Scomposizione in fratti semplici

0.0.. Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiedono l antitrasformazione di una funzione razionale fratta di questo tipo: F (s) P (s) Q(s) : b m s m + b m s m +... + b s + b 0 s n + a n s n +... + a s + a 0 La differenza r n m fra i gradi del denominatore e del numeratore prende il nome di grado relativo della funzione razionale F (s). La funzione F (s) può essere scomposta in fratti semplici se è strettamente propria, cioè se presenta una grado relativo r. La funzione F (s) può sempre essere espressa anche in forma fattorizzata: F (s) K (s z ) (s z )... (s z m ) (s p ) (s p )... (s p n ) Le costanti complesse z,..., z m e p,..., p n vengono dette, rispettivamente, zeri e poli della funzione F (s). Valutazione grafica della funzione F (s):

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. Ad ogni polo reale p i della funzione F (s) viene associata una costante di tempo τ i così definita: Im τ i p i p i τ i Re La costante di tempo τ i è positiva se il polo reale p i è negativo. Un analoga definizione vale anche per le costanti di tempo τ j associate agli zeri: τ j /z j. Nel caso di poli complessi coniugati p, σ ± j ω (σ è la parte reale e ω è la parte immaginaria) spesso si utilizza anche la seguente parametrizzazione di tipo polare : p, σ ± j ω δ ω n ± j ω n ω n cos ϕ ± j ω n sin ϕ p Im ω dove ω n è detta pulsazione naturale: ϕ ω n ω n p p σ + ω e δ è detto coefficiente di smorzamento: δ cos ϕ σ σ + ω p σ Re Valgono quindi le relazioni seguenti: σ δ ω n, ω ω n L utilizzo della parametrizzazione polare (δ, ω n ) risulterà molto utile nello studio temporale e frequenziale dei sistemi dinamici lineari.

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 3 In relazione all antitrasformazione si distinguono due casi: i) tutti i poli sono semplici; ii) si hanno poli multipli. Nel caso di poli semplici la funzione può essere scomposta come segue: F (s) P (s) Q(s) P (s) n (s p ) (s p )... (s p n ) i K i s p i Le costanti K i (dette residui) sono reali in corrispondenza dei poli reali, complesse coniugate in corrispondenza delle coppie di poli complessi coniugati. Esse si ricavano utilizzando la formula: K i (s p i ) P (s) Q(s) spi Una volta che la funzione F (s) è stata scomposta in fratti semplici, è immediato antitrasformarla: Esempio. Sia f(t) n K i e p it 5 s + 3 F (s) : (s + ) (s + ) (s + 3) K s + + K s + + K 3 s + 3 I residui si calcolano nel modo seguente: 5 ( ) + 3 K ( + ) ( + 3) per cui si può scrivere e quindi K K 3 i 5 ( ) + 3 ( + ) ( + 3) 7 5 ( 3) + 3 ( 3 + ) ( 3 + ) 6 F (s) s + + 7 s + 6 s + 3 f(t) e t + 7 e t 6 e 3t

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 4 Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati p σ + j ω, p σ j ω anche i residui sono complessi coniugati p ϕ Im ω n ω K u + j v, K u j v La somma di fratti semplici ad essi relativa è σ Re Posto u + j v s σ j ω + u j v s σ + j ω M : K u + v, ϕ : arg K arg (u + j v ), p si può scrivere ( M e jϕ e jϕ ) + s σ j ω s σ + j ω da cui, antitrasformando, si ottiene M ( e σ t+j(ω t+ϕ ) + e ) σ t j(ω t+ϕ ), funzione che può essere posta nella forma, Esempio. Sia: M e σ t cos(ω t + ϕ ) oppure M e σ t sen(ω t + ϕ + π/) F (s) : 7s 8s + 5 s 3 + s + 5s K s + K s + j + K 3 s + + j I residui sono i seguenti: 7 0 8 0 + 5 K (0 + j) (0 + + j) e pertanto da cui, antitrasformando, K 7 ( + j) 8 ( + j) + 5 ( + j) ( + j + + j) 3 + j4 K 3 7 ( j) 8 ( j) + 5 ( j) ( j + j) 3 j4 F (s) s + 3 + j4 s + j + 3 j4 s + + j, f(t) + 0 e t cos (t + ϕ), dove 0 K 3 + 4 e ϕarctan(4/3)53.3.

