PROBLEMI SVOLTI SULLA PIRAMIDE Premetto che non ho messo il trattino nell indicazione dei segmenti, ad esempio VK (sopra ci vuole il trattino perché indica una misura) e il triangolino per indicare i triangoli, ad esempio il triangolo VHK (sopra la H ci vuole il triangolino).ma voi non fatelo nelle verifiche!!! N. 1 A b = 3136 cm 2 VH= 21 cm Abbiamo le misure dell area di base e dell altezza, per calcolare la superficie totale ci servono perimetro di base e apotema della piramide (cioè VK). Fate attenzione a non confondere l apotema della base (cioè HK, che si può calcolare trovando la metà del lato della base trattandosi di un quadrato, oppure se fosse necessario si potrebbe calcolare applicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK) con l apotema della piramide, che è VK. Troviamo prima di tutto il lato del quadrato di base AB= = 56 cm 2p= 56 4= 224 cm HK= 56:2= 28 cm Possiamo ora trovare l apotema della piramide VK applicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK VK = = = 35 cm S L = = = 3920 cm 2 = S L +A b = 3920 + 3136= 7056 cm 2 N.2 VK= 24 cm
VB= 26 cm Anche in questo caso dobbiamo trovare la superficie totale, ci occorrono quindi la superficie laterale e l area di base, cominciamo col calcolare la superficie laterale: abbiamo l apotema ma ci manca il perimetro e quindi la misura del lato AB del pentagono di base, possiamo risalire a questa applicando il teorema di Pitagora al triangolo VKB (attenzione!! Questo triangolo è la metà di ognuno dei triangoli isosceli che rappresentano le facce laterali della piramide, ed è quindi un triangolo rettangolo) Calcoliamo BK che è la metà del lato del pentagono di base BK= = Il lato del pentagono sarà quindi AB= 10 =20 cm Possiamo ora calcolare 2p= 20 5= 100 cm Per cui S L = = = 1200 cm 2 Ci serve ora l area di base, cioè l area del pentagono.la base di questa piramide è un pentagono, a lezione abbiamo visto che per trovare l area di un poligono regolare potete utilizzare la formula A b = ( state bene attenti, questa non è la formula della superficie laterale della piramide ma quella per calcolare l area di base quando la base è un poligono regolare, pag.68 e pag.69 del vostro libro). Ci serve però l apotema del pentagono, cioè HK (in questo caso l apotema potete trovarlo solo utilizzando la formula vista a lezione che consisteva nel moltiplicare il lato del pentagono per un numero fisso che in questo caso è 0,688; in alternativa avremmo potuto applicare Pitagora al triangolo VHK ma questo sarebbe stato possibile solo se avessimo avuto anche l altezza VH). Quindi HK= 20 0,688= 13,76 cm A b = = = 688 cm 2 = S L +A b = 1200 + 688 = 1888 cm 2 N.3 La base di questa piramide è un triangolo isoscele, i lati congruenti sono AC e BC, mentre AB è la base del triangolo. Hp : AC=BC=78 cm 2p=216 cm VH= 15 cm State bene attenti!! in questo caso la base della piramide NON è un poligono regolare, per cui l apotema della base NON è il raggio della circonferenza inscritta. A noi interessa comunque trovare il raggio della circonferenza inscritta nella base che è HK=HM (la circonferenza non è stata disegnata, però ha il centro in H e i raggi HK e HM). Per trovare il raggio applichiamo la formula vista a lezione per calcolare i raggi delle circonferenze inscritte in poligoni non regolari (vedete pag.67 del vostro libro). In questo caso è r=, dove A sarebbe l area di base della piramide, cioè l area del triangolo isoscele Per calcolarla ci servono sia AB (base del triangolo isoscele ABC) che CK (altezza del triangolo isoscele ABC). Abbiamo il perimetro del triangolo isoscele e la misura dei lati obliqui congruenti cioè AC e CB
Per cui AB= 216- (78+78)= 60 cm Per calcolare CK applichiamo invece Pitagora al triangolo CKB che è rettangolo (metà di un triangolo isoscele) Tenete conto che KB ovviamente è la metà di AB per cui è 30 cm CK= = =72 cm Ora possiamo calcolare raggi HK=HM A b = = = 2160 cm 2 HK=KM= = = 20 cm Ci serve ora la superficie laterale della piramide, ma ci manca ancora l apotema della piramide che è VK Per trovarlo applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo VKH, che è rettangolo VK= = = 25 cm S L= = = 2700 cm 2 = S L +A b = 2700 + 2160= 4860 cm 2 N.4 La piramide ha per base un triangolo rettangolo, l angolo retto è l angolo in A, AB e AC sono I cateti mentre BC è l ipotenusa. AB=24 cm AC= 32cm VH= 19,2 cm HK è il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo di base ABC, si può calcolare con la formula vista in precedenza che è r =, dove A è l area del triangolo rettangolo ABC (base della piramide). Troviamo prima di tutto l area di base della piramide cioè l area del triangolo rettangolo ABC A b = = = 384 cm 2 Calcoliamo l ipotenusa BC BC = = = 40 cm 2p= 24+32+40= 96 cm Raggio circonferenza inscritta nel triangolo ABC = HK = = = 8 cm Apotema piramide = VK = = = 20,8 cm S L = = = 998,4 cm 2
= S L +A b = 998,4 + 384= 1382,4 cm 2 N.5 La base della piramide in questo caso è un rombo. diagonali del rombo= AC e DB VH AC= 24 cm DB= 18 cm VK= 32,8 cm Conoscendo le diagonali del rombo di base possiamo trovare il lato (AB) applicando Pitagora AB= = = 15 cm 2p= 15 4= 60 cm Per calcolare l altezza VH ci serve HK, che è il raggio della circonferenza inscritta nel rombo e di centro H ( ATTENZIONE! Il rombo non è un poligono regolare per cui il raggio della circonferenza inscritta NON coincide con l apotema del rombo e non può essere calcolato utilizzando il numero fisso ma deve essere usata la solita formula ). Prima di calcolare il raggio ci serve però l area di base A b= = cm HK= = = 7,2 cm VH= = = 32 cm S L = = = 984 cm 2 = S L +A b = 984 + 216= 1200 cm 2