coformi - Carta p Dato u campioe di umerosità sia d il umero di uità risultate difettose. Se 0 < p < 1 è il livello di difettosità del processo produttivo e se idichiamo co D la v.c. che cota il umero di difetti i u campioe di umerosità abbiamo P (D = d) = ( d ) p d (1 p) d, d = 0, 1,..., ed è distribuita approssi- La frazioe di o coformi è defiita da ˆp = D mativamete come ua gaussiaa ˆp N ( p, p(1 p) ) Se o si coosce p si estraggoo m campioi di umerosità si calcola per ogi campioe la ˆp i = d i e quidi si stima p co p = mi=1 d i m = mi=1 ˆp i m Ilia Negri 2
I limiti di cotrollo per la carta 3-sigma e per la carta di probabilità soo rispettivamete UCL = p + 3 CL = p LCL = p 3 p(1 p) p(1 p) p(1 p) UCL = p + z 1 α/2 CL = p p(1 p) LCL = p z 1 α/2 Se LCL risulta egativo si poe uguale a zero. Le carte di cotrollo per la frazioe di difettosi tegoo sotto cotrollo sia la media che la variabilità del processo produttivo. Ilia Negri 3
Esempio: (Motgomery). Cosideriamo i dati relativi alla produzioe di coteitori per succo d aracia che vegoo prodotti a partire da fogli di cartoe grezzo. Si ispezioao le cofezioi fiali per cotrollare che o perdao liquido. Vi soo m = 30 campioi di = 50 uità ciascuo. Sulla base di questo primo campioameto si stimao i limiti di ua carta di cotrollo 3-sigma. I valori cetrale, UCL e LCL soo riportati el grafico alla pagia seguete. Si otao u valore cetrale piuttosto elevato (oltre il 20% di pezzi difettosi) e due puti fuori cotrollo (il 15-esimo e il 23-esimo campioe). Idividuato il motivo si tolgoo questi due campioi e si ricalcolao i limiti di cotrollo per la carta. Si oti che el secodo calcolo vi è acora u puto fuori cotrollo. No avedo trovato essua causa apparete del motivo si lascia il puto tra i campioi. Resta il fatto che la percetuale di pezzi difettosi è troppo elevata e occorre apportare qualche modifica al processo produttivo. Ilia Negri 4
Carta p per D[Trial] Group summary statistics 0.1 0.2 0.3 0.4 UCL LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Group Number of groups = 30 Ceter = 0.2313333 LCL = 0.05242755 StdDev = 0.421685 UCL = 0.4102391 Number beyod limits = 2 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 5
Carta p seza i puti fuori cotrollo Group summary statistics 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 UCL LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 Group Number of groups = 28 Ceter = 0.215 LCL = 0.04070284 StdDev = 0.4108223 UCL = 0.3892972 Number beyod limits = 1 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 6
La carta porta a cocludere che il processo è sotto cotrollo co ua media p = 0.215 di frazioe di pezzi difettosi. Ua percetuale decisamete alta. Dopo alcui accorgimeti volti a migliorare il processo di produzioe soo raccolti altri 24 campioi sempre di umerosità 50 e i risultati soo rappresetati el grafico seguete. Si ota u vistoso abbassameto della frazioe di difettosi. La carta segala u puto fuori cotrollo i basso (o geera preoccupazioe) e u campioe che viola il umero di sequeze tutte dalla stessa parte. A questo puto u test per la verifica dell uguagliaza delle due proporzioi el primo gruppo di 30 campioi e el secodo di 24 dovrebbe cofermare il cambiameto avveuto. Se il test coferma l ipotesi che la proporzioe di o coformi è dimiuita si procede a ricalcolare i uovi livelli della carta p. (Il test è richiamato i fodo alla lezioe) Ilia Negri 7
