1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero è chiamato ascissa del punto P, il secondo ordinata e il terzo quota ( x P ;y P ;z P ) ; il primo Relazioni da ricordare sui punti: i Distanza tra due punti A ii ( ) e B( ; ; ) : ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 AB = La relazione si dimostra facilmente, ricordando che la lunghezza della diagonale di un parallelepipedo rettangolo di lati a, b e c vale a 2 +b 2 +c 2 (Teorema di Pitagora) Punto medio del segmento AB: M x + 2 ; y + 2 ; z + z 1 2 2 2 2 & Anche questa relazione si dimostra facilmente, applicando il piccolo Teorema di Talete Relazioni interessanti: i Il baricentro di un triangolo di vertici A G x + x + 2 3 3 ( ), B( ; ; ) e C ( ; ;z 3 ) : ; + + 3 ii Il baricentro di un tetraedro di vertici A ( ) : D x 4 ;y 4 ;z 4 G x + x + x + 2 3 4 4 ;& + + + y 4 4 ; + + z 3 3 & ( ), B( ; ; ), C ( ; ;z 3 ) e ;& + + z 3 + z 4 4 & 1 di 13
2 I vettori in R 3 Come nel caso in R 2, un vettore è determinato dalle coordinate del punto di applicazione visto che qualsiasi vettore può avere origine in O 0;0;0 di applicazione sono dette componenti del vettore ( ) Quindi v = ( v x ;v y ;v z ) Le coordinate del punto È possibile scrivere un vettore in funzione delle proprie componenti mediante l introduzione dei versori (vettori di modulo unitario) î = 1;0;0 ( ), ĵ = ( 0;1;0) e ˆk = ( 0;0;1) : v = v x î +v y ĵ +v z ˆk (coordinate cartesiane) 1 È possibile scrivere i vettori in R 2 in funzione del loro modulo e della loro direzione (o fase) Vale anche per i vettori in R 3, solamente che la direzione è determinata dal valore di due angoli: modulo: v = v = v +v +v ; direzione: cosθ = v z v tanϕ = v y v x Quindi: v = ( v;θ,ϕ) (coordinate polari) ( ) ( ) Osservazione: Due vettori v 1 = ; e v 2 = ; ; sono paralleli tra loro quando hanno la tessa direzione, ovvero quando = = = z v 1 1 = v 1 v 2 v 2 21 Il prodotto scalare tra vettori in R 3 ( ) e v 2 = ( ; ; ), il prodotto scalare è dato da v 1 v 2 = v 1 v 2 cosϑ, Dati due vettori v 1 = ; dove ϑ è l angolo tra i due vettori Questo tipo di prodotto dà come risultato uno scalare Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: i Proprietà commutativa: v 1 v 2 = v 2 v 1 ii Proprietà associativa: la scrittura v 1 ( v 2 v 3 ) non ha senso in quanto v 2 v 3 iii Proprietà distributiva: v 1 v 2 + v 3 iv ( ) = v 1 v 2 + v 1 v 3 v 1 v 2 = 0 v 1 = 0 v 2 = 0 ϑ = π 2+πk,k Z è uno scalare 1 Si sta facendo implicitamente uso del prodotto di uno scalare per uno vettore 2 di 13
Se consideriamo le componenti, si ottiene v 1 v 2 = ( î + ĵ + ˆk ) î + ĵ + ˆk = î î + ( + )î ĵ + ĵ ĵ + ( + )î ˆk + ˆk ˆk + ( y1 + ) ĵ ˆk ( ) = Ora, poiché i versori sono tra loro perpendicolari, per la proprietà iii si ha che î ĵ = î ˆk = ĵ ˆk = 0 Osservato che î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk =1, si ottiene v 1 v 2 = + + Osservazione: due vettori v 1 e v 2 sono perpendicolari tra loro quando v 1 v 2 = 0, ovvero quando + + = 0 Osservazione: a partire dalla definizione è sempre possibile determinare l angolo tra due vettori: v cosϑ = 1 v 2 v 1 & v 2 22 Il prodotto vettoriale tra vettori in R 3 Dati due vettori v 1 = ; ( ) e v 2 = ( ; ; ), il prodotto vettoriale è dato da v 1 v 2, ovvero un vettore di modulo v 1 v 2 sinϑ, dove ϑ è l angolo tra i due vettori, direzione perpendicolare al piano dove giacciono i due vettori e verso dato dalla regola della mano destra Questo tipo di prodotto dà come risultato un vettore Il prodotto vettoriale ha le seguenti caratteristiche: i Non gode della proprietà commutativa: ad esempio ĵ = î ˆk ˆk î = ĵ Si dice che il prodotto vettoriale gode della proprietà anti- commutativa: v 1 v 2 = v 2 v 1 ii Non gode neanche della proprietà associativa: ad esempio ˆk = î ĵ ( î î ) ˆk = 0 ˆk = 0, dove 0 = ( 0;0;0) indica il vettore nullo ( ) = î ( î