Cap Fluidi

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.4 - Legge di Stevino, fluidi a riposo - 1 Cap 15.1-15.2 - Fluidi Un fluido è una sostanza in grado di scorrere: i fluidi prendono la forma dei contenitori nei quali sono confinati. In termini più tecnici se ad un corpo rigido è applicato uno sforzo di taglio ovvero una forza tangenziale alla superficie, esso resiste o si comporta in modo elastico deformandosi per poi ripristinare la situazione iniziale nel momento in cui la forza tangenziale è rimossa. I fluidi invece non sopportano sforzi di taglio, in conseguenza dei quali scorrono via, ma sono in grado invece di sopportare ed esercitare forze normali alla superficie. Fluidi sono usualmente gassosi o liquidi, ma anche sostanze dall aspetto quasi solido come la pece. 15.3 - Densità e pressione Per i corpi rigidi le grandezze più rappresentative sono la massa e la forza per i fludi è invece più utile definire la la densità e la pressione. Densità: è definita come rapporto tra massa e 1

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.4 - Legge di Stevino, fluidi a riposo - 2 volume: ρ = M V per i fluidi assumiamo che tale quantità non cambia all interno del fluido stesso. La densità è una grandezza scalare e si misura in Kg/m 3. Pressione: dal momento che le forze tangenziali alla superficie del fluido non producono effetti su di esso, si considerano solo forze normali alla superficie del fluido. Definiamo la quantità data dal rapporto tra forza normale e superficie del fluido P = F N S che chiamiano pressione. La pressione si misura in Pascal (Pa) e 1 Pa = 1 N 1 m La pressione se presente agisce su 2 tutto il fluido. 15.4 - Legge di Stevino, fluidi a riposo Se consideriamo un recipiente contenente un fluido vediamo cosa comporta la richiesta dell equilibrio statico. Consideriamo l elemento di fluido in figura ed esaminiamo le forze agenti: vi è una forza F 1 dovuta al peso della massa di fluido sopra l e- 2

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.4 - Legge di Stevino, fluidi a riposo - 3 lemento considerato e diretta verso il basso, la forza F 2 della parte di fluido di sotto che lo sorregge ed è una reazione diretta verso l alto, ed il peso dell elemento stesso: F 1 + F 2 mg = 0 Inoltre F 1 = p 1 S e F 2 = p 2 S quindi p 1 S + p 2 S mg = 0 ed scriviamo che m = ρv p 1 S/ + p 2 S/ ρgs/(y 1 y 2 ) = 0 p 2 = p 1 + ρg(y 1 y 2 ) che è detta Legge di Stevino ed è la legge che permette di determinare la pressione in un liquido in funzione della profondità: indicando infatti y 1 = 0 e p 1 = p 0 = pressione atmosferica e y 2 = h otteniamo p = p 0 + ρgh. La pressione allora non dipende dalla forma del recipiente ed è la stessa per tutti i punti alla medesima profondità. 3

N.Giglietto A.A. 2005/06- Problema 15.3-4 Problema 15.3 Nel tubo ad U in figura vi sono due liquidi in quilibrio: acqua ρ = 1000Kg/m 3 nel tratto a destra e olio ρ x a sinistra. Si osserva un dislivello d=12.3 mm tra i due liquidi e la base dove si forma l interfaccia olio-acqua è ad un dislivello l=135mm dalla superficie dell acqua. Determinare ρ x. 4

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.5 Misura della pressione- Barometro a mercurio - 5 15.5 Misura della pressione- Barometro a mercurio Capovolgendo una provetta piena di mercurio in una bacinella anch essa piena di mercurio si osserva che il mercurio nella provetta si porta ad una certa altezza h dalla bacinella lasciando in parte vuota la provetta. Consideriamo due punti A e B del mercurio e applichiamo la legge di Stevino: punto A sulla superficie della bacinella: p A = p 0 = p atm punto B alla base della provetta e alla stessa quota di A: P B = P B ma per la legge di Stevino si ha anche che P B = ρ M gh quindi p atm = ρ merc gh dal momento che si trova h=760 mm e ρ merc = 13600 Kg/m 3 si ha che p atm = 13600 9.8 0.76 = 1.0110 5 P a 5