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 5 Esempio. Si calcoli la risposta al gradino unitario del seguente sistema: G(s) ω n s + δω n s + ω n Occorre antitrasformare la seguente funzione di uscita: Y (s) G(s)X(s) ω n s(s + δω n s + ω n ) ω n s(s ω n e jϕ p )(s ωn e jϕ p ) p ϕ Im ω n ω ω n ϕ p dove e K s + K s ω n e jϕ p + K s ω n e jϕ p p, δω n ± jω n ϕ p π ϕ π arccos δ σ δω n p Re Il calcolo dei residui è immediato: K lim s 0 ω n s + δω n s + ω n Essendo: K lim s ω n e jϕp M K ω n s(s ω n e jϕ p ) ω n ω n e jϕ p (ωn e jϕ p ωn e jϕ p ) sin ϕ p sin(π ϕ) sin ϕ e jϕp j sin ϕ p ϕ argk ϕ p π (π ϕ) π ϕ + π arctan e antitrasformando si ottiene (cos(α + π ) sin α): ] y(t) + M e δωnt cos [ω n t + ϕ + e δω nt cos [ω n t + arctan δ e δω nt sin [ω n t + arctan ] δ δ + π ] + π

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 6 Antitrasformazione: il caso di poli multipli Si suppone che la funzione razionale F (s) abbia h poli distinti p i (i,..., h), ciascuno caratterizzato da un ordine di molteplicità r i ( h i r i n): F (s) P (s) Q(s) P (s) h (s p ) r (s p ) r... (s ph ) r h Le costanti K il si ricavano mediante la formula K il (l )! d l ds l (s p i) r P (s) i Q(s) i spi r i l K il (s p i ) r i l+ dove (i,..., h; l,..., r i ). Antitrasformando la F (s) si ottiene: f(t) h i r i l K il (r i l)! tr i l e p it I coefficienti K il sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati. I termini complessi coniugati corrispondono a prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, e si ottengono con un procedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso di poli distinti. Esempio: dove F (s) (s + ) (s + ) K s + + K s + + K (s + ) K [(s + ) F (s)] s K d [ (s + ) F (s) ] d ds s ds [ s + ] s K [ (s + ) F (s) ] s Antitrasformando si ottiene: f(t) e t e t + t e t

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 7 Sviluppi in somme di fratti semplici Si consideri il rapporto di polinomi Valgono le seguenti proprietà: F (s) b ms m + b m s m +... + b s + b 0 a n s n + a n s n +... + a s + a 0 i) se è nm+, la somma dei residui di F (s) è b m an ; ii) se è n m+, la somma dei residui di F (s) è zero. Si ricorda che, nello sviluppo in fratti, i residui di F (s) sono i coefficienti dei termini con polinomio a denominatore di primo grado. Esempio : s z F (s) (s p ) (s p ) (s p 3 ) A + B + C s p s p s p 3 Calcolati A e B, il calcolo del residuo C è immediato: C (A + B). Esempio : F (s) (s p ) (s p ) A (s p ) + B + C s p s p Il coefficiente A e il residuo C si possono calcolare immediatamente: A p p, C Applicando la proprietà ii si deduce: B C. Esempio 3: (p p ) s z F (s) (s p ) 3 (s p ) A (s p ) + B 3 (s p ) + C + D s p s p Il coefficiente A e il residuo D si calcolano immediatamente. Applicando la proprietà ii si deduce: C D. Moltiplicando ambo i membri dello sviluppo per (s p ) si ottiene: s z A (s p ) (s p ) (s p ) + B + C + D s p s p s p A (s p ) + B + E s p s p da cui si calcola E p z (p p ) Applicando la proprietà ii al nuovo sviluppo, si ottiene B E.

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 8 L unica difficoltà nell antitrasformazione delle funzioni razionali fratte è la fattorizzazione del polinomio a denominatore. Il comportamento dell antitrasformata per t tendente all infinito è legato alla posizione dei poli in rapporto all asse immaginario. Infatti, nel caso di poli semplici si hanno termini (modi) del tipo: K, K e σt, K e σt sen (ω t + ϕ) in cui σ e ω sono le parti reale e immaginaria dei poli considerati, mentre nel caso di poli multipli si hanno termini (modi) del tipo: K t h, K t h e σt, K t h e σt sen (ω t + ϕ) in cui h è un intero compreso fra l unità e r, essendo r l ordine di molteplicità dei poli considerati. Nel caso di poli semplici, i termini tendono a zero per t tendente all infinito se la parte reale del relativo polo è negativa, restano limitati se essa è nulla e divergono se essa è positiva. Nel caso di poli multipli, i termini tendono a zero se la parte reale del relativo polo è negativa e divergono se essa è nulla o positiva. L antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la funzione da antitrasformare non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici, diverge in caso contrario. I poli che caratterizzano la trasformata della risposta del sistema a un segnale di ingresso (come l impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento, più quelli relativi al segnale di ingresso. Il sistema risulta stabile (asintoticamente) quando tutti i suoi poli sono a parte reale negativa: infatti in tal caso le sue variabili tendono a riacquistare asintoticamente per t tendente all infinito i valori che avevano prima della perturbazione.

.. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 9 Modi della risposta nel caso di poli distinti (r ): Modi della risposta nel caso di poli multipli (r ):