XXIII Ciclo di Dottorato in Geofisica Università di Bologna Corso di: Il problema inverso in sismologia Prof. Morelli Localizzazione di una esplosione Paola Baccheschi & Pamela Roselli 1
INTRODUZIONE Problema diretto e Problema inverso Uno dei più importanti problemi in sismologia è la localizzazione di una sorgente sismica, ossia la determinazione dei parametri del modello che descrivono la sorgente stessa. Se si potessero conoscere con esattezza i parametri del modello sarebbe possibile calcolare il tempo di arrivo di un onda sismica ad una stazione sismografica: si tratta cioè di risolvere un problema diretto. Generalmente, però, non si hanno informazioni dirette su questi parametri, ma si dispone di informazioni facilmente misurabili, collegate al modello da relazioni teoriche. Si tratta cioè di risolvere un problema inverso, ossia un processo che porta ad una stima di tali parametri a partire dai dati osservati. A causa delle incertezze che caratterizzano i dati e le inesattezze della teoria che lega i dati osservati con i parametri del modello, la soluzione di un problema inverso è espressa in termini di probabilità, cioè si determinano i parametri del modello attraverso una distribuzione di densità. Di seguito verrà svolto un problema inerente la localizzazione di una esplosione affrontando dapprima un problema diretto (primo caso) e successivamente un problema inverso (secondo e terzo caso). Primo caso Supponete di avere una rete di sensori sismici che rilevano il tempo di arrivo di onde sismiche generate da una esplosione superficiale avvenuta alle ore 12:00:00. Le onde seguono raggi rettilinei dalla sorgente ai ricevitori con una velocità nota, diciamo di 5.8 km/s. Generate dei tempi di arrivo delle onde per una geometria della rete ed una posizione dell'esplosione a vostra scelta, calcolando i tempi esatti e troncando i valori al decimo di secondo. La prima parte del problema consiste nel risolvere un problema diretto: dobbiamo, infatti, calcolare i tempi di arrivo delle onde sismiche generate da un esplosione superficiale supponendo che i parametri del modello, ossia il tempo origine (t 0 ) e le coordinate spaziali dell epicentro dell esplosione, siano noti. Per risolvere il problema diretto, supponiamo quindi che l esplosione abbia coordinate spaziali note (Xe, Ye) = (15 km, 16 km) e che le onde sismiche, aventi velocità nota v = 5.8 km/s, seguano raggi rettilinei dalla sorgente ai ricevitori. E noto anche il tempo origine dell esplosione, t 0 = 12:00:00 2
Consideriamo inoltre una rete sismica costituita da 8 ricevitori (o stazioni sismiche) disposte secondo una geometria illustrata in figura 1 e con coordinate (x,y) delle singole stazioni come mostrato in tabella 1. Figura 1. Configurazione della rete di ricevitori (cerchi neri) e posizione dell esplosione superficiale (stella blu). Per un dato valore di Xe, Ye, i tempi di arrivo dell onda ai ricevitori possono essere calcolati secondo la seguente equazione: 1 dove x i, y i sono le coordinate delle singole stazione, Xe, Ye le coordinate spaziali dell esplosione e v la velocità delle onde sismiche. I tempi di arrivo calcolati secondo l equazione (1) sono stati troncati al decimo di secondo e sono riportati nella tabella 1. 3
x (km) y (km) t obs (s) 2 2 2.9 4 3.5 2.5 2.5 6 2.5 2 8 2.6 4 9 2.2 5 7 2.3 3 10 2.3 6 10 1.8 Tabella.1. Coordinate spaziali x,y delle 8 stazioni e tempi di arrivo t obs registrati da ciascuna di esse. I tempi di arrivo sono troncati al decimo di secondo. Secondo caso Risolvete il problema della localizzazione dell'esplosione (supponendo di non conoscerla) con la corretta definizione dell'incertezza sulle osservazioni. A differenza del caso precedente, si devono ora trovare i parametri del modello, (le coordinate spaziali dell epicentro dell esplosione) avendo informazioni sui dati osservati (i tempi di arrivo delle onde sismiche ai ricevitori). Si tratta quindi di risolvere il problema inverso. Chiamiamo con (m) il vettore che rappresenta i parametri del modello e con (d) il vettore dati che rappresenta i tempi di arrivo delle onde sismiche ai ricevitori; la soluzione del problema inverso può essere espressa dalla relazione tra dati e modello come segue: d = (g)m (2) dove (g) è l operatore matriciale che lega i dati al modello. Nel nostro caso, la soluzione generale al problema inverso è una densità di probabilità marginale sullo spazio dei modelli M = Xe, Ye, ossia: 4