Group summary statistics 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 UCL LCL p Chart for D.trial[ out] ad D[!trial] Calibratio data i D.trial[ out] New data i D[!trial] 1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 Group Number of groups = 52 Ceter = 0.215 StdDev = 0.4108223 LCL = 0.04070284 UCL = 0.3892972 Number beyod limits = 2 Number violatig rus = 1 Ilia Negri 8
Carta p per D[!Trial] Group summary statistics 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 UCL LCL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23 Group Number of groups = 24 Ceter = 0.1108333 LCL = 0 StdDev = 0.3139256 UCL = 0.2440207 Number beyod limits = 0 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 9
Scelta di elle carte di cotrollo per frazioe di o coformi Dopo aver stimato p co u cotrollo del 100% della produzioe se p è molto piccolo allora deve essere molto grade per poter osservare almeo u difetto. Ifatti se p = 0.01 e = 8 abbiamo che UCL = p + 3 p(1 p)/ = 0.1155. Se si dovesse osservare ua o coformità si avrebbe ˆp = 1/8 = 0.1250 e quidi il puto cadrebbe oltre UCL e il processo sarebbe cosiderato fuori cotrollo. Per evitare ciò si può ricorrere a due procedure. Possiamo scegliere affiché la probabilità di osservare ua o coformità sia almeo superiore ad u livello γ fissato P(D 1) γ. Dall approssimazioe della Biomiale co la Poisso ricaviamo P(D = k) = ( ) p k (1 p) k e ppk k k!, log(1 γ) Da cui per γ = 0.95 e p = 0.01 ricaviamo 300. p Ilia Negri 10
U altro approccio cosiste ello scegliere i modo che la carta si accorga di u cambiameto di specificata etità. Ad esempio se vogliamo che sia segalato u puto come fuori cotrollo quado la frazioe di o coformi è pari a p 1 > p allora deve essere poedo δ = p 1 p ricaviamo p + 3 p(1 p) p 1 9p(1 p) δ 2 Se, a titolo d esempio, vogliamo determiare uo scostameto da p = 0.01 a p 1 = 0.05 abbiamo, δ = 0.04 e ricaviamo 56. A volte ci si vuole ache garatire di avere u LCL positivo i modo da adare a ispezioare quei casi di frazioe di o coformi molto bassi. I tal caso deve essere scelto i modo che p(1 p) p 3 0 da cui 9 1 p p Ad esempio per p = 0.01 ricaviamo 891, per p = 0.05, 171 Ilia Negri 11
Carta di cotrollo per umero di uità o coformi - Carta p Ivece che costruire la carta per la frazioe di o coformi p possiamo costruire direttamete la carta per il umero di o coformità. I limiti della carta 3-sigma e di probabilità, rispettivamete, soo i segueti UCL = p + 3 CL = p LCL = p + 3 p(1 p) p(1 p) UCL = p + z 1 α/2 p(1 p) CL = p LCL = p z 1 α/2 p(1 p) No cooscedo p si provvederà a stimarlo. Ilia Negri 12
Dimesioe campioaria variabile Capita spesso che la dimesioe campioaria sia diversa. I questo caso 3 soo gli approcci che si possoo seguire. Il primo cosiste el cosiderare le liee della carta variabili (poco cosigliato). Il secodo cosiste el costruire la carta basadosi sul valore medio di calcolato come segue = 1 m m i i=1 e utilizzado come stima di p la seguete p = mi=1 d i mi=1 i I limiti di cotrollo per la carta 3-sigma soo UCL = p + 3 CL = p LCL = p 3 p(1 p) p(1 p) Ilia Negri 13
Il terzo metodo cosiste ell utilizzare i valori stadardizzati. campioe si calcolao i valori Per ogi z i = ˆp i p p(1 p), i = 1, 2,..., m i dove ˆp i è la frazioe di o coformi el gruppo i-esimo e a p dobbiamo sostituire ua sua stima. La carta ha come liea cetrale zero, metre come UCL e LCL rispettivamete 3 e 3. Ilia Negri 14