ˆk ) iii Proprietà distributiva: v 1 v 2 + v 3 iv ( ) = v 1 v 2 + v 1 v 3 v 1 v 2 = 0 v 1 = 0 v 2 = 0 ϑ = πk,k Z v v 1 v 2 sinϑ corrisponde geometricamente all area del parallelogrammo di lati v 1 e v 2 Se consideriamo le componenti, si ottiene v 1 v 2 = ( î + ĵ + ˆk ) ( î + ĵ + ˆk ) = = î î + ( )î ĵ + ĵ ĵ + ( )î ˆk + ˆk ˆk + ( y1 ) ĵ ˆk Ora, poiché î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0 e î ĵ = ˆk î ˆk = ĵ ĵ ˆk = î, si ottiene v 1 v 2 = ( )î + ( ) ĵ + ( x y x 2 2 1) ˆk Si osserva che il risultato appena ottenuto si può scrivere come v 1 v 2 = î ĵ + ˆk 3 di 13
e, in modo compatto, diventa: v 1 v 2 = î ĵ ˆk Esempio: calcolo dell area di un triangolo in R 3 Considerando la caratteristica iv del prodotto vettoriale, posso facilmente calcolare l area di un triangolo di vertici A ( ) : A ABC = 1 2 AB C ; ;z 3 AC, dove AB ( ), B( ; ; ) e ( ; ; ) e AC ; ;z 3 ( ) Esempio: calcolo dell area di un triangolo in R 2 Molto più semplice risulta la relazione dell esempio precedente relativa ai triangoli di vertici A cartesiano Oxy Se A O, abbiamo visto che A ABC = 1 2 AB AC ( ), B( ; ) e C ( ; ) del piano = 1 2 OB OC = 1 2 affrontare il caso generale, basta considerare i vettori, nel piano, AB AC = ( ; ) ; si ottiene A ABC = 1 2 AB AC = 1 2 = 1 2 1 1 1 Per = ( ; ) e 23 Il prodotto misto Dati tre vettori a ( ), b ( ; ; ) e c ( ; ;z 3 ), il prodotto misto è dato da a b ( ) c, ovvero dà come risultato uno scalare È importante osservare che il prodotto non cambia se permuto i vettori ( a b c a ): ( a b ) c = ( b c ) a = ( c a ) b Da un punto di vista geometrico, esso rappresenta il volume del parallelepipedo di lati a, b e c In forma matriciale, si ottiene V = ( a b ) c = z 3 4 di 13
Esempio: il calcolo del volume del tetraedro Se il tetraedro è regolare, basta ricordare la formula del volume, V = 1 12 l3 2, dove l indica la lunghezza dello spigolo Dato un tetraedro qualsiasi di ( ), B( ; ; ), C ( ; ;z 3 ) e D( x 4 ;y 4 ;z 4 ) non allineati e non tutti vertici A complanari, il volume del tetraedro è la sesta parte del volume del parallelepipedo circoscritto: V ABCD = 1 6 AB AC ( ) AD = 1 6 z 3 x 4 y 4 z 4 5 di 13
3 Il piano in R 3 31 L equazione cartesiana di un piano in forma implicita L equazione in forma implicita di un piano è Γ :ax +by +cz +d = 0, a,b,c,d R In effetti, consideriamo un piano non passante per l origine O 0;0;0 O a un piano Γ Considerato un punto generico P x;y;z ( ) Sia H( a;b;c) il piede dell altezza da ( ) Γ, si ha che OH HP, quindi per il triangolo OHP vale il Teorema di Pitagora: OP 2 = OH 2 +HP 2 Sostituendo le coordinate dei punti e utilizzando la relazione data in 1i, si ottiene l equazione ax +by +cz + a 2 b 2 c 2 ( ) = 0 Posto d = a 2 b 2 c 2, si ottiene quanto voluto Viceversa, si può dimostrare che ogni equazione del tipo ax +by +cz +d = 0 rappresenta sempre un piano nello spazio Nella dimostrazione appena svolta abbiamo visto che il segmento OH è, per costruzione, perpendicolare al piano Quindi il vettore OH = n determina la direzione del piano Poiché le coordinate del vettore sono proprio i coefficienti a, b e c presenti nell equazione, tali parametri sono detti coefficienti direttivi del piano Un piano quindi può essere univocamente determinato dalla direzione normale e un suo punto 32 L equazione cartesiana di un piano in forma esplicita L equazione in forma esplicita di un piano è Γ : z = mx +ny +q = 0, m,n,q R Osservazione: per passare da una forma all altra basta considerare il sistema m = a c n = b c q = d c Si nota che tale sistema ha senso solo se c 0 Questo significa che non tutti i piani dello spazio possono essere scritti in forma esplicita; sono esclusi i piani della forma ax +by +d = 0 che risultano essere paralleli all asse 33 Le equazioni di piani particolari Il piano Oxy ha equazione z = 0 ; il piano Oxz ha equazione y = 0 ; il piano Oyz ha equazione x = 0 Il piano passante per O ha equazione ax +by +cz = 0 34 L equazione di un piano passante per tre punti noti Un piano nello spazio è univocamente determinato da tre punti non allineati L equazione di un piano passante per tre punti A ( ), B( ; ; ), C ( ; ;z 3 ) è data dalla seguente 3 : 2 Vedi il sotto- paragrafo 411 3 Vedi il sotto- paragrafo 37 per una sua giustificazione 6 di 13
