Insiemi e Numeri. A = {x N x 5}

Insiemi e Numeri 1 Gli insiemi L idea di insieme viene assunta come primitiva, cioè definita dalla nostra intuizione. Frasi come: L insieme degli studenti del corso di Analisiuno L insieme degli oggetti contenuti in una scatola L insieme dei numeri naturali L insieme delle rette parallele ad una retta data ci sono familiari ed hanno per noi un significato ben preciso. I termini famiglia, classe, ecc. li considereremo sinonimi della parola insieme. Se A è un insieme, col simbolo x A intenderemo che x è un elemento di A e diremo:x appartiene ad A. La negazione di questo fatto è espressa mediante la scrittura x A. Un insieme può essere individuato o tramite un elenco dei suoi elementi (se è possibile) o tramite una proprietà che caratterizza i suoi elementi. Questa proprietà è detta proprietà caratteristica e non è unica. Per esempio, l insieme A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} può essere anche descritto mediante una proprietà caratteristica, dicendo che A è l insieme dei numeri naturali non maggiori di 5 oppure dicendo che A è l insieme dei numeri naturali minori di 6. Se indichiamo con N l insieme dei numeri naturali, 1 cioè dei numeri 0, 1, 2, 3,..., le due descrizioni di A date sopra possono essere scritte, brevemente, nel modo seguente: oppure A = {x N x 5} A = {x N x < 6}. Le proposizioni che esprimono le due proprietà caratteristiche di A sono chiaramente diverse. Tuttavia se proviamo ad elencare gli elementi di A nei due modi diversi troviamo, in ogni caso i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5. Quest esempio suggerisce il modo per definire insiemi uguali. 1 Ho una certa riluttanza ad includere lo zero tra i numeri naturali: la storia testimonia che tutto sommato tanto naturale lo zero non è. Mi adeguo, senza troppa convinzione, alla maggioranza dei testi

1.1 Uguaglianza d insiemi - Insieme vuoto 2 1.1 Uguaglianza d insiemi - Insieme vuoto Diremo che due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Si chiama insieme vuoto, e si indica con, un insieme privo di elementi. Dalla definizione di uguaglianza per gli insiemi segue che è ragionevole ritenere che l insieme vuoto sia unico, anche se può essere descritto in vari modi. Per esempio: L insieme degli studenti di Analisiuno che hanno meno di 10 anni è vuoto (o no?); L insieme dei numeri naturali che risolvono l equazione x + 1 = 0 è vuoto. 1.2 Inclusione Dati due insiemi A e B, si dice che A è contenuto in B, e si scrive A B se ogni elemento di A è anche un elemento di B (si usa la notazione A B quando non si può escludere a priori che A e B siano uguali). Per esempio, per gli insiemi: A = {x N x è multiplo di 4} e vale l inclusione A B. B = {x N x è pari } Se A B, si dice che A è un sottoinsieme di B. Se A B e B A allora ogni elemento di A è un elemento di B e ogni elemento di B è un elemento di A. Dalla definizione di uguaglianza di insiemi, segue allora che A = B. Viceversa, è abbastanza ovvio che se A = B, allora valgono entrambe le inclusioni A B e B A. Ne segue che per dimostrare che due insiemi A e B sono uguali si può far ricorso alla dimostrazione della doppia inclusione: A B e B A. 1.3 Operazioni con gli insiemi Sia X un insieme che considereremo come l ambiente o universo dove scegliere dei sottoinsiemi. (Non ci sarebbe bisogno di fissare un insieme ambiente se l insieme di tutti gli insieme fosse... un insieme). Indichiamo con P(X) l insieme di tutti i sottoinsiemi di X (e non è un gioco di parole!); P(X) viene detto insieme delle parti di X.

1.3 Operazioni con gli insiemi 3 1.3.1 Unione d insiemi Si chiama unione di due insiemi A, B P(X), e si indica con A B, l insieme degli elementi di X che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B. Cioè: È chiaro che A B P(X). A B = {x X x A oppure x B}. Vale la pena notare che l oppure che compare nella definizione data sopra non va inteso in modo esclusivo: ad A B appartengono anche gli elementi comuni ad A e a B. Così per esempio, se A è l insieme degli studenti che seguono il corso di Analisiuno e B è l insieme degli studenti che seguono il corso di Geometria, A B è l insieme degli studenti che seguono o Analisiuno o Geometria (in un mondo perfetto questi due insiemi dovrebbero coincidere, ma, purtroppo, il mondo non è perfetto... ). 1.3.2 Intersezione d insiemi Si chiama intersezione di due insiemi A, B P(X), e si indica con A B, l insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B. Cioè: A B = {x x A e x B}. Se A B =, i due insiemi A e B si dicono disgiunti. Anche in questo caso si ha A B P(X) 1.3.3 Differenza d insiemi e complementare La differenza, A \ B, è l insieme degli elementi di A che non appartengono a B: A \ B = {x A x B}. È chiaro che B \ A è diverso da A \ B (tranne che A = B). Se B A, allora A \ B si chiama complementare di B in A e si indica con C A B. Come si è visto l unione, l intersezione ed il passaggio al complementare in P(X) producono come risultato elementi di P(X). Per questa ragione possono essere considerate come operazioni in P(X). Per esse valgono le seguenti proprietà. Proposizione 1.1 Sia X un insieme e A, B, C P(X). Si ha: (1) A A = A A = A (idempotenza); (2) A B = B A ; A B = B A (commutatività); (3) A = A; A = ; (4) (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C) (associatività); (5) A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) (distributività);

