Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato E il moto rettilineo con accelerazione costante. Per definizione: a(t) a Velocità e legge oraria sono: v(t)at+v 0 s(t)½at +v 0 t+s 0 (v 0 è la velocità iniziale all istante t0) (s 0 è la posizione iniziale all istante t0) Dimostriamo la prima formula: v(t)at+v 0 Dalla definizione di accelerazione media tra 0 e t abbiamo: v( t) v(0) A m (0, t). t 0 Poiché l accelerazione è costante, allora A m a, e quindi v ( t) v(0) a t che possiamo riscrivere, indicando con v 0 la velocità iniziale v(0) v(t)at+ v 0 Verifichiamo la seconda formula: s(t)½at +v 0 t+s 0 Dalla definizione di velocità media abbiamo: s( t + t ) s ( t ) Vm ( t, t + t ) t 1 a( t + t ) + v ( t + t ) + s 1 at v0t s 0 0 0 t at+v 0 +½a t calcolando la velocità istantanea come limite per t che tende a zero otteniamo: v(t) lim t 0 Vm at+v 0 Dalle equazioni v(t)at+v 0 s(t)½at +v 0 t+s 0 se ne può ricavare una terza in cui non compare il tempo. Infatti dalla prima abbiamo che: t(v-v 0 )/a sostituendo t nella seconda otteniamo: v v 0 +a(s-s 0 ) Possiamo riassumere le formule cinematiche con la seguente tabella:
Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato: variabili cinematiche partenza dall origine (s 0 0) velocità iniziale nulla (v 0 0) Caso generale accelerazione a(t) a a velocità v(t) at at+v 0 legge oraria s(t) ½at ½at +v 0 t+s 0 relazione tra variabili v as v v 0 +a(s-s 0 ) Il moto rettilineo uniformemente accelerato è importante perché è il moto di un corpo lasciato cadere in un campo gravitazionale, in assenza di resistenza dell'aria. Vicino alla superficie terrestre, l'accelerazione di gravità g (cioè l'accelerazione che subisce un corpo lasciato libero di cadere) è di circa 9.8 [m][s] -, e tale accelerazione può essere ritenuta costante. Nota. In pratica però la caduta di un corpo in un campo gravitazionale come quello terrestre è solo in prima approssimazione descrivibile dalla cinematica del moto uniformemente accelerato. Se il corpo cade nell'atmosfera, l'aria provoca una resistenza al moto che frena il corpo: tale resistenza cresce con la velocità, e dipende da peso e geometria del corpo (la resistenza dell'aria è enormemente maggiore per un paracadute aperto che non per un paracadute chiuso; una pallina da ping-pong è frenata dall aria più di una pallina da golf). La resistenza dell'aria può modificare di molto le caratteristiche del moto: se l'altezza di caduta è sufficientemente elevata, a un certo punto il corpo non accelera più, ma raggiunge una velocità limite costante (è il principio su cui funziona il paracadute). A quel punto il moto si è trasformato da moto uniformemente accelerato a moto rettilineo uniforme. Inoltre l accelerazione gravitazionale g non è esattamente costante, perchè diminuisce leggermente all aumentare della quota. Ma questo effetto è importante solo in applicazioni missilistiche. Esempio. Lasciate cadere un sasso in un pozzo per misurarne la profondità. Dopo 3 s sentite il tonfo del sasso che cade in acqua. Qual è l'altezza H del pozzo? Qual è la velocità con cui il sasso raggiunge il fondo, v F? Supponete trascurabile la resistenza dell'aria. Orientiamo l asse s verso il basso, con origine sul bordo del pozzo. In questo modo, nel momento in cui lasciate cadere il sasso, questo si trova nell origine (s 0 0). Inoltre, dato che lo lasciate cadere senza lanciarlo, ha velocità nulla (v 0 0). Il sasso subisce l'accelerazione gravitazionale terrestre, costante verso il basso e pari a 9.8 [m][s] -. La legge oraria del moto del sasso è: s(t) (1/)(9.8)t 4.9 t Dopo 3 s abbiamo s(3) 44.1 m La velocità è : v(t) 9.8t e dopo 3 s v(3)9.4 m/s s v F? H?
La velocità di impatto si può anche ottenere direttamente dalla profondità del pozzo usando la relazione: v as Alla profondità s44.1m abbiamo che v x9.8x44.1 864.36 (m/s) e quindi v9.4 m/s Profili di accelerazione, velocità e spazio percorso per il sasso lasciato cadere nel pozzo. Quiz Se invece il sasso cade nello stesso pozzo dopo che lo avete lanciato in alto alla velocità v 0 4 m/s, quanto tempo impiega a raggiungere il fondo del pozzo? Con quale velocità di impatto? Qual è la massima altezza raggiunta?