Γ : x y z = 0 z 3 Osservazione: la relazione appena scritta mostra anche un criterio per verificare se tre punti nello spazio sono allineati; la relazione non fornisce l equazione di un piano quando si annullano tutti i minori costruiti con la seconda e terza riga In altre parole, tre punti nello spazio sono allineati quando: x rk 2 z 1 ' z 3 z ' =1 1 & Osservazione: un altro metodo per determinare l equazione di un piano passante per tre punti è quello di sostituire le coordinate dei punti dati nell equazione generica del piano e scrivere tre incognite in funzione della quarta (ad esempio, a, b e d in funzione di c) Notando che a, b, c e d non possono essere contemporaneamente tutti nulli, sostituisco i valori trovati nell equazione e divido per l incognita indipendente (ad esempio c) Si veda l esempio 30 pag 1106 in [1] 35 L equazione parametrica di un piano Consideriamo tre punti A, B e C su un piano Un piano può essere univocamente determinato da due direzioni date dai vettori AB, AC e dal punto A Poiché AB( ; ; ) e AC ( ; ;z 3 ), si ha x = + ( )t + x ( 1 )s Γ : y = + ( )t + ( )s Γ :OP = OA+ ABt + ACs, z = + ( )t + ( z 3 )s dove i parametri sono t,s R 36 Come passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate parametriche? Data l equazione cartesiana di un piano, determiniamo su di esso tre punti distinti non allineati A, B e C e procediamo come al punto precedente Oppure, più semplicemente, possiamo ad esempio porre y = t, z = s e sostituire i parametri nell equazione del piano Esempio: determinare le equazioni parametriche del piano Γ : x 2y + z = 0 Posto y = t, z = s, ottengo x = 2t s, perciò le equazioni sono x = 2t s Γ : y = t & z = s 37 Come passare dalle coordinate parametriche alle coordinate cartesiane? I metodo: il metodo più lungo e noioso è quello di svincolare le incognite x, y e z dai parametri t ed s, rimaneggiando il sistema 7 di 13
II metodo: un altro metodo è quello di dare dei valori ai parametri in modo da determinare tre punti distinti e non allineati del piano (ne basterebbero solo due che posso dedurre facilmente le coordinate del punto A); a questo punto basta applicare la relazione data nel 34 III metodo: poiché i vettori AB, AC giacciono sul piano, il vettore AB AC, dato dal prodotto vettoriale dei due vettori, sarà normale al piano Per quanto detto al sotto- paragrafo 31 si ha 4 ( a;b;c) = AB AC = î ĵ ˆk z 3 Per determinare il coefficiente d basta considerare il punto A dato: d = a b c 38 Condizione di parallelismo tra due piani Dati due piani Γ :ax +by +cz +d = 0 e Γ : a x + b y + c z + d = 0, essi sono paralleli se i loro coefficienti direttivi sono in proporzione, ovvero Γ // Γ a a = b b = c c rk a b c ' & ) =1 a b c ( 39 Condizione di perpendicolarità tra due piani Dati due piani Γ :ax +by +cz +d = 0 e Γ : a x + b y + c z + d = 0, essi sono perpendicolari se i rispettivi vettori normali n = a;b;c quando n n = 0 Si ha: ( ) ed ( ) sono fra loro perpendicolari, ovvero n = a ; b ; c Γ Γ a a +b b +c c = 0 m m +n n = 1 310 Distanza di un punto P( x P ;y P ;z P ) da un piano Γ :ax +by +cz +d = 0 In modo del tutto analogo della distanza punto- retta in R 2, si può dimostrare che dist( P;&Γ) = ax +by +cz +d P P P a 2 +b 2 +c 2 4 Da tale relazione si deduce la formula data nel 34 8 di 13
