ALGEBRE MATRICIALI E STRUTTURE DI RANGO: GEMELLAGGI E MATRIMONI A U = {P = U U, diagonale} Popolazione in esame: 3 famiglie (allargate?) di algebre note ω-circolanti (ω C, ω = 1) 16 trasformate trigonometriche 8 trasformate di Hartley futura estensione a blocchi (in collaborazione con C. Estatico)
Trigonometriche pari (η 0 = η n = 1 2 ; η k = 1 altrimenti) CI e U = 2 ( CII e U = 2n n 1 ( η k η n 1 k η j η n 1 j cos kjπ η k cos k(2j+1)π 2n k,j=0 ( CIII e U = 2n η j cos (2k+1)jπ 2n ( CIV e U = 2n cos (2k+1)(2j+1)π 4n ( ) n SI e U = 2 n+1 sin n+1 kj ( π k,j=1 ) n SII e U = 2n η k sin k(2j 1) 2n π ( SIII e U = 2n η j sin (2k 1)j 2n ( SIV e U = 2n π sin (2k 1)(2j 1) 4n π k,j=0 k,j=0 ) k,j=1 n k,j=1 ) n k,j=1 n 1 k,j=0
Trigonometriche dispari C o I U = 2 2n 1 ( η i η j cos 2ijπ 2n 1 i,j=0 C o II U = 2 2n 1 ( η i η n 1 j cos 2i(j+1 2 )π 2n+1 C o III U = 2 2n 1 ( η n 1 i η j cos 2j(i+1 2 )π ( CIV o U = 2 2n+1 cos 2(i+1 2 )(j+1 2 )π ( 2n+1 ) n SI o U = 2 2n+1 ( SII o U = 2 2n+1 ( SIII o U = 2 2n+1 sin 2ijπ 2n+1 sin 2i(j 1 2 )π 2n+1 sin 2(i 1 2 )jπ 2n+1 i,j=1 ) n ) i,j=1 n 2n 1 i,j=1 i,j=0 S o IV U = 2 2n 1 ( η n 1 i sin 2π(i 1 2 )(j 1 2 ) 2n 1 i,j=0 i,j=0 ) n i,j=1
Algebre Hartley (Q = 1 2 ( 2 I J 2 J I )) H I U = 1 n (cos 2ijπ n H II U = 1 n (cos 2ijπ n H III U = 1 n (cos i(2j+1)π n H IV U = 1 n (cos i(2j+1)π n H V U = 1 n (cos (2i+1)jπ n H V I U = 1 n (cos (2i+1)jπ n + sin 2ijπ n + sin 2ijπ n i,j=0 i,j=0 Qt + sin i(2j+1)π n i,j=0 i,j=0 Qt n i,j=0 ( ) (2i+1)jπ n 1 n i,j=0 Qt + sin i(2j+1)π n + sin (2i+1)jπ + sin H V II U = 1 n (cos (2i+1)(2j+1)π 2n H V III U = 1 n (cos (2i+1)(2j+1)π 2n + sin (2i+1)(2j+1)π 2n + sin (2i+1)(2j+1)π 2n i,j=0 i,j=0 Q
MOTIVAZIONE 1 A algebra P(A) := arg min P A A P F A generica calcolo P(A) in O(n 2 log n)... casi intermedi???... T Toeplitz formule ad hoc in O(n) per P(T ) e P(T t T ) Riduzione costi gemellaggi con strutture di rango.
MOTIVAZIONE 2 Algoritmo O(n) per P(T t T ) (caso circolante): T = C(circ) + S(anticirc) P(T t T ) = P(C t C) + P(S t S) + P(C t S) + P(S t C) 1) C t C circolante P(C t C) = C t C 2) S t S anticircolante Toeplitz costo O(n) 3 4) P(C t S) = C t P(S), P(S t C) = P(S t )C, S Toeplitz Altre algebre: posso sempre scrivere T = C + S? (C A, S?? Costo di P(S)?) matrimoni tra algebre.
CALCOLO CON MATRICI DI GRAM Osservazione. P(A) = proiez. ortogonale di A su A risp. a n X, Y := X ij Y ij Equazioni normali: i,j=1 1. Scelgo base di A = Span(P 0,..., P n 1 ) 2. Costruisco matrice di Gram G := ( P k, P j k,j=0 3. Calcolo termine noto b := ( A, P j j=0 4. Risolvo il sistema Gc = b (quanto costa?!?) 5. Il precondizionatore P(A) è P = c 0 P 0 + + c n 1 P n 1
Base delle ω-circolanti: W k ω = 1... 1 ω... ω k k = 0,..., n 1 Elemento della Gram: G kh = W k ω, W h ω = 0 k h G diagonale (troppo facile...)