4 (6) C X (C X A) = A; (7) A C X A = ; (8) C X (A B) = C X A C X B; C X (A B) = C X A C X B (formule di De Morgan); (9) A (A B) = A; A (A B) = A (proprietà di assorbimento). Dimostrazione Proviamo solo le (5) e (8); le altre affermazioni sono ovvie. (5) Sia x A (B C) questo significa che o x A o che x B C. Nel primo caso certamente x A B e x A C. Quindi x (A B) (A C). Se invece x B C allora x A B e x A C. Quindi x (A B) (A C). Viceversa sia x (A B) (A C). Allora x (A B) e x (A C). Se x A allora chiaramente x A (B C). Se x A allora, necessariamente x B ed x C, quindi x (B C). Ne segue x A (B C). Lasciamo la dimostrazione della seconda proprietà distributiva come esercizio. Proviamo la prima delle formule di De Morgan (8). Sia x C X (A B) allora x A B, quindi x A ed x B. In conclusione, x C X A C X B. Viceversa, se x C X A C X B allora x A ed x B. Quindi x A B e così x C X (A B). 2 Un po di Logica Tutte le teorie matematiche hanno una struttura ipotetito-deduttiva: si fissa un certo numero di assiomi e da questi si deriva una serie di conseguenze, con il solo uso della logica. Queste conseguenze prendono il nome di Teoremi: alcuni discendono direttamente dagli assiomi, altri li si ritrova in conseguenza di altri teoremi precedentemente dimostrati, altri li si deduce sotto alcune ipotesi non in contraddizione con gli assiomi. Ad onor del vero bisogna dire, che agli albori della storia della matematica la sua natura ipotetico-deduttiva non era certo chiara. Si pensi alla Geometria euclidea: i suoi assiomi sono tratti dalla comune esperienza e sono perciò fortemente legati al mondo fisico. A quei tempi sarebbe stato impossibile creare una Geometria in cui uno dei cinque postulati di Euclide fosse violato (la tormentata storia del Quinto postulato è particolarmente significativa). Si dovette attendere il diciannovesimo secolo perchè la natura ipotetico deduttiva della Geometria e di tutta la matematica fosse pienamente riconosciuta e si sviluppassero perciò teorie assiomatiche con un alto grado di astrazione. 2.1 Elementi di logica Abbiamo affermato che le teorie matematiche hanno natura ipotetico-deduttiva: da un sistema di assiomi, mediante l uso della logica si deducono delle affermazioni, la cui verità dipende dal sistema di assiomi prescelto. Abbiamo usato la parola logica nella sua accezione corrente: dovremmo tutti essere più o meno abituati a sviluppare ragionamenti e quindi dovrebbe essere chiaro a tutti cosa si intende per logica. Tuttavia in matematica la logica svolge un ruolo così

2.1 Elementi di logica 5 fondamentale da rendere necessaria la determinazione dell ambito a cui la si applica e di regole precise nel modo di procedere. A queste esigenze risponde la Logica matematica. Vogliamo qui esporne alcuni elementi fondamentali che ci aiuteranno nello svolgimento di questo corso. Definizione 2.1 Chiameremo proposizione una qualunque frase (ovviamente espressa nella nostra lingua) della quale sia possibile stabilire la verità o la falsità. Una proposizione sarà indicata con una lettera corsiva maiuscola: P, Q, etc. Sono ad esempio proposizioni: P: Il cane è un quadrupede Q: Gli asini volano R: 27 > 15 La proposizione Q è falsa. Questo fatto non ha rilevanza ai fini della definizione. L unica cosa importante è che una proposizione, per essere tale, deve necessariamente essere o vera o falsa. Le proposizioni possono essere combinate mediante l uso dei connettivi logici al fine di ottenere proposizioni più articolate. I connettivi logici fondamentali sono la negazione, indicata col simbolo, la congiunzione (simbolo ) e la disgiunzione (simbolo ). La negazione non è esattamente un connettivo: essa infatti agisce su una singola proposizione P e fornisce la sua negazione P. Per essere più precisi se P è una proposizione, P è la proposizione che è vera se P è falsa ed è falsa se P è vera. Per esempio, se P:Tutti i triangoli sono rettangoli (che è falsa), la sua negazione P suona Non tutti i triangoli sono rettangoli o se si preferisce Esiste almeno un triangolo che non è rettangolo. Si riconosce facilmente la veridicità di entrambe queste formulazioni. E utile riassumere questo fatto con una tavola di verità P V F P F V Se P e Q sono due proposizioni, la congiunzione di P e Q, indicata col simbolo P Q è una nuova proposizione che è vera se sono vere entrambe P e Q ed è falsa in tutti gli altri casi. Per esempio se P: Oggi piove e Q: Fa freddo la congiunzione P Q è la proposizione Oggi piove e fa freddo. Essa è vera se...effettivamente piove ed insieme fa freddo. Anche in questo caso ci è utile la tabella di verità:

2.1 Elementi di logica 6 P Q P Q V V V V F F F V F F F F Se P e Q sono due proposizioni, la disgiunzione di P e Q, indicata col simbolo P Q è una nuova proposizione che è falsa se sono false entrambe P e Q ed è vera in tutti gli altri casi. Occorre richiamare l attenzione del lettore sul fatto che la disgiunzione non è necessariamente esclusiva: essa infatti è vera anche quando sia P sia Q sono vere. Esprimiamo questo fatto con la tabella di verità P Q P Q V V V V F V F V V F F F Il connettivo logico che gioca un ruolo fondamentale nella deduzione è l implicazione, che indicheremo col simbolo : se P e Q sono due proposizioni, diremo che P implica Q (in simboli P Q) se P e Q sono entrambe vere o se P è falsa. La tavola di verità è perciò: P Q P Q V V V V F F F V V F F V Questa tavola di verità merita qualche commento, essa infatti, a differenza delle precedenti ha qualche aspetto meno intuitivo. Se, ad esempio P: Tutte le donne sono bionde (F) e Q: 2 è un numero pari, l implicazione espressa dalla frase P Q: Se tutte le donne sono bionde allora 2 é un numero pari, ancorché poco sensata, è vera perché... 2 è comunque un numero pari. Un po più... digeribile è il fatto che se la premessa è falsa e la conseguenza è pure falsa, allora l implicazione è vera. L ultimo importante connettivo logico che introduciamo è l equivalenza, che indichiamo con. Se P e Q sono due proposizioni, diremo che P è equivalente a Q (in simboli P Q) se P e Q sono entrambe vere o entrambe false. La tavola di verità è perciò:

2.2 Predicati e quantificatori 7 P Q P Q V V V V F F F V F F F V L implicazione e l equivalenza non fanno parte dei connettivi fondamentali perché esse possono essere ottenute mediante l uso della negazione, della congiunzione e della disgiunzione. È facile verificare mediante l uso delle tavole di verità che (a) (P Q) ((P Q) (Q P)) (b) P Q ( P ) Q Esistono proposizioni che sono vere quali che siano i valori di verità delle proposizioni che le formano: esse si dicono tautologie. Analogamente esistono proposizioni che sono false indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni che le formano: queste sono dette contraddizioni. Per esempio se P è una proposizione, P ( P) è una tautologia; P ( P) è invece una contraddizione. 2.2 Predicati e quantificatori Vi sono proposizioni che dipendono da una o più variabili ed il cui valore di verità può cambiare al cambiare delle variabili. Proposizioni di questo tipo prendono il nome di predicati. Per esempio, se X è l insieme di tutti gli esseri umani e x X, la proposizione P(x): x ha i capelli biondi è vera per certi x e falsa per altri. È, comunque, di estrema importanza che di un predicato si possa stabilire, per ogni possibile valore di x X, la verità o la falsità, perché, per ogni x X, P(x) deve essere una proposizione. Per fare ancora un esempio riferito sempre all insieme X di tutti gli esseri umani, la frase P(x): x è alto non è un predicato, a meno che non si premetta una definizione che chiarisca in modo non ambiguo cosa vuol dire essere alti. Se, per esempio, si definisce alta una persona di statura maggiore di 1, 80 m, la frase P(x): x è alto diventa un predicato. Un predicato P(x), come si è detto, può essere vero per certi valori della variabile x e per altri no; oppure può essere vero per tutti i valori di x o falso per tutti i valori di x. Se nell insieme X dove varia x esiste un elemento (ma non necessariamente uno solo) per cui è vera la proposizione P, scriveremo: x X : P(x). Così ad esempio, se X è l insieme N dei numeri naturali e P(x) è il predicato x > 100, la scrittura x N : x > 100 si legge: esiste un x N tale che x > 100. Il simbolo si chiama quantificatore esistenziale. Come dicevamo, può anche succedere che un predicato P(x) sia vero per tutti i valori che la variabile x assume nell insieme X. Questo fatto si esprime scrivendo: x X : P(x).