3 Per risolvere l equazione (3) si deve porre che: si suppone di non avere alcuna informazione a priori sui parametri del modello (m), ossia sulle coordinate epicentrali dell esplosione. Si definisce quindi la densità di probabilità a priori uniforme sul modello, che sarà (usando le coordinate cartesiane): ρ M (m) = cost (4) i dati osservati (d), ossia i tempi di arrivo delle onde sismiche generate dall esplosione ai ricevitori, sono affetti da un incertezza a priori che risulta essere nota poiché i tempi di arrivo sono stati troncati al decimo di secondo (tabella 1). Poiché tale troncamento (σ) è stato applicato ad ogni singolo tempo di arrivo, l incertezza sui dati osservati è uniforme. La densità di probabilità a priori sui dati, ossia le informazioni a priori sui dati osservati, sarà quindi: 1 2 5 0 si suppone che le incertezze legate alla teoria siano trascurabili rispetto a quelle dei dati, si considera quindi la teoria fisica esatta. Si può quindi esprimere la densità di probabilità condizionata per d dato m, cioè la probabilità che dato un certo modello si abbia un certo dato, attraverso una delta di Dirac, ossia: θ(d m) = δ(d g(m)) (6) la densità di probabilità non informativa sui dati, ossia: μ D (d) =cost (7) considerando le condizioni di cui sopra dalla (3) otteniamo: 5 8
La soluzione del problema inverso sarà data quindi da una densità di probabilità a posteriori sui parametri del modello (Figura 2): 1 2 0 9 dove 10 Figura 2. Densità di probabilità a posteriori σ M calcolata con la corretta incertezza sulla teoria, ossia con errore di troncamento a priori sui tempi di arrivo di + 0.1 secondi. I pallini neri rappresentano le stazioni sismiche; la stella gialla rappresenta il punto in cui è avvenuta l esplosione. L esplosione ricade nell area rossa che rappresenta la zona in cui tutti i punti sono equiprobabili. 6
Terzo caso Risolvete ancora una volta il problema, con gli stessi dati, questa volta trattando le osservazioni di prima (troncate) come se avessero un errore gaussiano con sigma=0.1s. Si deve ancora risolvere un problema inverso. I dati che verranno utilizzati saranno gli stessi ma, in questo caso, non conosciamo l incertezza sulle misure; dobbiamo quindi ipotizzare che l errore sia gaussiano. Anche in questo caso dobbiamo tenere conto che: si considera ancora la teoria fisica esatta, quindi possiamo scrivere che: θ(d m) = δ(d g(m)) (11) non si hanno informazioni a priori sui parametri del modello (coordinate spaziali dell esplosione), quindi possiamo scrivere che: ρ M (m) = cost (12) μ D (d) =cost (13) possiamo quindi scrivere che: 1 2 14 Tenendo conto delle osservazioni di cui sopra, dalla (14) otteniamo: 15 7
da cui: 1 2, 16 che descrive tutte le informazioni a posteriori che abbiamo sulle coordinate epicentrali, ossia è una densità di probabilità a posteriori sui parametri del modello e dove: 17 In figura 3 è illustratala soluzione del problema inverso con errori gaussiani sui dati Figura 3. Densità di probabilità a posteriori σ M considerando errori a priori gaussiani σ=0.1 s sui dati. I pallini neri rappresentano le stazioni sismiche; la stella gialla rappresenta il punto in cui è avvenuta l esplosione. 8
Discussione dei risultati ottenuti La soluzione del problema inverso (secondo e terzo caso) per la localizzazione di un esplosione superficiale è stata effettuata in base a due differenti ipotesi. Nel secondo caso, si considera che i dati (i tempi di arrivo delle onde ai ricevitori) siano affetti da un errore di troncamento noto. In questo caso la soluzione del problema inverso è un area caratterizzata da una densità di probabilità a posteriori σ M (m) costante (area rossa in figura 2). Tale area rappresenta quindi un area equiprobabile, ossia tutti i punti che ricadono nell area rossa hanno la stessa probabilità di essere punti dell epicentro dell esplosione. Come si può notare nella figura 2, la soluzione del problema è data da una localizzazione dell epicentro dell esplosione (figura 2- stella gialla) proprio all interno dell area, a dimostrazione che i parametri del modello e dati sono ben vincolati. Nella terzo caso, invece, si ipotizza che i dati abbiano un errore gaussiano pari a σ = 0.1s. Come si può vedere nella figura 3, la densità di probabilità a posteriori è rappresentata da un area non costante ma con valori di σ M (m) variabili. La soluzione del problema inverso è data, in questo caso, da una localizzazione dell epicentro dell esplosione quasi al limite dell area e quindi che il problema non è ben risolto. 9