Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente). Successivamente, detto C il centro dell iperbole, calcola l area del triangolo ABC. 2. Determina i punti di intersezione tra la curva di equazione x^2+y^2-6y=0 e la curva di equazione y=1/3*x^2. Successivamente individua i punti di intersezione tra la curva x^2+y^2-6y=0 e la curva di equazione 36x^2+y^2-36=0 (risolvi i problemi sia graficamente che analiticamente). 3. I punti A e B sono comuni a una parabola e a un iperbole. Trova le loro equazioni sapendo che: - il punto A ha coordinate (3,1); - la parabola ha vertice nell origine e asse di simmetria x=0; - l iperbole ha asse non trasverso di equazione x=0, ha come vertici i punti A e B e la lunghezza del suo asse non trasverso è 1. Successivamente determina le coordinate dei fuochi dell iperbole e del fuoco della parabola e le equazioni degli asintoti dell iperbole. (rappresenta la parabola, l iperbole, i punti A e B, i fuochi e gli asintoti). 4. Rappresenta graficamente l iperbole di equazione 9x^2-16y^2+36x+128y-364=0 e determina analiticamente le coordinate dei suoi punti di intersezione con l asse delle ascisse. 5. Considera la circonferenza di equazione x^2+y^2=9 e l iperbole di equazione y=k/x. Quanto deve valere k affinché l iperbole sia tangente alla circonferenza? Motiva la risposta. Che cosa accade se k è maggiore di quel valore? --------------------------------------------------------------------- Ripartizione percentuale del lavoro da svolgere 1=15%+10% 2=10%+15% 3=10%+10% 4=10%+5% 5=15%
Risoluzione 1. L intersezione tra la retta e l iperbole si trova risolvendo un sistema che conduce alla seguente equazione: che ha le seguenti soluzioni: sostituendo nella retta y=-x si trovano le y corrispondenti (punti B e A sul grafico). Per calcolare l area del triangolo, prima calcoliamo la distanza AB: si trova (applicando la formula della distanza tra due punti, permettendo alla calcolatrice di aiutarci per le semplificazioni)
cioè circa poi calcoliamo l altezza CD applicando la formula della distanza punto-retta tra il punto C e la retta y=-x. Per applicare la formula scriviamo la retta in forma implicita: x+y=0 (cioè a=1, b=1, c=0). Si trova (dopo avere razionalizzato il denominatore): che è all incirca uguale a 0,94. L area del triangolo è pari a (base*altezza)/2 cioè: che è all incirca 1,937. 2. La prima equazione si può scrivere come x^2=-y^2+6y; sostituendo nella y=1/3*x^2 si giunge alla seguente eq.: y=1/3*(-y^2+6y) cioè 1/3y^2-2y+y=0 cioè 1/3y^2-y=0 che è un equazione spuria. Mettendo in evidenza y si trovano immediatamente le soluzioni y1=0 e y2=3. Dovendo essere y=1/3x^2, sostituiamo i valori di y1 e di y2 per trovare le x corrispondenti. Si ottengono in definitiva tre punti di intersezione: P1: y1=0 x1=0 (soluzione doppia) P2: y2=3 x2=3 P3: y3=3 x3=-3 La soluzione grafica è facilissima da ottenere ed è di grande aiuto per interpretare i risultati analitici. In meno di un minuto osserviamo dalle rispettive equazioni che la circonferenza ha centro (0,3) e raggio 3 mentre la parabola ha vertice (0,0) e passa per il punto (3,3):
Come si vede nel punto (0,0) il contatto è doppio: parabola e circonferenza hanno la stessa retta tangente. Per quanto riguarda l intersezione tra circonferenza ed ellisse, di nuovo dall equazione della circonferenza ricaveremo x^2=-y^2+6y che inseriremo nell equazione dell ellisse. Otteniamo: 36*(-y^2+6y)+y^2-36=0 che è un equazione di secondo grado che ammette le seguenti soluzioni: y1=6 e y2=6/35 Inserendo questi valori nella x^2=-y^2+6y troveremo le corrispondenti x: con y1=6 si ottiene x1=0 (soluzione doppia) con y2=6/35 si ottiene x^2=1224/1225 