2.3 Predicati ed insiemi 8 Ad esempio, se X è ancora l insieme N dei numeri naturali P(x) è il predicato x 0, la scrittura x N : x 0 va letta: per ogni x N, x è maggiore o uguale a zero. Il simbolo si chiama quantificatore universale. Particolare attenzione va posta nell uso dei quantificatori quando si voglia negare la proposizione contenuta nel predicato. Partiamo da un esempio. L affermazione tutti i triangoli sono equilateri è evidentemente falsa. La sua negazione sarà perciò vera. Qual è la sua negazione? Certo non è l affermazione tutti i triangoli non sono equilateri (anche questa manifestamente falsa). La negazione corretta è non tutti i triangoli sono equilateri che si può anche esprimere dicendo che esiste un triangolo non equilatero. Quindi la negazione di un affermazione del tipo: x X : P(x) è x X : P(x). Facciamo un altro esempio. L affermazione esiste un numero naturale che risolve l equazione x + 1 = 0 è falsa. La sua negazione è non esiste un numero naturale che risolve l equazione x + 1 = 0 o, detta altrimenti, per ogni numero naturale x, x + 1 0. Quindi la negazione di un affermazione del tipo: x X : P(x) è x X : P(x). Naturalmente, queste regole logiche si applicano anche ad affermazioni più complicate: si tratta di riapplicarle più volte. 2.3 Predicati ed insiemi Sappiamo già che un insieme può essere descritto da una proprietà caratteristica. Questa, dal punto di vista logico, altro non è che un predicato. Così se X è l insieme ambiente, ad un sottoinsieme A di X corrisponde un predicato P A su X. Tuttavia, in generale, P A non è l unico predicato che identifica A. Viceversa, dato un predicato P su X, esso identifica un unico sottoinsieme di X: il sottoinsieme degli x X per cui è vera P(x). Le operazioni sugli insiemi si riflettono in operazioni sui predicati nel modo seguente. Se A = {x X P A (x)} e allora B = {x X P B (x)}, A B = {x X (P A P B ) (x)} ; A B = {x X (P A P B ) (x)}

9 e C X A = {x X ( P A )(x)}. Inoltre, se P A P B allora A B e se P A P B allora A = B. Gli insiemi numerici 3 I numeri naturali Abbiamo già introdotto la notazione N per indicare l insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4, }. Nel far ciò abbiamo utilizzato la nozione di numero che tutti abbiamo appreso appena raggiunta l età scolare. La denominazione di numeri naturali sta nel fatto che essi ci vengono direttamente dalla Natura, fino da quando cominciamo a contare sulle dita. Ovviamente queste idee elementari non conducono ad una definizione matematicamente soddisfacente dei numeri naturali. Per definire il concetto di numero naturale occorrono strumenti di cui, in questo corso, ancora non disponiamo. Per capire quanto ardua sia l impresa, basta riflettere sul fatto che mentre l uomo li ha sempre utilizzati, definizioni matematicamente rigorose dei numeri naturali sono state date soltanto nel periodo a cavallo tra il XIX ed il XX secolo. Questa osservazione depone a favore del punto di vista per il quale la domanda Che cos è un numero naturale? non è considerata di grande interesse ai fini pratici. È molto più utile, da questo punto di vista, capire qulali sono le proprietà che identificano i numeri naturali. Mantenendo le abituali notazioni, ci accorgiamo che l insieme N gode delle seguenti proprietà: (a) 0 N; (b) ogni n N ha un successore, il numero n + 1; (c) 0 non è il successore di alcun numero naturale; (d) se n, m N ed n m allora n + 1 m + 1 Le proprietà elencate sopra, tuttavia, non bastano ad identificare i numeri naturali. Per esempio, l insieme {0, 12, 1, 32, 2, 52 } gode pure delle proprietà (a)-(d) ma non coincide con N. ulteriore assioma È necessario quindi introdurre un (e) Se S N ha le proprietà (i) 0 S; (ii) se n S anche σ(n) S allora S = N.