Base di S e I (caso n = 5): B 0 = I, B 1 = B 3 = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1, B 2 = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1, B 4 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0, 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0. 1 0 1 0 0 Toeplitz+Hankel pulita algebra non degenere
Base di S e II (caso n = 5): B0 = I, B 1 = B 3 = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0, B2 = 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0, B4 = 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0, 2 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0. 2 0 0 0 0 Toeplitz+Hankel sporca algebra degenere
Base trigonometrica (caso non degenere): B 0 = I; per k 1 B k = α 1...... α 1 1 β...... 1 β k, α, β {±1} r = 1 o indice k con antidiag. α s = 1 o indice k con antidiag. β } A = A(α, β, r, s)
Parametrizzazione trigonometriche non degeneri: S e I S e III S e IV C e III C e IV S o I S o II S o III C o IV α 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r 2 1 1 1 1 2 1 2 1 s 2 1 1 1 1 1 2 1 2
Base trigonometrica (caso degenere): B0 = I, B k = B k + γ γ δ δ, Bn 1 = B n 1 + η η A = A(α, β, r, s, γ, δ, η)
Parametrizzazione trigonometriche degeneri: S e II C e I C e II S o IV C o I C o II C o III α 1 1 1 1 1 1 1 β 1 1 1 1 1 1 1 r 2 0 0 1 0 1 0 s 0 0 2 0 1 0 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 γ 0 δ 1 1 + 2 η 1 1 + 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Teorema. algebra trigonometrica A(α, β, r, s [, γ, δ, η] ): G k0 = απ(k, r) + βπ(k, s) k > 0 G k1 = 2(α + β G k0 ) k > 1 G kh = 2G k0 G kh = G k1 { 1 se k m mod 2 dove π(k, m) = 0 altrimenti. k > h, h > 0 pari k > h, h dispari
Struttura di rango di G (stril( ) := tr. inf. stretto) stril(g) = stril(rango 2) Il rango si abbassa: se α = β (G k1 = 2G k0 ) se inoltre r s mod 2 (G k0 0) se α = β e r s mod 2 (G k0 α, G k0 2α) G = diag. + s.s., quasiseparabile di ordine p {0, 1, 2}
Ordine di separabilità delle trigonometriche: S e I S e II S e III S e IV C e I C e II C e III C e IV p 2 0 2 0 2 0 2 0 S o I S o II S o III S o IV C o I C o II C o III C o IV p 1 1 1 1 1 1 1 1
Base di Hartley: T 0 = I; T k = { k 1 σ 1 σ......... σ......... 1...... σ 1 } k per k = 1,..., n/2 1 (anche n/2 se n è dispari)...
... H k = k r k r { τ 1...... τ... στ...... 1... σ...... στ σ } k r + 1 k r 1 + eventualmente H 0 oppure T n/2 oppure H n/2 (secondo A)
Parametrizzazione (e base) delle Hartley: H I H II H III H IV H V H V I H V II H V III σ 1 1 1 1 1 1 1 1 τ 1 1 1 1 1 1 1 1 r 0 0 1 1 0 0 1 1 base T n/2 T n/2 T n/2 T n/2 H n/2 H 0 H n/2 H 0
( DT M Teorema. algebra di Hartley A(σ, τ, r): G = t ), M D H D T = ( T k, T h ), D H = ( H k, H h ) diagonali, M = ( H k, T h ) M k0 = (σ + τ)π(k, r) + (1 + στ)π(k, n + r) M k1 = 2[(1 + σ)(1 + τ) M k0 ] M kh = 2M k0 se h pari e 0 < h < n/2 M kh = M k1 se h < n/2 dispari M k, n/2 = M k, n/2 2 se n dispari, 1 2 M k, n/2 2 se n pari. Struttura di rango di M struttura di G + semplificazioni...
Ordine di separabilità delle Hartley: H I H II H III H IV H V H V I H V II H V III n pari disp. pari disp. pari disp. pari disp. p 0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1
Il termine noto... G quasiseparabile costo per P(A) = O(n)+ calcolo ( A, B k ) k Caso di A Toeplitz: B k = T k + H k + E k calcolo A, T k immediato (el. di A lungh. diagonali) calcolo A, E k immediato (somma pesata di 2 4 el. di A) calcolo A, H k H k = αh k +βh k + (separo antidiag.) A, H k = A, H k±2 + 2 el. di A linearità O(n) Caso di A Hankel: A, B k = JA, JB k (JA Toeplitz) JB k = JT k (Hankel) +JH k (Toeplitz) +JE k come sopra! Congettura: A = i A i con ( A i, B k ) i,k quasiseparabile
MATRIMONI I Fatte l una per l altra: C e IV = S e IV = T (c 1,..., c n ) + T (s 1,..., s n ) + c 2 c n 0.... c n c n.... 0 c n c 2 s 2 s n 0.... s n s n.... 0 s n s 2 T (a 1,..., a n ) = C + S con C C e IV, S Se IV : c j = s j = a j 2,
MATRIMONI II Algebre... di facili costumi: C e III = S e III = T (c 1,..., c n ) T (s 1,..., s n ) + c 2 c n 0.... c n c n.... 0 c n c 2 s 2 s n 0.... s n s n.... 0 s n s 2,... ma non solo!
SI e = T (s 1,..., s n ) c j = s 3 s n 0 0.... 0 s n 0 s n 0.... 0 0 s n s 3 { 0 j = 1, n n i=j+1 a i j 1, n, s j = OK ponendo { a 1 j = 1 ni=j a i j 2; C e I = T (s 1,..., s n ) + s 1 s n..... s n s 1 +. 0. OK con c j = n ( 1) j i a i, s j = i=j n i=j+1 ( 1) j i+1 a i T = C+S+E
MATRIMONI III Single impenitenti? c 3 c n 0 c n SII e =........ T (c 1,..., c n ) + c n... 0 c 3 0... c 3 c 2 +. c n c 3 c 2 c 1 {( ) } Ŝ 0 Trucco: A = : Ŝ S e 0 σ IV, σ R, s 2 s n 0 Ŝ = T (s 1,..., s n ) +.... s n s n.... 0 s n s 2 c j = n i=j a i, s j = n i=j+1 a i e ancora T (a 1,..., a n ) = C ( SII e ) + S ( A) + E
Trasformate dispari: S o I Co II, So II Co I, So III So IV, Co III Co IV Algebre Hartley: H I,II,III,IV H V,V I,V II,V III (basta scegliere C circolante, S anticircolante)