4 La retta in R 3 41 Le equazioni cartesiane di una retta Dati due piani Γ :ax +by +cz +d = 0 e Γ : a x + b y + c z + d = 0 non paralleli tra loro, il luogo geometrico dei punti di intersezione tra essi è una retta Si deduce che le equazioni cartesiane di una retta sono ax +by +cz +d = 0 r : a x + b y + c z + d = 0 Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate 42 L equazione di una retta passante per due punti noti Una retta nello spazio è univocamente determinata da due punti L equazione di una retta ( ), B( ; ; ) è, in analogia con quanto fatto in R 2, passante per due punti A x x = y = z z = y x 1 r : 1 y 2 y = z z 1 & 43 L equazione parametrica di una retta Consideriamo due punti A e B su una retta Una retta può essere univocamente determinata da una direzione data dal vettore AB e dal punto A Dalla relazione data al sotto- paragrafo precedente, detti l =, m = e n =, le equazioni parametriche in forma scalare della retta sono x = t y l m = t z z x = +lt 1 n = t r : & y = +mt, & ' z = +nt dove il parametro è t R Per determinare l equazione parametrica in forma vettoriale della retta, tenuto conto che AB = l;m;n = OA+ ABt ( ), si ottiene r :OP Poiché i valori l, m ed n danno la direzione della retta, tali valori sono detti coefficienti direttivi della retta Osservazione: Anche le equazioni parametriche non sono univocamente determinate Basta considerare una qualsiasi altra coppia di punti per rendersene conto 44 Come passare dalle coordinate cartesiane a quelle parametriche? Data l equazione cartesiana di una retta, determino su di essa due punti distinti A, B e procedo come al sotto- paragrafo precedente Un altro modo è quello di porre, ad esempio, z = t e scrivere x e y in funzione di t 9 di 13
2x y + z 2 = 0 Esempio: scrivere le equazioni parametriche della retta r : x 3y 2z 1 = 0 I modo Determiniamo due punti della retta r, assegnando dei valori a caso alla variabile x e determinando i corrispondenti valori di y e z: A 0; 1;1 AB = 1;1; 1 ( ) Le equazioni parametriche sono r : x = t y = 1+t z =1 t ( ) e B( 1;0;0) Otteniamo x = t x = t x = t II modo Considero il sistema r : 2x y + z 2 = 0 y = 2t + z 2 y = 1+t x 3y 2z 1 = 0 t 3( 2t + z 2) 2z 1 = 0 z =1 t 2x y + z 2 = 0 Chiaramente, se invece considero il sistema r : x 3y 2z 1 = 0, ottengo una versione diversa di z = t y = 2x +t 2 x =1 t equazioni parametriche: x 3( 2x +t 2) 2t 1 = 0 y = t z = t z = t 45 Come passare dalle coordinate parametriche alle coordinate cartesiane? I metodo: un primo metodo è quello di svincolare le incognite x, y e z dal parametro t, rimaneggiando il sistema, in modo da ottenere due equazioni II metodo: un altro metodo è quello di dare dei valori al parametro t in modo da determinare due punti distinti della retta (ne basterebbe uno solo visto che posso dedurre facilmente le coordinate del punto A); a questo punto basta applicare la relazione data nel 42 x =1 t Esempio: determinare le equazioni cartesiani della retta r : y = t z = t x =1 t x =1+ z x z 1 = 0 I modo r : y = t y = z r : z = t y + z = 0 z = t II modo Determiniamo due punti della retta: per t = 0 otteniamo A 1;0;0 x 1 1 0 = y 0 0 ( 1) B( 0; 1;1) Quindi r : y 0 0 ( 1) = z 0 x 1 = y x y 1 = 0 r : y = z y + z = 0 0 1 Si osserva che le equazioni sono sì distinte ma rappresentano la medesima retta r ( ) ; per t =1 otteniamo 10 di 13
46 La posizione reciproca di due rette nello spazio Due rette nello spazio possono essere i complanari quando appartengono allo stesso piano In questo caso o le rette sono parallele oppure secanti (in un punto); ii sghembe quando non appartengono a uno stesso piano In questo caso le rette non sono né secanti né parallele 47 Condizione di parallelismo tra due rette Date due rette r e r, esse sono parallele se i loro coefficienti direttivi sono in proporzione, ovvero i vettori l;m;n sintesi: ( ) e ( l ; m ; n ), relativi ad r ed r // r l l r rispettivamente, sono linearmente dipendenti In = m