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.6 - Principio di Pascal - 6 15.6 - Principio di Pascal Il principio spiega la proprietà che abbiamo in precedenza detto ovvero che la pressione anche esterna si propaga in tutto il fluido. Questa proprietà dei fluidi è alla base ad es. dell uso del tubetto di dentifricio. Una pressione applicata ad una parte del fluido si ripercuote su tutto il fluido e sulle pareti del suo recipiente (il fluido deve essere incomprimibile). Dim. dalla legge di Stevino p = p ext + ρgh se la pressione esterna è variata di p ext allora si avrà che p = p ext + (ρgh) e poichè ρ = costante allora p = p ext 6

N.Giglietto A.A. 2005/06- Martinetto idraulico - 7 Martinetto idraulico Dal principio di Pascal se applichiamo una pressione da un lato del fluido p i = F i /A i esso si ripresenta anche sull altro lato p i = p 0 = F 0 /S 0 S da questa abbiamo allora che F 0 = F 0 i S i se S 0 > S i possiamo amplificare la forza F i che applichiamo da un estremo. Attenzione però la forza è amplificata ma il lavoro no! (conservazione dell energia) Vediamo che lavoro fa il martinetto nello spostare la pedana: L i = F i d i A L 0 = F 0 d 0 = F 0 i A i d 0 ma la quantità di fluido che si sposta è S i d i = S 0 d 0 quindi L 0 = F i A i A 0 d 0 = F i A/ A i i / d i = L i Il lavoro è quindi lo stesso. 7

N.Giglietto A.A. 2005/06- Es. 15.4 svolto - 8 15.7- Principio Archimede Un corpo rigido immerso in un fluido (totalmente o in parte) è soggetto ad una spinta verso l alto pari al peso del fluido spostato dal corpo stesso. Nel caso dell immersione totale la spinta è allora F a = m F g nel caso del galleggiamento il peso del corpo galleggiante equaglia il peso del fluido spostato (pari a ρ fluido V ma il volume spostato V è inferiore a quello del corpo). Es. 15.4 svolto Determiniamo la frazione visibile di un iceberg: se V i è il volume totale e V f il volume di acqua spostato dalla parte sommersa, si deve avere che F g = m f g (il peso del fluido spostato) deve essere pari al peso di tutto l iceberg ovvero m i g = m f g per cui ρ i V i = ρ f V f che riscriviamo come V f ρ i ρ f V i = da cui otteniamo che la frazione di iceberg visibile sarebbe F = V i V f V i = 1 V f V i = 1 ρ i ρ f In questo caso ρ f = 1024kg/m 3 è quella dell ac- 8

N.Giglietto A.A. 2005/06- Es. 15.4 svolto - 9 qua, ρ i = 917kg/m 3 è quella del ghiaccio per cui F = 0.1 = 10% 9

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.9 - Equazione di continuità - 10 15.8 - Fluidi ideali in movimento Il fluido ideale ha le seguenti caratteristiche: 1. il fluido è incomprimibile; 2. il moto del fluido è laminare (flusso stazionario) ovvero la velocità del fluido in ogni suo punto non varia nel tempo; 3. il fluido non è viscoso (la viscosità del fluido si riscontra quando esso si oppone al movimento ed è l analogo dell attrito per i solidi); 4. il fluido è irrotazionale: in ogni suo punto non vi è un momento di forze agenti. Se vi fosse un momento di forze su una particella del fluidi questa inizierebbe a ruotare su stessa e saremmo in presenza di vortici nel fluido. Linee di flusso Se seguiamo una ipotetica particella di fluido essa descriverà una traiettoria che chiamiamo linea di flusso o linea di corrente. Per i fluidi ideali le linee di flusso non si intersecano 10

N.Giglietto A.A. 2005/06- Problema - 15.7-11 Dim. Se per assurdo 2 linee di corrente si intersecassero allora nel punto di intersezione avviene che se in esso passa una particella proveniente dalla linea 1 la velocità avra direzione tangente alla linea stessa ma se viene dalla 2 ne avrà un altra. Questo comporta allora una variazione della velocità nel tempo che non è possibile nel moto laminare o nel regime stazionario. 15.9 - Equazione di continuità La velocità di flusso di un fluido dipende dalla sezione del recipiente. Consideriamo infatti una particella di fluido che si muove in un tubo (potrebbe essere anche solo ideale a ) allora si ha che la porzione di volume che passa attraverso una base è V = Aδx = Av t pertanto se consideriamo la porzione di volume in uscita essa deve essere la stessa dal momento che non ci sono perdite di fluido: V = A 1 v 1 t = a Basta tenere presente che un tubo definito dalle linee di corrente non ha perdite perchè le linee di corrente non si intersecano, quindi un fluido rimane confinato in un tubo di linee di corrente come se fosse in un recipiente 11