10 L assioma (e) viene detto assioma d induzione e gli assiomi (a)-(e) sono i cosiddetti assiomi di Peano dal nome del matematico Giuseppe Peano che li utilizzò per definire in modo assiomatico i numeri naturali. Dagli assiomi di Peano è possibile costruire tutta l ordinaria aritmetica dei numeri naturali. Infatti si può definire la somma n + m dei numeri n, m N come l m-simo successore di n. Si mostra poi che questa operazione gode delle abituali proprietà (associativa, commutativa, esistenza di un elemento neutro, cioè di un elemento, esattamente lo 0, tale che n + 0 = n, per ogni n N). A partire dall addizione si definisce la prodotto di due numeri naturali n, m come la somma di m copie di n. Anche in questo caso si dimostra la validità delle usuali proprietà della moltiplicazione. Non è detto che esista un solo insieme N che soddisfa gli assiomi elencati sopra. Questo è, tuttavia, irrilevante, perché l aritmetica costruita a partire da un altro insieme soddisfacente gli assiomi di Peano, è la stessa di quella di quella di N. L assioma d induzione ha un importantissima applicazione, la cosiddetta dimostrazione per induzione. Essa si applica a predicati la cui variabile è un numero naturale n, cioè a predicati su N. Teorema 3.1 Sia P un predicato su N. Supponiamo che P(0) sia vero e che l ipotesi che sia vero P(n) implichi che anche P(n + 1) è vero. Allora P(n) è vero per ogni numero naturale n. Dimostrazione Sia S = {n N : P(n) è vera }. Dalle ipotesi fatte segue che (a) 0 S; (b) se n S allora anche n + 1 S. Per l assioma d induzione allora S = N. Corollario 3.2 Sia Q un predicato su N. Supponiamo che, per un certo n 0 N, Q(n 0 ) sia vero e che l ipotesi che, per n n 0, sia vero Q(n) implichi che anche Q(n + 1) è vero. Allora Q(n) è vero per ogni numero naturale n n 0. Dimostrazione Per n N, poniamo P(n) = Q(n + n 0 ). Il predicato P soddisfa le ipotesi del teorema 3.1. P(n) è quindi vero per ogni n N o, equivalentemente, Q(n) è vero per ogni numero naturale n n 0. Con Z indichiamo l insieme detto dei numeri interi, costituito dall unione di N + (l insieme dei naturali non nulli), di {0} e dagli opposti degli elementi di N +, dove la parola opposto si deve intendere nel senso definito nei corsi elementari di algebra. Z = N + {0} ( N + ). Con Q indichiamo l insieme dei numeri razionali ovvero dei numeri che si possono esprimere nella forma m n con m, n N ed n 0. Sappiamo già che la rappresentazione dei razionali come rapporto di interi non è unica, nel senso che, ad esempio, 2 3, 4 2 12 6 3 18 rappresentano lo stesso numero razionale. Esiste però un unica rappresentazione di un numero razionale nella forma m n con m ed n primi tra loro (cioè m ed n non hanno divisori comuni diversi da 1). Nell esempio precedente solo 2 e 3 hanno questa proprietà. L insieme Q ha la struttura algebrica di campo rispetto alle ordinarie operazioni di addizione e di moltiplicazione, nel senso che queste operazioni godono delle seguenti proprietà:

11 (a) x + y = y + x; x y = y x, x, y Q (b) x + (y + z) = (x + y) + z; x (y z) = (x y) z, (c) x (y + z) = x y + x z, x, y, z Q x, y, z Q (d) esiste un unico elemento, indicato con 0, tale che x + 0 = x, x Q (e) per ogni x Q esiste un elemento, detto l opposto di x ed indicato con x, tale che x + ( x) = 0 (f) esiste un unico elemento, indicato con 1, tale che x 1 = x, x Q (g) per ogni x Q \ {0} esiste un elemento, detto il reciproco di x ed indicato con x 1, tale che x x 1 = 1. I numeri razionali ammettono una rappresentazione geometrica come punti di una retta dotata di un riferimento cartesiano: si fissano sulla retta due punti O ed U (quest ultimo, in genere, a destra di O). Il punto O rappresenta il numero 0 ed U il numero 1. Il numero 2 verrà allora posto in corrispondenza del punto che si trova a destra di U e che è distante da U di una lunghezza pari alla misura di OU. I numeri negativi si porranno a sinistra di O, con la stessa procedura. Con semplici tecniche geometriche sarà pure possibile determinare la posizione sulla retta che corrisponde ad un numero razionale p non intero. Tuttavia vi sono punti sulla retta a cui non corrisponde alcun numero razionale. Costruiamo infatti su OU il quadrato di lato unitario. Il segmento di misura pari alla diagonale del quadrato può certo essere riportato, con l uso di un compasso, sulla retta contenente OU a partire da O. Si determina un punto Q. La misura del segmento OQ non può essere espressa mediante un numero razionale. Si ha infatti: Teorema 3.3 Non esiste alcun numero p Q tale che p 2 = 2. Dimostrazione Supponiamo che esista un numero razionale p = m n con m, n primi fra loro tale che p 2 = 2. Allora m 2 = 2n 2. Ora, se m 2 è pari, anche m lo è. Quindi m = 2s per qualche intero s. Ne segue allora che n 2 = 2s 2. Cosicché anche n é pari. m ed n sono dunque entrambi pari e primi tra loro. Questa è chiaramente una contraddizione. Se i numeri si esaurissero con i razionali, esisterebbero allora segmenti ai quali non saremmo in grado di attribuire una lunghezza! Se così fosse, la geometria euclidea non sarebbe andata molto lontano. Questa discussione ci può fornire una via, per così dire, operativa per definire una classe di numeri più grande di quella dei numeri razionali. Si pone quindi il problema di determinare un insieme numerico che contenga Q e soddisfi certe proprietà algebriche e d ordine. Quest insieme dovrà includere le soluzioni di equazioni del tipo mx 2 = n, m, n Z (ne conosciamo almeno una che soluzioni razionali non ne ammette, x 2 2 = 0) ed anche numeri più strani, come π, che non sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi, ma la cui esistenza deriva da fatti geometrici. Prima di procedere alla costruzione dei numeri reali abbiamo bisogno di introdurre alcune definizioni e dimostrare alcune proposizioni.