Curva operativa caratteristica La curva OC descrive la probabilità di accettare erroeamete u puto come sotto cotrollo quado ivece o lo è, i fuzioe dello scostameto dal valore fissato p 0. Si tratta quidi di calcolare la probabilità di commettere u errore di secodo tipo (β) al variare di p β(p) = P (ˆp < UCL p) P (ˆp < LCL p) = P ( ˆD < UCL p) P (D < LCL p) dove D segue la distribuzioe Biomiale co parametri e p. Fissati i limiti UCL e LCL avremo ua curva per ogi umerosità campioaria. Ad esempio per la carta co limiti LCL=0 e UCL=0.2440 dobbiamo calcolare β(p) = P ( ˆD < 50 0.2440 p) P (D < 50 0 p) = P (D < 12.2 p) = P (D 12 p) Metre per la carta co limiti LCL=0.0407 e UCL=0.3893 dobbiamo calcolare β(p) = P (D < 19 p) P (D 2 p) Ilia Negri 15
Riportiamo il grafico per la carta di pagia 9 Curva Caratteristica == 50 β(p) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Ilia Negri 16
Riportiamo il grafico per la carta di pagia 8 Curva Caratteristica == 50 β(p) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p Ilia Negri 17
Dalla curva OC ricaviamo, se il processo è sotto cotrollo, co valore della CL p = 0.215, β(p) = 0.9971 da cui α = 0.0029 e ARL 0 = 1 0.0029 = 339.38 Per cui si avrà u segale di falso allarme i media ogi 339 campioi. Se ivece il valore di riferimeto si sposta a p = 0.3 abbiamo β = 0.9152 e ARL = 1 1 β = 1 1 0.9152 = 11.79 Per cui dovremo aspettare i media 12 campioi prima di avere u segale di fuori cotrollo. Se il valore si sposta a p = 0.4 abbiamo β = 0.4465 e ARL = 1 1 β = 1 1 0.4465 = 1.807. Per cui dovremo aspettare i media 2 campioi prima di avere u segale di fuori cotrollo. Ilia Negri 18
Carte di cotrollo per umero di o coformità per uità - Carta c Si è iteressati al umero totale di difetti per uità prodotta (ad esempio il umero di falle i u tessuto). L ipotesi su cui si basa la costruzioe di tali carte è che la v.c. che descrive il umero di difetti abbia la distribuzioe di Poisso co parametro c che rappreseta il umero medio di difetti ell uità di misura prefissata. P (X = x) = cx x! e c, x = 0, 1, 2,... La carta di cotrollo co limiti 3-sigma sfrutta l approssimazioe della Poisso alla Gaussiaa N(c, c). Questa approssimazioe vale se c = p el caso i cui cresce e cotemporaeamete dimiuisce p mateedo costate il prodotto p. I limiti della carta soo duque i segueti UCL = c + 3 c CL = c LCL = c 3 c dove c = c i /m, essedo c i il umero di difetti ell uità i. Ilia Negri 19
Esempio: (Motgomery). Si cosiderao il umero di o coformità riscotrate su 26 campioi costituiti da 100 circuiti stampati. La stima di c è data da c = 516 26 = 19.85. I limiti della carta soo rappresetati ella figura seguete. c Chart for x[trial] Group summary statistics 5 10 15 20 25 30 35 40 UCL LCL 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Group Number of groups = 26 Ceter = 19.84615 LCL = 6.481447 StdDev = 4.454902 UCL = 33.21086 Number beyod limits = 2 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 20
Si osservao due puti fuori cotrollo, le uità 6 e 20. Idividuate le cause si tolgoo i puti e si ricalcolao i limiti di cotrollo della carta. La uova carta è rappresetata di seguito. La stima di c è data da c = 472 24 = 19.67 UCL c Chart for x[ic] Group summary statistics 10 15 20 25 30 LCL 1 2 3 4 5 7 8 9 11 13 15 17 19 22 24 26 Group Number of groups = 24 Ceter = 19.66667 LCL = 6.362532 StdDev = 4.434712 UCL = 32.9708 Number beyod limits = 0 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 21