che dà luogo a due soluzioni. Quindi abbiamo in tutto tre punti di intersezione: y1=6 x1=0 (punto doppio) y2=6/35 (circa 0,17) x2=-6sqrt(34)/35 (circa -1) y3=6/35 x3= 6sqrt(34)/35 (circa 1) Graficamente (dopo aver scritto l eq. dell ellisse nella forma canonica x^2+y^2/36=1) si ha: 3. Una parabola che ha vertice nell origine e asse x=0 ha equazione del tipo y=ax^2 (infatti sia b che c devono essere nulli). Per passare per il punto (3,1) è necessario che 1=a*3^2 cioè che a=1/9 Quindi la parabola ha equazione y=1/9x^2 Per le informazioni date sulla parabola e sull iperbole, il punto B è il simmetrico di A rispetto all asse y. Cioè B ha coordinate (-3,1). La lunghezza dell asse trasverso dell iperbole coincide con la distanza AB che è 6 quindi a=3. Il centro ha coordinate (0,1). Sapendo che la lunghezza dell asse non trasverso è 1 possiamo scrivere l equazione dell iperbole:
x^2/9-(y-1)^2=1 a=3 b=1 quindi c=sqrt(10) ; i fuochi sono F1(-c,1) e F2(c,1). Gli asintoti (diagonali del rettangolo) hanno coefficiente angolare +/- b/a e passano per il centro della conica quindi hanno equazione y-1= +/- b/a * ( x-0) cioè y=-1/3 x+1 e y=1/3 x+1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. L esercizio si risolve con il metodo del completamento dei quadrati: 9(x^2+4x)-16(y^2-8y)=364 9[(x+2)^2-4]-16[(y-4)^2-16]=364 9(x+2)^2-16(y-4)^2-36+256=364 9(x+2)^2-16(y-4)^2=144 (x+2)^2/16 (y-4)^2/9 =1 Il centro è dunque (-2,4) e i semiassi sono 4 e 3.
Le intersezioni con l asse x si trovano risolvendo l equazione 9x^2+36x-364=0 Si trova: 5. Mettendo a sistema circonferenza e iperbole si trova: x^2+(k/x)^2-9=0 Moltiplicando per x^2 si ottiene: x^4+k^2-9x^2=0 Cioè x^4-9x^2+k^2=0 Ponendo t=x^2, si ha: t^2-9t+k^2=0 Delta=81-4k^2 La condizione di tangenza è delta=0 cioè k^2=81/4 cioè k=+/- 9/2 Graficamente si ha: Se k è maggiore di 9/2 (o minore di -9/2) l iperbole è esterna; se k è compreso tra -9/2 e 9/2 (pur essendo diverso da 0), l iperbole è secante.
Compito B 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (-2x-1)/(-3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del primo e del terzo quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente). Successivamente, detto C il centro dell iperbole, calcola l area del triangolo ABC. 2. Determina i punti di intersezione tra la curva di equazione x^2+y^2+6y=0 e la curva di equazione y = - 1/3*x^2. Successivamente individua i punti di intersezione tra la curva x^2+y^2+6y=0 e la curva di equazione 36x^2+y^2-36=0 (risolvi i problemi sia graficamente che analiticamente). 3. I punti A e B sono comuni a una parabola e a un iperbole. Trova le loro equazioni sapendo che: - il punto A ha coordinate (3,-1); - la parabola ha vertice nell origine e asse di simmetria x=0; - l iperbole ha asse non trasverso di equazione x=0, ha come vertici i punti A e B e la lunghezza del suo asse non trasverso è 1. Successivamente determina le coordinate dei fuochi dell iperbole e del fuoco della parabola e le equazioni degli asintoti dell iperbole. (rappresenta la parabola, l iperbole, i punti A e B, i fuochi e gli asintoti). 4. Rappresenta graficamente l iperbole di equazione 9x^2-16y^2-36x+128y-364=0 e determina analiticamente le coordinate dei suoi punti di intersezione con l asse delle ascisse. 5. Considera la circonferenza di equazione x^2+y^2=16 e l iperbole di equazione y=k/x. Quanto deve valere k affinché l iperbole sia tangente alla circonferenza? Motiva la risposta. Che cosa accade se k è minore di quel valore? --------------------------------------------------------------------- Ripartizione percentuale del lavoro da svolgere 1=15%+10% 2=10%+15% 3=10%+10% 4=10%+5% 5=15%