12 4 Prodotto cartesiano d insiemi Siano A e B due insiemi. Si chiama prodotto cartesiano di A e di B, e si indica con A B, l insieme di tutte le possibili coppie ordinate di un elemento di A e di un elemento di B. Cioè: Se A = B, si suole scrivere A 2 invece di A A. A B = {(a, b), a A, b B}. Si chiama relazione un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A B. Il nome è giustificato dal fatto che una proprietà caratteristica che descrive l insieme R, in genere, stabilisce che tipo di relazione deve intercorrere tra un elemento a A ed un elemento b B perché la coppia (a, b) appartenga ad R. Per esempio, se A è l insieme delle persone di sesso femminile della popolazione di una città e B è quello delle persone di sesso maschile, potremmo definire R come l insieme delle coppie (a, b) tali che a è moglie di b. Talvolta invece di scrivere che (a, b) R si scrive arb. Questa notazione esprime in modo efficace il fatto che tra a e b intercorre la relazione R. Se A = B, cioè se R A 2 la relazione si dice binaria. Vedremo che si distinguono vari tipi di relazione, in ragione delle diverse proprietà di cui esse godono. Su alcune torneremo in seguito. Per il momento, vogliamo cominciare col definire le relazioni d ordine. Definizione 4.1 Sia A un insieme ed R una relazione binaria in A. relazione d ordine se valgono le seguenti proprietà: Si dice che R è una (a) riflessiva: xrx, x A (b) antisimmetrica: xry e yrx x = y (c) transitiva: se xry e yrz, allora xrz Le proprietà elencate sopra sono soddisfatte dalla relazione nei numeri razionali; questo fatto giustifica il nome e l uso abituale del simbolo al posto di R per indicare una relazione d ordine. Anche noi adotteremo questa notazione. Una relazione d ordine è detta totale se, in aggiunta alle condizioni della Definizione 4.1, è soddisfatta anche la condizione seguente: x, y A, o x y oppure y x. La relazione d ordine dei numeri razionali è totale. Come esempio di relazione d ordine non totale, consideriamo l insieme P(A) delle parti di un dato insieme A. Definiamo A B A B. Eccettuato il caso in cui A = o A = {x} (l insieme costituito dal solo elemento x), la relazione d ordine sopra definita non è totale.

13 Definizione 4.2 Sia A un insieme ordinato e B A. Un elemento a A è detto un maggiorante di B se x a per ogni x B. Analogamente, un elemento a A è detto un minorante di B se a x per ogni x B. Un insieme può avere molti maggioranti (o minoranti) o nessuno. Definizione 4.3 Un sottoinsieme B A si dice limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante (ossia se l insieme M(B) dei suoi maggioranti non è vuoto). Analogamente, un sottoinsieme B A si dice limitato inferiormente se ammette almeno un minorante (ossia se l insieme m(b) dei suoi minoranti non è vuoto). Definizione 4.4 Sia B A, si dice che un elemento a A è il massimo di B, e si scrive a = max B, se { a B x a, x B. Analogamente si dice che un elemento a A è il minimo di B, e si scrive a = min B, se { a B a x, x B. Proposizione 4.5 Il massimo di un insieme B, se esiste, è unico. Esempio 4.6 In N l insieme {2, 3, 5, 8, 11} ammette minimo e massimo. Essi sono rispettivamente 2 ed 11. Esempio 4.7 In R consideriamo l insieme B = {x R : 1 < x 2}. L insieme B ha massimo, che è 2, ma non ha minimo. Infatti se il minimo, x 0 esistesse, dovrebbe appartenere, per definizione, a B. Il numero x 0+1 2 appartiene pure a B ed è minore del...minimo! Definizione 4.8 Si dice che un insieme B A ammette estremo superiore, se l insieme M(B) dei suoi maggioranti non è vuoto ed M(B) ammette minimo. In tal caso si pone: Analoga è la definizione di estremo inferiore. sup B := min M(B). In altre parole, un insieme B A ammette estremo superiore se è limitato superiormente ed esiste il minimo dei maggioranti di B. Esempio 4.9 L insieme B dell esempio 4.7, non ha minimo, come si è visto. L insieme dei minoranti di B è m(b) = {x R : x 1}. L insieme m(b) ammette massimo, che è 1. Quindi inf B = 1. La seguente proposizione mostra che è possibile che un sottoinsieme B, limitato superiormente in A, non ammetta estremo superiore in A.