Carte di cotrollo per frazioe di o coformità per uità - Carta u Si basa sul calcolo del umero medio di o coformità per uità di riferimeto. Se vegoo rilevate c difformità i uità di riferimeto avremo che il umero medio di tali difformità per uità di riferimeto è I limiti della carta soo i segueti dove ū = ui m e u i = c i u = c UCL = ū + 3 CL = ū LCL = ū 3 ū ū è il umero medio di o coformità per uità. Ilia Negri 22
Esempio: (Motgomery). Si cosiderao il umero di o coformità registrate sull uità di riferimeto posta pari a 5 computer. I dati foriscoo ua stima ū = 1.93. Il grafico seguete mostra la carta. UCL u Chart for x Group summary statistics 0 1 2 3 LCL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 Group Number of groups = 20 Ceter = 1.93 LCL = 0.06613305 StdDev = 3.106445 UCL = 3.793867 Number beyod limits = 0 Number violatig rus = 0 Ilia Negri 23
Curva operativa caratteristica - Carta c I questo caso si deve calcolare l errore di secoda specie β al variare di c. Idicata co X la v.c. di Poisso che cota il umero di difetti per uità prodotta β(c) = P (X < UCL c) P (X < LCL c) Ad esempio per la carta a pagia 21 co limiti LCL= 6.36 e UCL=32.97 dobbiamo calcolare β(c) = P (X < 32.97 c) P (X < 6.36 c) = β(c) = P (X 32 c) P (X 6 c) Al variare di c. Ilia Negri 24
Curva Caratteristica β(p) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 50 c Ilia Negri 25
Dalla curva OC ricaviamo, se il processo è sotto cotrollo, co valore della CL c = 19.67, β(c) = 0.9960 da cui α = 0.0040 e ARL 0 = 1 0.0040 = 247.23 Per cui si avrà u segale di falso allarme i media ogi 247 campioi. Se ivece il valore di riferimeto si sposta a c = 24 abbiamo β = 0.9532 e ARL = 1 1 β = 1 1 0.9532 = 21.41 Per cui dovremo aspettare i media 21 campioi prima di avere u segale di fuori cotrollo. Se il valore si sposta a c = 32 abbiamo β = 0.54.68 e ARL = 1 1 β = 1 1 0.54.68 = 2.21. Per cui dovremo aspettare i media 2 campioi prima di avere u segale di fuori cotrollo. Ilia Negri 26
Verifica di ipotesi per il cofroto di due proporzioi Abbiamo due campioi casuali X 1,..., X 1 e Y 1,..., Y 2 proveieti da popolazioi Beroulliae rispettivamete di parametro p 1 e p 2. Vogliamo verificare l ipotesi ulla H 0 : p 1 = p 2 cotro ua delle cosuete alterative: H A : p 1 p 2 per u test a due code, oppure H A : p 1 > p 2 o H A : p 1 < p 2 per u test ad ua coda Ilia Negri 27
Deotiamo co ˆp 1 = Xi 1 ˆp 2 = Yi e itroduciamo Xi + Y ˆp = i 1 + 2 Vale che, sotto l ipotesi ulla, cioè p 1 = p 2 ovvero p 1 p 2 = 0, 1 Z = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp) ( 11 + 12 ) N(0, 1) Deotati co k 1 e co k 2 il umero di successi rispettivamete el primo e el secodo campioe e le proporzioi di successi osservati co lo stesso simbolo ˆp 1 = k 1 e ˆp 1 2 = k 2, le regole per decidere se accettare l ipotesi ulla 2 soo riassute ella tabella seguete Ilia Negri 28
Test per il cofroto tra proporzioi Se ˆp 1 = k 1 e ˆp 1 2 = k 2 soo le proporzioi di successo su due campioi di 2 ampiezza 1 ed 2 rispettivamete, si può costruire u test Z per testare l ipotesi ulla H 0 : p 1 = p 2 cotro le usuali alterative come segue. Si calcola il valore della statistica z = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp) ( 11 + 12 ) co ˆp = k 1+k 2 decisioe 1 + 2. Il test di livello α corrispode alle segueti regole di quado H A : p 1 p 2, Rifiutare H 0 se z > z 1 α 2 quado H A : p 1 > p 2, Rifiutare H 0 se z > z 1 α quado H A : p 1 < p 2, Rifiutare H 0 se z < z α Ilia Negri 29