m = n n rk l m n & ( =1 l m n ' 48 Condizione di perpendicolarità tra due rette Date due rette r e r, esse sono perpendicolari se i rispettivi vettori r = l;m;n sono fra loro perpendicolari, ovvero quando r r ' = 0 Si ha: r r l l +m m +n n = 0 ( ) ed r ' = ( l ; m ; n ) 49 Rette secanti Per determinare il punto di intersezione tra due rette posso operare in due modi I modo Considero le loro equazioni cartesiane e risolvo il sistema r r II modo Considero le loro equazioni parametriche; da quelle di r determino, per ogni variabile, il valore di t e lo sostituisco nell equazione della retta r nelle rispettive variabili x =1+t x = 1 t Esempio: Considero le rette r : y = 2 t ed r : y = t z = 3+2t & z =1 t = 1 x Per determinare il punto di intersezione, dalla seconda retta ottengo t = y (il valore di z è già z =1 x =1+ ( 1 x) x = 0 determinato) e sostituisco nell equazione della prima: y = 2 y y =1, cioè il punto in z =1 z =1 comune è P( 0;1;1) 11 di 13
410 Distanza di un punto P( x P ;y P ;z P ) da una retta r di direzione r = ( l;m;n) step 1 Come prima cosa determiniamo l equazione del piano Γ :ax +by +cz +d = 0 perpendicolare alla retta r, passante per il punto P Tale piano avrà gli stessi coefficienti direttivi della retta, quindi a = l, b = m e c = n Per determinare il parametro d impongo il passaggio per P e ottengo d = lx P my P nz P step 2 Determiniamo la proiezione P del punto P sulla retta r, ovvero il punto di intersezione del piano con la retta I modo Consideriamo l equazione cartesiana della retta e risolvo il sistema r Γ II modo Consideriamo l equazione parametrica della retta e sostituisco i valori di x, y e z, che dipendono dal parametro t, nell equazione del piano Mi trovo così il valore di t relativo al punto P Ora basta semplicemente sostituire il valore di t nell equazione parametrica di r per determinare le coordinate del punto P step 3 Determiniamo la distanza richiesta: dist P;&r ( ) = P x =1+t Esempio: calcolare la distanza del punto P( 2;0;1) dalla retta r : y = 2 t z = 3+2t Innanzitutto notiamo che P r in quanto, sostituendo le coordinate del punto nell equazione della retta, il sistema risulta essere incompatibile, cioè non riesco a determinare un valore univoco del parametro t Determiniamo l equazione del piano Γ :ax +by +cz +d = 0 passante per P e perpendicolare alla retta r: a =1, b = 1, c = 2 e d = lx P my P nz P = 2+0 2 = 4 Quindi Γ : x y +2z 4 = 0 Ora determiniamo la proiezione P del punto P sulla retta r Dall equazione della retta r sostituisco i valori dipendenti da t nell equazione del piano: ( 1+t) ( 2 t)+2( 3+2t) 4 = 0 t = 1 6 Le coordinate del punto cercato saranno x =1 1 6 ( P : y = 2+1 6 P 5 6 ;( 13 6 (;8 + * - ) 3, & z = 3 1 3 Finalmente determino la distanza richiesta: dist( P;&r) = P 2 P P = 2 5 & ( + 0 13 & ( + 1 8 & ( 6' 6 ' 3' 2 2 = 22 12 411 La posizione reciproca di una retta e un piano Una retta r e un piano Γ possono essere i secanti quando si intersecano in un punto; ii paralleli quando la direzione della retta e la normale al piano risultano essere tra loro perpendicolari; iii paralleli ed r Γ Per determinare eventuali punti di intersezione, un metodo è quello di mettere a sistema le equazioni cartesiane della retta con quella del piano Se il sistema risulta essere compatibile (il 12 di 13
determinante della matrice associata è non nullo) allora i due oggetti sono secanti; se risulta incompatibile allora sono paralleli Per verificare che r Γ basta notare che il sistema è indeterminato Riferimenti bibliografici [1] M Bergamini, A Trifone e G Barozzi, Matematicablu 20, vol 4, Zanichelli, Bologna, 2012 [2] S Salomon (PoliTO), http://calvinopolitoit/~salamon/p/g/ [3] Matematicamente, http://wwwmatematicamenteit/ [4] YouMath, http://wwwyoumathit/ [5] Wikipedia, http://itwikipediaorg/wiki/pagina_principale 13 di 13