14 Proposizione 4.10 L insieme B = {q Q : q 0, q 2 < 2} è limitato superiormente ma non ammette estremo superiore in Q. Dimostrazione Osserviamo per prima cosa che B è limitato superiormente; infatti 3 è un maggiorante di B. Infatti, se esistesse un q B tale che q > 3, sarebbe anche q 2 > 3 2 ; ma q 2 < 2 e ció è impossibile. Supponiamo che esista p Q tale che p = sup B. Visto che Q è totalmente ordinato, si deve necessariamente dare uno dei tre casi p 2 < 2, p 2 = 2, p 2 > 2. Supponiamo che p 2 < 2 e sia ɛ un numero razionale con 0 < ɛ < 1. Allora (p + ɛ) 2 = p 2 + 2pɛ + ɛ 2 p 2 + 2pɛ + ɛ = p 2 + ɛ(2p + 1); se si sceglie ɛ < 2 p2 2p+1, (cosa che è sempre possibile fare, come vedremo dopo) risulta allora (p + ɛ) 2 < 2. Ma allora p + ɛ B e quindi dev essere p + ɛ p; impossibile. Supponiamo, allora, che p 2 > 2 e sia, stavolta, ɛ un numero razionale, minore di p. In questo caso (p ɛ) 2 = p 2 2pɛ + ɛ 2 p 2 2pɛ. Se si sceglie ɛ < p2 2 2p, risulta (p ɛ)2 > 2. Ma allora p ɛ è un maggiorante di B, più piccolo di p, che è il minimo dei maggioranti. Ed anche questa è una contraddizione. Non resta che concludere che p 2 = 2. Ma anche questo è impossibile per il Teorema 3.3. 5 Da Q ad R A questo punto, ci sono forti indizi che depongono a favore della tesi seguente: se vogliamo ottenere un insieme numerico che contenga il campo dei numeri razionali ed anche numeri strani come 2 e π, possiamo tentare di aggiungere a Q tutti gli estremi superiori degi sottoinsiemi di Q limitati superiormente. È esattamente questa la procedura adottata da Dedekind, sia pure con una formulazione molto diversa, per pervenire ad una definizione costruttiva dei numeri reali. Non è nostra intenzione fornire i dettagli di questa costruzione, che è sì molto elegante, ma anche molto pesante. Ci limitiamo ad osservare che alla fine della costruzione di Dedekind si perviene a determinare un insieme R, nel quale sono definite due operazioni, + e, con le proprietà: (a) x + y = y + x; x y = y x, x, y R (b) x + (y + z) = (x + y) + z; x (y z) = (x y) z, x, y, z R (c) x (y + z) = x y + x z, x, y, z R (d) esiste un unico elemento, indicato con 0, tale che x + 0 = x, x R (e) per ogni x R esiste un elemento, detto l opposto di x ed indicato con x, tale che x + ( x) = 0 (f) esiste un unico elemento, indicato con 1, tale che x 1 = x, x R (g) per ogni x R \ {0} esiste un elemento, detto il reciproco di x ed indicato con x 1, tale che x x 1 = 1.

15 Inoltre in R è definita una relazione d ordine con le seguenti proprietà: (h) Se x, y R e x y allora x + z y + z, per ogni z R (i) Se x, y R e x y allora xz yz per ogni z 0. Le proprietà elencate sopra sono tutte valide in Q (si dice che Q è un campo totalmente ordinato); è quindi chiaro che esse non sono sufficienti a permetterci di identificare un estensione di Q che ci permetta di superare le difficoltà che abbiamo discusso. Ciò che veramente fa la differenza tra Q ed R è la seguente proprietà: (j) Ogni sottoinsieme A R, limitato superiormente, ammette estremo superiore. La proprietà (j), che nella formulazione di Dedekind può essere dedotta, è spesso presa come assioma della teoria dei numeri reali ed è chiamato assioma di completezza di R. I numeri reali costituiscono, perciò, un campo totalmente ordinato e completo. Il campo R è dotato della struttura d ordine descritta sopra. Fissati due numeri reali a, b con a < b, ha quindi senso considerare un insieme del tipo: {x R : a x b}. Questo insieme viene chiamato intervallo chiuso di estremi a e b e lo si denota con il simbolo [a, b]. Cioè [a, b] := {x R : a x b}. In modo simile si definisce: ]a, b[:= {x R : a < x < b} [a, b[:= {x R : a x < b} ]a, b] := {x R : a < x b}. L intervallo ]a, b[ è detto aperto; l intervallo [a, b[ è detto chiuso a sinistra e aperto a destra; ecc. 6 Conseguenze della completezza di R Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si dice che A e B sono separati se, presi comunque due elementi a A e b B, risulta a b. Due insiemi separati A e B si dicono contigui se, preso comunque un numero ɛ > 0, esistono due elementi a A e b B tali che b a < ɛ. Teorema 6.1 (Proprietà delle classi separate e contigue) Siano A e B classi separate e contigue. Allora A e B ammettono un unico elemento separatore; cioè esiste un x R tale che a x b per ogni a A e b B.