N.Giglietto A.A. 2005/06- Problema - 15.7-12 A 2 v 2 t A 1 v 1 = A 2 v 2 eq. di continuità se quindi restringiamo la sezione avremo un aumento di velocità A 2 < A 1 v 2 = v 1 A 1 A 2 > v 1 La quantità R V = Av = Q è detta portata volumetrica ed è costante. Se la ρ è costante (lo è nei fluidi ideali) allora si ha anche la costanza del prodotto ρq = ρav = R M portata di massa Problema - 15.7 L acqua che esce da un rubinetto si restringe scendendo. La sezione sul rubinetto è A 0 = 1.2 cm 2 e in basso, dopo essere sceso di h=45 mm, è A = 0.35cm 2. Qual è il flusso d acqua che esce dal rubinetto? La portata è la stessa quindi A 0 v 0 = Av ma l acqua cade per gravità quindi sappiamo (dalla cons. dell energia mecc.) v 2 = 2gh v1 2 = v0 2 + 2gh da cui A 0 v 0 = A v0 2 + 2gh v 0 = 2ghA 2 A 2 0 A2 = = 28.6cm/s Quindi la portata volumetrica è A 0 v 0 = Av = 34cm 3 /s 12

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.10-Equazione e teorema di Bernoulli - 13 15.10-Equazione e teorema di Bernoulli Consideriamo il più generale tubo di flusso dimostriamo che sussiste la eq. di Bernoulli: p + 1 2 ρv2 + ρgy = costante Dim. consideriamo lo stato iniziale (fig. in alto) e quello finale (fig. in basso) alla luce della cons. dell energia: la parte di fluido tra le 13

N.Giglietto A.A. 2005/06-15.10-Equazione e teorema di Bernoulli - 14 superfici (1) e (2) è equivalente, tra le due situazioni l unica parte che differisce è la parte trattegiata. Quindi ai fini della conservazione dell energia è come se la massa in ingresso tratteggiata salisse verso la posizione finale in alto. Per il teorema del lavoro-en. cinetica si ha: L = E k con L = lavoro di tutte le forze agenti e E k = 1 2 m 2v2 2 1 2 m 1v1 2 ma per l equazione di continuità m 1 = m 2 = ρ V per cui E k = 1 2 ρ V {v2 2 v1} 2 Per i lavori invece L = L g + L fluido dove L g è il lavoro fatto dalla forza gravitazionale L fluido è il lavoro dovuto alla pressione esercitata dal fluido in ingresso o in uscita. L g = E p = mg(y 2 y 1 ) = ρg V (y 2 y 1 ) L fluido = ( F ) x + F 1 x 1 F 2 x 2 = p 1 A 1 x 1 p 2 A 2 x 2 = p 1 V 1 p 2 V 2 = (p 1 p 2 ) V Ma L = E k (p 1 p 2 ) V ρg V (y 2 y 1 ) = 1 2 ρ V (v2 2 v1) 2 p 1 + ρgy 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + ρgy 2 + 1 2 ρv2 2 cvd 14

N.Giglietto A.A. 2005/06- Applicazioni: - problema 15.9-15 Applicazioni: - problema 15.9 Un serbatotio d acqua, aperto in alto, si fora ad una distanza h dalla sommità del recipiente. A quale velocità fuoriesce l acqua? Consideriamo tutto il serbatoio come un tubo di flusso e consideriamo i due punti (A) sulla superficie del fluido e (B) all uscita del foro. In A per Bedrnoulli si dovrebbe considerare p 0 + ρgy A + 1 2 ρv2 A e in B analogamente p 0 + ρgy B + 1 2 ρv2 B. Se il serbatoio è grande ed il foro è piccolo allora possiamo pensare che nonostante la perdita il livello dell acqua praticamente non scende quindi v A 0 inoltre y A = h e y B = 0 quindi p/ 0 + ρgh = p/ 0 + 1 2 ρv2 B vb 2 = 2gh è la velocità di uscita. 15

N.Giglietto A.A. 2005/06- Applicazioni: - problema 15.9-16 Se invece non possiamo trascurare il fatto che anche il livello dell acqua scende allora dall eq. di continuità abbiamo che S A v A = S B v B v A = S B SA v B e sositituendo ancora nell eq. di Bernoulli otteniamo che p/ 0 + ρgh + 1 2 ρ( S B SA ) 2 vb 2 = p 0/ + 1 2 ρv2 B ρgh = 1 2 ρv2 B [1 ( S B SA ) 2 ] vb 2 = 2gh 1 ( S B SA ) 2 16