Applicazione di Biomeccanica: il Salto Verticale Il salto verticale è un test usato per valutare la potenza muscolare di un soggetto, come un atleta durante allenamento o un paziente in riabilitazione. Al soggetto viene chiesto di eseguire un salto verticale da fermo sforzandosi di raggiungere la massima altezza. Il soggetto parte da una posizione accovacciata con le gambe piegate, ed estende poi le gambe esercitando la massima forza possibile. Analizziamo la cinematica del salto verticale. Consideriamo come origine dell asse X il baricentro della persona quando questa è in piedi (vedi figura b). Per saltare da fermo, il soggetto deve dapprima abbassarsi di una distanza d (fig.a). In questo momento la sua velocità iniziale, v 0, è nulla. Successivamente si solleverà con una accelerazione rivolta verso l alto e che dura fino alla massima estensione delle gambe (fig. b). Ora ha raggiunto la massima velocità verticale v d. Da questo momento l accelerazione verticale cessa non essendo più possibile distendere le gambe. Da qui inizia il volo : durante questa fase il soggetto subisce una accelerazione rivolta verso il basso pari a g-9.8 m/s. L intero salto avviene con traiettoria rettilinea. Conviene analizzare separatamente le due componenti del salto: la fase di spinta (dalla fig.a alla fig.b), e la successiva fase di volo, perchè ognuna di queste due fasi è descrivibile da uno specifico moto uniformemente accelerato. Fase di spinta. Assumiamo (con buona approssimazione) che i muscoli delle gambe spingano il soggetto verso l alto con accelerazione costante, che indichiamo a s. La fase di spinta è quindi un moto rettilineo uniformemente accelerato descritto da: a(t) a s v(t) a s t (infatti v 0 0) s(t) ½a s t -d (infatti s 0 -d) ed inoltre v a s (s+d) Per trovare la velocità nel punto di figura b, cioè al momento del decollo, v d, conviene partire dall ultima relazione. Quando il soggetto è in piedi con le gambe dritte, allora s0 e vv d. Otteniamo quindi: v d a s d cioè v a d d La velocità finale della spinta, v d, è anche la velocità iniziale della seconda fase del moto: il volo. s
Fase di volo. Dall istante in cui i piedi si staccano dal suolo, le gambe cessano di spingere verso l alto. Da questo momento il saltatore è soggetto solo alla accelerazione di gravità, g, rivolta in basso. Il moto è ancora rettilineo uniformemente accelerato, ma descritto dalle seguenti formule (per comodità ora l origine del tempo t0 corrisponde all istante in cui i piedi si staccano dal suolo): a(t) -g (accelerazione negativa perché di verso opposto all asse X) v(t) -g t+ v d (infatti v 0 v d ) s(t) -½g t + v d t (infatti s 0 0) inoltre v v d - g s Dall ultima formula ricaviamo l altezza massima raggiunta, h. Infatti nel punto di massima altezza la velocità v è nulla e quindi 0 v d - g h cioè h v d /(g) Dalla analisi della fase di spinta avevamo ottenuto v d a s d. Sostituendo quindi v d otteniamo: asd h g Quindi si salta tanto più in alto quanto maggiore è l accelerazione prodotta dalla spinta muscolare, a s, quanto più lunga è la rincorsa d, e quanto minore è l accelerazione gravitazionale g (sulla Luna si salta più in alto). Scopo del test è stimare a s. La rincorsa d è facile da misurare (ad esempio con un righello mentre il soggetto è piegato prima di spiccare il salto). Misurando anche h si otterrebbe quindi: hg as d Ma h, l altezza massima raggiunta durante il salto, è difficile da misurare. Si preferisce allora misurare il tempo di volo T V, per poi ricavare a s. Per ottenere il tempo di volo, T V, possiamo risolvere l equazione s(t)0. Risolvendola otteniamo gli istanti in cui il soggetto stacca i piedi da terra o ricade a terra. s(t)0 vuol dire: -½g t + v d t0 Una soluzione è t 1 0 (inizio del salto). L altra soluzione è data da: -½g t+ v d 0 cioè t v d /g Questo è l istante in cui il soggetto ricade al suolo. Quindi il tempo totale di volo T V è il tempo compreso tra t 1 e t : T V t -t 1 T V v d /g. Se ora scriviamo la relazione v d a s d come a s v d /(d) e sostituiamo v d g T V / ricaviamo: g a s T V 8d
Applicando questa analisi è possibile valutare lo stato di alleamento di un atleta con uno strumento molto semplice: una pedana che misuri il tempo di volo T V con interruttori a pressione attivati dal salto. Dal tempo di volo T V fornito dalla pedana, e dalla misura della rincorsa d, essendo nota l accelerazione di gravità g, si ricava l accelerazione fornita dalla spinta dei muscoli: a s Andamento qualitativo delle variabili cinematiche durante un salto verticale Quiz Un salmone salta fuori dall acqua ad una velocità di 6 m/s: trovare altezza massima dal pelo dell acqua e durata del volo