16 Dimostrazione Dalla definizione stessa segue che ogni elemento di B è un maggiorante di A. Quindi A è limitato superiormente. Per la completezza di R, esiste α = sup A. Analogamente si dimostra 1 esistenza di β = inf B. α è il minimo dei maggioranti di A, dunque gli elementi di B sono tutti maggiori o uguali ad α. Quindi α è un minorante di B. Poiché β è il massimo dei minoranti di B, si ha α β. Quindi, tutti gli x dell intervallo [α, β] sono elementi separatori. Per provare l unicità dell elemento separatore occorre dimostrare che α = β. Infatti, se fosse α < β, scelto ɛ = (β α)/2, dalla contiguità di A e B seguirebbe l esistenza di due elementi a A e b B tali che b a < (β α)/2. Ma ció è impossibile, perché a α < β b e dunque b a β α. Per ogni n N, poniamo I n = [a n, b n ] Si dice che gli intervalli chiusi e limitati che costituiscono la famiglia infinita {I n } sono incapsulati se I n I n+1, n N. Per gli estremi di una famiglia di intervalli chiusi e incapsulati vale, chiaramente, la relazione: Dimostriamo ora il seguente a 0 a 1... a n... b n... b 1 b 0. Teorema 6.2 (Proprietà degli intervalli incapsulati) Se I 0, I 1,... I n... sono intervalli chiusi e limitati incapsulati, esiste almeno un elemento x comune a tutti gli intervalli; cioè + k=0 I k. Se, inoltre, inf(b n a n ) = 0, allora l elemento x è unico. Dimostrazione Indichiamo con A l insieme degli estremi sinistri degli I n e con B l insieme degli estremi destri. A e B sono classi separate. Posto: α = sup A e β = infb, l intervallo [α, β] è contenuto in tutti gli I n. Questo prova la prima parte. Se inf(b n a n ) = 0, allora per ogni ɛ > 0 esiste un n tale che b n a n < ɛ. Le classi A e B sono quindi contigue e l affermazione segue dal Teorema 6.1. La completezza di R ha conseguenze rilevanti anche su N e Q. Teorema 6.3 L insieme N non è limitato superiormente. Dimostrazione Supponiamo che lo sia. Allora esiste a = sup N. Il numero a 1, allora non è un maggiorante di N, quindi esiste un n N tale che a 1 < n. Ne segue che a < n + 1, che è impossibile, perché a è un maggiorante. Teorema 6.4 Ogni sottoinsieme A non vuoto di N ha minimo.

17 Dimostrazione Visto che 0 n, n N, A è limitato inferiormente. Esiste quindi a = inf A. Dobbiamo dimostrare che a A. Supponiamo che non sia così. Il numero a + 1 non è un minorante di A, quindi esiste un n A tale che a n < a + 1. Ma a A, quindi a < n < a + 1. Il numero n non è un minorante di A, quindi esiste un m A tale che a < m < n < a + 1. Ma allora per il numero naturale n m si ha 0 < n m < 1. Impossibile. Teorema 6.5 (Proprietà di Archimede) Se a e b sono due numeri reali positivi, esiste un numero naturale n tale che na > b. Dimostrazione Procediamo per assurdo; ammettiamo cioè che, per ogni n N, na b. Ma allora n b a, n N e quindi l insieme N sarebbe limitato superiormente; contro il Teorema 6.3. Esempio 6.6 Dimostriamo che inf { 1 n, n N+} = 0. L insieme dato è costituito da numeri positivi, quindi è limitato inferiormente. Per verificare che 0 è il suo estremo inferiore, occorre far vedere che per ogni ɛ > 0 esiste un n N + tale che 1 n < ɛ. Ma per concludere questo basta applicare il Teorema 6 con a = ɛ e b = 1. Definizione 6.7 Un sottoinsieme A di R si dice denso in R se per ogni a, b R, con a < b, esiste un x A tale che: a < x < b. Teorema 6.8 L insieme Q è denso in R. Dimostrazione Se a < 0 < b, essendo 0 Q non c è nulla da provare. Se a = 0 < b, l esempio 6.6 assicura che esiste un n N tale che 0 < 1 n, b. Assumiamo che 0 < a < b. Per la proprietà di Archimede, esiste ( un ) n 0 N tale che n 0 (b a) > 1. Sempre per la stessa proprietà, esiste un m N tale che m 1 > a. Allora l insieme degli m per cui l ultima n0 disuguaglianza è soddisfatta non è vuoto e quindi ha minimo. Sia esso m 0. Allora risulta: Si ha inoltre m 0 n 0 < b. Infatti se m 0 n 0 e quindi m 0 1 n 0 a < m 0 n 0. b si avrebbe m 0 1 n 0 a < b m 0 n 0 b a 1 n 0 che contraddice la definizione di n 0. Il caso a < b < 0 si riconduce al precedente prendendo gli opposti.